제 5장 퍼지이론 (Fuzzy theory) Slide 1 (of 48)

5.1 퍼지이론의 개요 확률을 바탕으로 추측되는 느낌 또는 개연성 또는 인간의 경험적 심증 1965년 Zadeh 교수에 의해 소개됨 인간의 언어를 컴퓨터로 표현하고 처리하고자 제안된 새로운 형태의 인공지능 이론 Possibility Theory 확률을 바탕으로 추측되는 느낌 또는 개연성 또는 인간의 경험적 심증 Probability: 통계적 근거에 의한 예측치 퍼지이론의 역사 표 5.1: 퍼지이론의 발전 분야 A 퍼지: 애매한 정보 (Vagueness)를 표현 경계가 애매함 미인? Slide 2 (of 48) ? A 남자 모호한 정보 (Ambiguity) 소속이 모호함 ? B 여자

퍼지 이론 (Fuzzy Theory) 컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움 컴퓨터의 수치 및 기호처리를 이용 → 모호하지 않은 작업처리 인간의 행동 → 애매한 정보를 많이 이용 ↓ 퍼지 이론: 애매함을 처리하는 수리 이론 Zadeh의 퍼지 집합 “아름다운 여자의 집합”, “키 큰 사람의 집합” 패턴 인식, 의미 정보 전달, 추상화 등에 중요한 역할 소속 여부가 확실하지 않은 경우의 집합 - 수학적 집합과 배치 정밀 복잡한 제어 이론을 개괄적으로 해결하려는 의도 Crisp 논리 vs Fuzzy 논리 0,1의 명제값과 0과 1사이의 실수값을 명제값으로 가짐 “오늘 비가 올 확률이 70%이다” → 명제의 확신도 → 확률과 다른가? “내일 미인을 만날 확률이 50%이다” → 내일의 만남은 확률, 미인인지는 애매함 Slide 3 (of 48)

퍼지이론에서의 용어 퍼지집합(Fuzzy Set): 불확실한 의미를 표현하는 집합 멤버쉽 함수(Membership Function): 퍼지집합에 속하는 정도 멤버쉽 값(Membership Value): 멤버쉽 함수에 의한 값 전체집합(Universe of Discourse): 퍼지집합을 표현하는 원소들의 집 합 원소(Element): 전체집합내의 각 원소 퍼지집합의 표현 discrete 또는 continuous(원소의 종류에 따라) 순서쌍 또는 그래프 형태(원소의 표현 방식에 따라) 한정사(qualifier) Very: 제곱을 해서 계산, 값이 더 작아짐 More or less: 제곱근으로 계산, 값이 더 커짐 Not: 1에서 뺀 값으로 계산, 보수 Slide 4 (of 48)

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퍼지 집합 연산 예 Example: ‘젊다’의 퍼지집합표현 젊다={(0, 0) (10, 0.4) (20, 0.9) (25, 1) (40, 0.4) (50, 0)} 매우젊다={(0,0) (10, 0.16) (20, 0.81) (25, 1) (40, 0.16) (50, 0)} 다소젊다={(0,0) (10, 0.64) (20, 0.95) (25, 1) (30, 0.95) (40, 0.64) (50, 0)} 젊지않다={(0,1) (10, 0.6) (20, 0.1) (25, 0) (30, 0.1) (40, 0.6) (50, 1)} Slide 7 (of 48)

일반집합(크리스프집합) 일반집합과 퍼지집합과의 차이점은, 일반집합인 경우는 어떤 원소 x가 집합 A에 속하느냐(1) 속하지 않느냐(0)만을 나타내지만 퍼지 집합은 어느정도 속하는지는 멤버쉽 값으로 나타내는 점이 차이점 이다. 속할 때 1 속하지 않을 때 x∈X μ Slide 8 (of 48)

5.2 확장된 퍼지집합 퍼지집합의 예 퍼지집합 전체집합 어리다 (유아정도) 젊다 성숙하다 늙다 5 15 25 35 45 55 65 75 85 0.2 1 0.8 0.4 0.1 0.9 0.6 Slide 9 (of 48)

확장된 퍼지집합의 연산 (1) 지지집합(support set) : support(젊다)={15,25,35,45,55} (2) 정규화: 퍼지 멤버쉽값 중 최대값을 1로 만드는 과정 (3) α-수준 집합 : 젊다(α=0.2) ={15,25,35,45} (4) 레벨 집합: 퍼지집합의 종류를 나열한 것 (5) 볼록집합 : 다음 그림 참조 (6) 퍼지숫자 : 일정한 구간에 있는 실수들 (7) 퍼지집합의 크기 : 스칼라, 상대적값, α수준집합 이용하여 표기함 스칼라: “늙다”인 경우: 2.9(0+0+0+0+0.1+0.2+0.6+1+1) 상대적값: 전체크기에 대한 특정 멤버쉽함수의 크기(스칼라 이용함) α수준: α수준을 구한 후 개수 표기: “늙다”인 경우 ={45,55,65,75,85}=5 (8) 동치: 두 퍼지집합의 값이 서로 일치할 경우 (9) 부분집합 : 두 퍼지집합의 멤버쉽값이 다를 경우 즉, 포함관계에 있을 경우 Slide 10 (of 48)

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Slide 15 (of 48) μA(s) μA(r) μA(λr+(1-λ)s) X r s (a) 볼록집합이 아닌 경우 r s μA(λr+(1-λ)s) ≥ Min(μA(r),μA(s)), 단, r,s∈X, λ∈[0,1] (a) 볼록집합이 아닌 경우 (b) 볼록집합인 경우 Slide 15 (of 48)

5.3 퍼지집합의 연산 (1) 여집합: 1에서 모든 멤버쉽 값을 뺀 것 µ젊지 않다 = {(5,1) (15,0.8) (25,0) (35,0.2) (45,0.6) (55,0.9) (65,1) (75,1) (85,1)} (2) 합집합 : 두 멤버쉽 값 중 최대값을 취한 것 젊다 U 성숙하다 ={(15,0.2)(25,1)(35,1)(45,1)(55,1)(65,1)(75,1)(85,1)} (3) 교집합: 두 멤버쉽 값 중 최소값을 취한 것 젊다 성숙하다 ={(15,0.1)(25,0.9)(35,0.8)(45,0.4)(55,0.1)} <중요한 법칙> : 책의 표기를 잘 볼 것 Law of contradiction : A교집합A’ = Ø (공집합) Law of excluded middle : AUA’ = X(전체집합) ∪ Slide 16 (of 48)

퍼지 논리 부정: a’=1-a 논리곱: a ^ b= min(a,b) 논리합: aVb=max(a,b) 퍼지논리: 고전논리를 확장한 것 부정: a’=1-a 논리곱: a ^ b= min(a,b) 논리합: aVb=max(a,b) 조건명제: a->b=min(1, 1-a+b) 예제 홍길동의 얼굴은 황색이다 : x1=0.6 한국인의 얼굴은 황색이다: x2=0.8 일 때, “홍길동의 얼굴이 황색이면 한국인의 얼굴은 황색이다”의 퍼지수식및 진리값은? x1->x2 = min(1, 1-0.7+0.8) = 1 Slide 17 (of 48)

퍼지논리식 연산의 예 1. a=1, b=0이면 (1) a’=0 (2) a ^b = min(1,0)=0 (3) aVb = max(1,0)=1 (4) a->b=min(1, 1-1+0) = 0 2. a=1, b=1이면 (2) a ^b = min(1,1)=1 (3) aVb = max(1,1)=1 (4) a->b=min(1, 1-1+1) = 1 3. a=0.6, b=0.7이면 (1) a’=0.4 (2) a ^b = min(0.6, 0.7)=0.6 (3) aVb = max(0.6, 0.7)=0.7 (4) a->b=min(1, 1-0.6+0.7) = min(1, 1.1)=1 Slide 18 (of 48)

퍼지규칙의 표현 <고전논리에서의 술어논리식> “x is a man” “y is P” “x는 정수이다” <퍼지논리에서의 술어논리식> “z is expensive” “w is young” “k는 큰 숫자이다” 퍼지단어가 아니므로 보통집합으로 표현가능 퍼지단어이므로 퍼지집합으로 표현 <표현의 예> μyoung(20) =0.8  20세가 퍼지집합 young에 소속할 가능성은 0.8이다는 뜻. 따라서 명제의 진리값도 0.8이 된다. Slide 19 (of 48)

퍼지규칙의 이용 C: 온도가 높다 D: 스위치를 낮게 내린다. 이면, C=>D로 표현한다. 퍼지지식은 퍼지명제나 퍼지술어로 표현된다. 퍼지명제와 퍼지술어는 퍼지집합에 의해 표현된다. 퍼지논리를 이용하여 지식표현이 가능하다. 퍼지규칙의 표현방법 C: 온도가 높다 D: 스위치를 낮게 내린다. 이면, C=>D로 표현한다. 만약 C의 진리값이 0.5, D의 진리값이 0.2이면, min(1, 1-0.5+0.2) = min(1, 0.7)- 0.7로 표현할 수 있다. Slide 20 (of 48)

Uncertainty란 무엇인가? 1. Types of Uncertainty [ Webster’s New 20th Century Dict.] 1. Not certainly known : questionable : problematical. 2. Vague : not definite or determined. 3. Doubtful : not having certain knowledge : not sure. 4. Ambiguous. 5. Not steady or constant : varing 6. Liable to change or vary : not dependable or reliable. => categorized into Vagueness : difficulty of making sharp or precise distinctions : can’t be delimited by sharp boundaries. Ambiguity : associated with one-to many relations : situations in which the choice between two or more alternatives is left unspecified. Slide 21 (of 48)

5.4 퍼지관계 퍼지합집합 관계 퍼지교집합 관계 퍼지여집합 관계 퍼지 역관계 퍼지관계의 합성 Slide 22 (of 48)

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(Compositional Rule of Inference) 추론규칙들의 합성법 (Compositional Rule of Inference) MR a b c 0.4 0.3 1 0.9 0.2 0.6 0.5 MS a b c 1 0.8 0.3 0.2 0.5 0.7 0.6 MR’ a b c 0.6 0.7 0.1 1 0.8 0.4 0.5 MS’ a b c 0.4 1 0.9 0.5 0.7 0.6 M a b c 0.3 0.8 0.2 0.6 0.5 MS.R a b c 0.5 0.7 0.6 0.3 0.9 1 Slide 27 (of 48)

이 그림에서 0.5가 나오는 이유를 순서대로 설명하면 다음과 같다. 이 그림에서 0.5가 나오는 이유를 순서대로 설명하면 다음과 같다. a b c 0.4 0.3 1 0.9 0.2 0.6 0.5 이 그림에서 문제풀이 순서는 다음과 같다. ➀ 공식에 의해 각 셀들의 최소값을 먼저 구한다.    Min(0, 0.4) = 0    Min(0.3, 0.3) = 0.3    Min(0.5, 1) = 0.5 ➁ 그 다음 이들 중 최대값을 구한다.    Max(0, 0.3, 0.5) = 0.5   나머지 셀들도 같은 방법대로 구한다. <연습문제> 참조 a b c 1 0.8 0.3 0.2 0.5 0.7 0.6 a b c 0.5   Slide 28 (of 48)

연습문제(제한시간 5분) 두 퍼지집합의 합집합, 교집합, 부정을 각각 구하라. 두 퍼지집합의 합집합, 교집합, 부정을 각각 구하라. A={(2,0.5) (3,0.4) (5, 0.3) (6, 0.2)} B={(5,0.9) (6,0.1) (8,0.4)} 2. A: x1=0.4, B:x2=0.6일 때 A->B의 진리값을 구하라. 3. 다음의 두 퍼지명제가 있다. a: 내일 비가온다. b: 우산을 준비한다.(0.5) 그런데 일기예보를 보니 내일 비가 올 가능성이 0.6이라고 한다. 다음 조건명제의 진리값을 구하라. c: 내일 비가오면 우산을 준비한다. Slide 29 (of 48)

5.5 확장원리 기존의 퍼지집합으로 부터 새로운 퍼지집합을 유도해 내는 과정 (예) S: 감기환자, Q=S와 만난 적이 있는 사람 S={(S1, 0.1) (S2, 0.8) (S3, 0.5) (S4, 0.6)} Q={Q1, Q2, Q3} M S.Q={(s1,Q1) (S3,Q1) (S2,Q2) (S4,Q2) (S1,Q3) (S4,Q3)} f-1(Q1) = {(S1,0.3) (S3,0.5)}  Q={(Q1, 0.5) (Q2, 0.8) (Q3, 0.6)}  새로운 퍼지집합 Q의 퍼지값들이 결정된다 Slide 30 (of 48)

5.6 퍼지추론 퍼지추론방법의 분류 퍼지 추론 방법(CRI) 추론 유형에 따른 분류 GMP GMT 퍼지 관계의 정의방식에 따른 분류 Max-Min CRI 방법 Larsen 방법 Tukamoto 방법 Sugeno 방법 Baldwin 방법 Cao 방법 Slide 31 (of 48)

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퍼지추론 형태(GMP, GMT) GMP(Generalized Modus Ponens): data-driven IF x is A THEN y is B x is A’ ___________________ y is B’ GMT(Generalized Modus Tolens): goal-driven Slide 33 (of 48)

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GMP와 연산 기호 B’=A’ ° (A -> B) = A’ ° R Fuzzy Implication Operator: 72(36 * 2) types: 1. 각 규칙에 대한 Ri 계산(36 types) 2. 전체 R 계산 using ALSO(2 types): 삼각노름과 삼각공통노름을 이용하여 퍼지조건연산자는 5가지 types으로 분류됨 72 types 중 7가지 정도가 많이 쓰임 : Mamdani 합성법칙은 4타입으로써 합성기호로 max-min과 R(union)을 이용한 경우 Compositional Operator 5 types: Max-min Max-product Max-bounded-product Max-drastic-product Sum-product ) ( : * union R tion nter i sec Slide 35 (of 48)

R 정의방식에 따른 퍼지추론분류 Max-Min Compositional Rule of Inference 72종류와 5종류의 조합방법이 중요 Type 1: Max-Min CRI Max-Min Compositional Rule of Inference R8 이용, 구현이 용이하고 간결함 Type 2: Larsen R25이용, Max-Min CRI 보다 다소 복잡 Type 3: Tuskamoto Type 1 + Type 2, 멤버쉽 함수 결정이 어려움 Type 4: Takagi and Sugeno 결론부 퍼지명제와 조건부 퍼지명제의 함수관계로 부터 추론, 최적화 Type 5: Baldwin GMP에 truth value를 부여하여 추론, truth value 결정이 어려움 Type 6: Cao and Kandel 퍼지 관계를 행렬을 이용하여 추론, 행렬 결정이 중요 Slide 36 (of 48)

5.7 Max-Min CRI )) ( ), u MaxMin m a = Max-Min CRI (Direct Method 또는 Zadeh의 추론 방법) IF X is A1 THEN Y is B1 ALSO IF X is A2 THEN Y is B2 ………… ALSO IF X is An THEN Y is Bn 1단계: Takefuji의 일치도 2단계: CRI 합성순서(R계산) )) ( ), ' u MaxMin A m a = )) , ( ), ' ) v u R A MaxMin B U V m = Î " )) ( , v B Min m a = IF X is A THEN Y is B IF THEN B’ = A’ ° (A -> B) = A’ ° R 비퍼지화 전략: Max Criterion Method Mean of Maximum Method Center of Area Method Centroid of Largest Area Method A x m = P B y m = P Slide 37 (of 48)

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Fuzzy control application on a Traffic Road 퍼지 교통제어 Fuzzy Logic Control inputs output Inputs={Arrival, Queue} Output={Extension} Slide 40 (of 48)

Arrival : Green 신호에 진입한 차량 수 Fuzzy control N Traffic simulator Front detector W E Arrival : Green 신호에 진입한 차량 수 N(7대), S(8대)=15대 Rear detector Slide 41 (of 48) Queue : Red 신호에 대기하는 차량 수 W(6대), E(5대)=11대 S

Fuzzy control f1 : A=10 & Q=20 then E=0초 f2 : A=20 & Q=5 then E=10초 추론 Primitive time(기본주기) :18초, A=10, Q=20 Extension time : Primitive time 이외의 연장시간 f1 : A=10 & Q=20 then E=0초 f2 : A=20 & Q=5 then E=10초 f3 : A=0 & Q=0 then E=?초 Slide 42 (of 48)

Fuzzy control 1. Fuzzy input variables & their membership functions zero light normal heavy zero light normal heavy 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zero short medium long Slide 43 (of 48) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. Fuzzy control rules(rule의 개수 4*4=16) Slide 44 (of 48) Extension

Fuzzy control <규칙설명> R1 : if Arrival = Z and Queue = Z then Extension = Z(Zero) R2 : if Arrival = Z and Queue = S then Extension = Z R3 : if Arrival = Z and Queue = M then Extension = Z R4 : if Arrival = Z and Queue = L then Extension = Z R5 : if Arrival = S and Queue = Z then Extension = S(Short) R6 : if Arrival = S and Queue = S then Extension = Z R7 : if Arrival = S and Queue = M then Extension = Z R8 : if Arrival = S and Queue = L then Extension = Z R9 : if Arrival = M and Queue = Z then Extension = M(Medium) R10 : if Arrival = M and Queue = S then Extension = S R11 : if Arrival = M and Queue = M then Extension = Z R12 : if Arrival = M and Queue = L then Extension = Z R13 : if Arrival = L and Queue = Z then Extension = L(Long) R14 : if Arrival = L and Queue = S then Extension = M R15 : if Arrival = L and Queue = M then Extension = S R16 : if Arrival = L and Queue = L then Extension = Z Slide 45 (of 48)

Fuzzy control <계산식> Linguistic Label of Extension u[i] * u(i, Extension) Extension = ---------------------- u[i] 16 u[i] = ∑ min( Ri-Arrival, Ri-Queue) i =1 u(i, Extension) = the extension_unit of i-th Rule Slide 46 (of 48) Linguistic Label of Extension

Fuzzy control Ex) Arrival = 7 이고 Queue = 5 일 때 Extension = ? R1 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Zero) = 0초 min(0, 0) = 0 R2 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Zero) = 0초 R3 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0초 R4 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초 R5 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Short) = 3초 R6 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Zero) = 0초 R7 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0초 R8 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초 R9 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Medium) = 6초 R10 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Short) = 3초 min(0.7, 0.2) = 0.2 R11 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0초 R12 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초 R13 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Long) = 9초 R14 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Medium) = 6초 R15 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Short) = 3초 R16 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초 Slide 47 (of 48)

Fuzzy control numerator Extension = -------------- denominator 0.2*3 + 0.7*0 + 0.2*6 + 0.4*3 Extension = ------------------------- 0.2 + 0.7 + 0.2 + 0.4 = 2(sec) Slide 48 (of 48)