Deterministic Problems Chapter 1 Deterministic Problems 2006년

1-1 Introduction Computer의 고성능화에 의해 과거 analytical 방식으로 문제를 푸는데 걸리는 노력을 줄일 수 있게 되었다. 이 Text에서는 Field problem을 해결하기 위한 방법으로 matrix method를 사용한다. 기본 idea는 matrix equation을 이용해 functional equation을 감소시키는 것이다. 이 개념은 linear operator, space에서 가장 잘 표현된다. Chapter 1 에서는 다음의 inhomogeneous type equation에 대해서 고려한다. 2006년

1-1 Introduction Deterministic의 의미는 주어진 g와 관련한 f가 유일하다는 것을 의미한다. 즉 (1-1)식을 유일하게 만드는 해를 구하는 것이다. Problem of analysis는 L, g 가 주어졌을 때 f를 결정하는 과정이 포함된 문제를 말한다. Problem of synthesis는 f, g,가 주어졌을 때 operator L을 결정하는 과정이 포함된 문제를 의미한다. 이 Text에서는 Problem of analysis에 관한 문제만을 다룬다. Matrix equation을 이용해서 functional equation을 감소시키는 방법으로 field problem을 해결하데 이러한 방법은 method of moment 라고 불린다. Method of moment 방법은 주어진 문제의 형태에 따라서 해결 세부과정이 상이하다. 2006년

1-2 Formulation of Problems 일반적인 해법은 linear operators, spaces의 표기법에 의해 논의될 것이므로, 특정 문제 역시 이 표기법에 따른다. 주어진 L(f)=g 형태의 문제에서 L, L의 domain, L의 range를 명확히 해야 한다. 그리고 다음과 같이 정의되는 inner product <f, g> 가 필요하다. 2006년

1-2 Formulation of Problems Adjoint operator인 La와 그 domain이 필요하다. 이 operator는 다음과 같이 정의된다. Self-adjoint : La=L 이고 L의 domain=La의 domain 인 경우 해의 성질은 operator의 성질에 의존한다. (ex : f 가 real일 때만 L(f)가 real이라면 operator도 real이다. 필요에 의해 operator의 성질을 구별하면 된다. 모든 g에 대해서 유일한 L(f)=g의 해가 존재한다면 inverse operator L-1은 다음과 같이 정의된다. g를 알고 있다면 (1-7)은 원래 문제의 해를 나타낸다. 또한 (1-7)은 그 자체로, f를 알 경우 g를 구하기 위한 inhomogeneous equation이 되고 이 해는 (1-1)을 사용해 구한다. 2006년

1-2 Formulation of Problems Example) 주어진 g(x)에서 0≤x ≤ 1를 만족하는 f(x)를 찾아라. 이 문제는 경계 값 문제이다. L의 range는 x범위 내의 모든 함수 g의 공간(공역)이고 L의 domian은 x범위 내의 모든 f의 공간(정의역)이다. 식 (1-9), (1-10)을 만족해야 한다. (1-8)의 해는 적절한 경계조건이 주어지지 않는다면 유일하지 않다. 즉, differential operator와 그 domain을 정의해야 한다는 것이다. 이 문제에 대한 적절한 inner product는 다음과 같고 이것은 (1-2), (1-3), (1-4)를 만족한다. 2006년

1-2 Formulation of Problems (1-11) 식은 unique 하지 않다. 예를 들어 임의의 weighting function w(x) (>0) 를 추가 한다고 가정하면 (1-11)식은 다음과 같이 바뀌고 이 역시 inner product의 성질을 만족시킨다. 그러나 adjoint operator는 inner product에 의존하고, 종종 adjoint operator를 self adjoint로 만들도록 선택된다. differential operator의 adjoint operator를 찾기 위해 (1-5)식의 왼쪽 항을 구성하고 부분 적분하여 오른쪽 항을 구한다. 2006년

1-2 Formulation of Problems 두 번 째 항은 경계 값과 관련한 항이고, 첫째 항은 adjoint operator와 관련이 있다. 두 번 째 항을 제거해서 La의 domain을 선택할 수 있다. (1-14)식과 (1-9)식을 이용하여 두 번 째 항을 제거할 수 있다. 따라서 연산자 L에 대한 adjoint operator는 다음과 같음을 알 수 있다. La=L 이고 서로의 domain이 같으므로 self adjoint operator이다. L이 real operator라는 점과 positive definete operator는 점은 명확하다 (1-16)을 이용하면 다음과 같은 식을 구성할 수 있다. 2006년

1-2 Formulation of Problems 이 식에서 볼 수 있듯이 f가 complex일 때도 L은 positive definite operator이다. 2006년

1-2 Formulation of Problems inverse L은 standard green’s function 기법을 이용해서 얻을 수 있다. (1-17)이 성립한다는 것은 f=L-1(g)를 구성하여 x에 대해 두 번 미분 함으로써 증명할 수 있다. 대부분의 적분연산자 특성상 L-1의 domain에 필요한 경계조건은 없다. L-1이 self adjoint라는 것은 L이 self adjoint라는 것으로부터 증명된다. 이기 때문이다. 2006년

1-3 Method of Moments linear equation을 푸는 일반적인 방법인 method of moments에 대해서 알아본다. f가 L의 domain에서 f1, f2, f3,….으로 확장된다고 생각하자. αn은 상수이고 fn은 expansion function 혹은 basis function이라고 한다. 정확한 값을 구하기 위해서는 무한 합을 해야 하지만 적당한 근사값은 일정량의 fn을 더해서 구할 수 있다. (1-21)을 (1-20)에 대입해서 식을 만들면 다음과 같다. 2006년

1-3 Method of Moments 문제를 풀기 위한 적절한 inner product가 결정 되었다고 하자. 그리고 L의 range 내에서 testing function을 정의한다. (w1,w2,w3…..) (1-22)에 이 wm을 inner product한다. 이 형태는 다음과 같은 matrix form으로 표현할 수 있다. 2006년

1-3 Method of Moments [ l ] 행렬이 nonsingular 이면 [ l-1]이 존재하고 αn은 다음과 같이 주어진다. solution f는 (1-21)을 이용해서 구할 수 있다. 2006년

1-3 Method of Moments 이 solution은 fn과 wn의 선택에 따라서 정확할 수도 근사적일 수도 있다. fn=wn인 경우를 Galerkin’s method 라고 한다. 주어진 문제에서 중요한 작업은 fn과 wn을 선택하는 것이다. fn은 선형적으로 독립이어야 하고 f를 근사적으로 표현할 수 있는 적절한 형태여야 한다. wn역시 선형적으로 독립이어야 하고 <wn, g>가 g의 성질에 상대적으로 독립적 이도록 선택한다. fn과 wn의 선택에 영향을 주는 요소 원하는 solution의 정확도 matrix element 계산의 편의성 inverted matirx의 size 잘 구성된 matirx [ l ]의 실현성 2006년

1-4 Point Matching lmn=<wm ,L(fn)> 에 포함되는 적분 계산은 보통 풀기 어렵다. 실제 문제에서 간단하게 근사 해를 얻을 수 있는 방법은 이산적으로 나누어진 관심영역 내의 point 들에서 식(1-22)를 만족한다는 조건을 필요로 한다. 이 방법은 point-matching method 라고 한다. 구간을 일정 거리로 나누어 각 점에서의 함수 값을 사용하는 것이다. 따라서, 이 방법은 method of mement에서 testing functino으로 Dirac delta function을 사용하는 것과 동일하다. 높은 차수의 soultion을 구할 때 point matching method는 좋은 결과값을 도출해 낸다. 문제에 따라 사용 가능한 basis function과 testing function은 무수히 많다. 따라서 수렴 속도를 빠르게 해주거나 작은 size의 matirx로 좋은 결과값에 도달하는 적절한 function을 선택하는 것이 중요하다. 2006년

1-5 Subsectional Bases 실제 문제에서 유용한 근사법으로 mehtod of subsection 이라는 것이 있다. 이 방법은 basis functino fn, 각각이 f domain의 일부에만 걸쳐 존재한다고 생각한다. 따라서 (1-21)의 αn expansion 각각도 관심영역의 일부분에 걸친 f의 근사값에만 영향을 미친다. 이 과정은 matrix [ l ] 의 형태나 계산을 간단하게 해 준다. Subsectional method에 point matching을 결합해서 사용하는 것이 좋은 경우도 있다. 한 구간 Triangular subsection 의 예 2006년

1-6 Approximate Operators 복잡한 문제의 경우 근사 해를 얻기 위해서 연산자를 근사 하는 것이 편할 경우가 있다. 미분 연산자의 경우 유한 차분 근사가 주로 사용된다. differential →finite difference 적분연산자의 경우 kernel을 근사 해서 근사 연산자를 얻을 수 있다. functional equation을 matrix equation으로 감쇄시키는 어떤 방법도 method of moment로 해석 가능하다. 연산자 근사를 사용하는 어떤 matrix solution에 대해서도 그에 대응하는 approximation of function을 사용한 moment solution이 존재한다. -differential →finite difference의 예- 2006년

1-7 Extended Operators 연산자는 연산과 domain에 의해서 정의된다. 새로운 function에 적용할 연산을 재정의해서 연산자의 domain을 확장할 수 있다. 대신 확장된 연산이 원 영역(domain)에서 original operator에 변형을 가하지 않아야 한다. 만일 original operatorrk self adjoint 라면 확장 operator도 self adjoint operator인 것이 좋다. 이 과정을 통해서 더 다양한 함수 군에 모멘트 법에 의한 solution을 사용할 수 있게 된다. 특히 multi dimensional space에서의 field계산에 중요한데 이는 original domain에 존재하는 simple function을 찾는 게 쉽지 않기 때문이다. 2006년

1-8 Variational Interpretation Galerkin 법이 Rayleigh-Ritz variational method와 같다는 것은 잘 알려진 사실이나 모멘트 법이 variational method와 같다는 것은 잘 알려져 있지 않다. 선형 공간의 개념에 따라 모멘트 법을 해석 해보자. R(Lf) 를 L의 range라고 하고 R(Lfn)은 Lfn에 의해 걸친 공간을 나타낸다고 하자. 그리고 R(wn)은 wn에 의해 걸친 공간이라고 한다. 모멘트 법은 R(wn)위로의 Lf의 projection이 근사적인 Lf와 같게 하는 것이다. R(Lf) Exact Lf R(Lfn) Appxi. Lf R(wn) projection Galerkin 법은 R(fn)=R(wn)인 특수한 경우이다. projection을 얻는 과정은 error을 최소화해야 하기 때문에 모멘트 법을 error minimizing procedure라고 한다. 2006년

1-8 Variational Interpretation f를 결정하는 L(f)=g 에서 (1-68)을 정의한다. (h는 알고 있는 함수) h가 연속함수이면 (1-68)식도 연속함수 이다. La가 L의 adjoint operator라고 하고 adjoint function을 다음과 같이 정의한다. variation의 calculus에 의해 (1-70)식이 도출된다. 2006년

1-8 Variational Interpretation f가 L(f)=g의 해이고 fa가 (1-69)의 해이면 ρ의 근사적인 계산을 위해 다음과 같이 놓을 수 있다. 이 식을 (1-70)에 대입하고 Rayleigh-Ritz 조건을 적용한다. 결과는 stationary point에서의 ρ를 위한 필요충분 조건이 (1-23)이라는 것이다. 따라서 모멘트 법과 Rayleigh-Ritz법은 같다는 것을 증명할 수 있다. 모멘트 법은 variation 계산법과 관련이 깊은데 이유는 두 방법 모두 관련된 미분방정식과 관계없이 해를 도출하기 때문이다. (1-69), (1-71)로부터 wn의 조합이 adjoint field fa를 분명히 나타내도록 이 function이 선택되어야 한다는 점은 분명하다. 모멘트 법에 의해서 f를 계산할 때 (1-68)의 h는 Dirac delta function이고 (1-69)의 fa는 그린함수이다. 이것은 wn의 임의의 조합이 그린함수가 될 수 있음을 의미한다. 2006년