선형대수학 linear algebra 행렬

1.1 행렬의 연산 ■행렬의 정의 : 행렬(metrix)은 행렬의 성분(entry) 또는 원소 (element)라고 하는 수들의 직사각형의 배열이다. 1. 행과 열의 수가 같으면 정사각행렬(square matirx) 2. 대각 성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각행렬을 대각행렬 (diagonal matirx) 또, 대각성분이 모두 같은 대각행렬은 스칼라대각(scalar matrix) 3. 대각성분이 모두 1인 스칼라행렬을 단위행렬(identity matrix) 행렬의 덧셈 : 열과 행의 크기가 같을 때 덧셈이 가능하다. 행렬의 곱셉 : 행렬 A가 m x n, 행렬 B가 n x r 일 때 가능하다. 같다 AB의 크기

1.2 덧셈과 스칼라배,곱셉의 성질

1.2 행렬의 거듭제곱과 전치행렬 ■ 행렬의 거듭제곱 : A가 정사각행렬이고 r과 s가 음이 아닌 정수 이면 A 𝑟 A 𝑠 = A 𝑟+𝑠 ( A 𝑟 ) 𝑠 = A 𝑟𝑠 ■전치행렬의 정의 : m x n 행렬 A의 전치행렬(transpose) A 𝑇 는 A의 행과 열을 바꿔서 얻어진 n x m 행렬이다. 그리고 정사각행렬 A가 A 𝑇 =A, 즉 A가 그 자신의 전치행렬과 같 으면 대칭행렬(symmetrics matrix)이라고 한다.

1.3 역행렬 ■ 역행렬 정의 : A가 n x n 행렬일 때, A의 역행렬(inverse matrix)은 A A −1 =I, A −1 A=I를 만족하는 n x n 행렬 A −1 이다. 여기서, I = In은 n x n 단위행렬이다. 그리고 A의 역행렬 A −1 가 존재한다면, A를 가역(Invertible)이라고 한다. 정리 1. A가 가역행렬이면, A의 역행렬은 유일하다. 정리 2. A가 n x n 가역행렬이면, Ax=b로 주어진 연립일차방정식 은 Rⁿ의 임의의 b에 대하여 유일한 해 x = A −1 b를 갖는다. 정리 3. A= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 일 때, A가 가역일 필요충분조건은 ad-bc≠0이 고, 이 경우에 A의 역행렬은 A −1 1 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎

1.3 역행렬 ■ 가역행렬의 성질

1.3 역행렬 ■ 기본행렬의 정의 : 기본행렬(elementary matrix)은 단위행렬 에 한 번의 기본 행변환을 적용하여 얻을 수 있는 행렬이다. ► 기본 행 변환 이란? 2장(연립일차방정식)에서 설명했던 것으로 1. 두 행을 교환한다. 2. 한 행에 0이 아닌 상수배를 한다. 3. 한 행을 상수해하여 다른 행에 더한다. 를 기본 행 변환(elemetary row operation)이라 한다. 정리 1. E가 In에 한 번의 기본 행변환을 적용하여 얻은 기본행렬 이라 하면, 같은 기본 행 변환을 n x r 행렬 A에 적용하면, 그 결과 는 행렬 EA와 같다. 정리 2. 각 기본행렬은 가역이고, 이들의 역행렬도 같은 형태의 기 본행렬이다.

1.3 역행렬 예제 3.29번 A = 2 3 1 3 를 기본행렬들의 곱으로 나타내어라. A = 2 3 1 3 R1↔R2 1 3 2 3 R2-2R1 1 3 0 −3 R1+R2 1 0 0 −3 - 1 3 R2 1 0 0 1 = I2 이다. A는 가역행렬이고 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다. E4E3E2E1A=I2 이다. E1= 0 1 1 0 , E2= 1 0 −2 1 , E3= 1 1 0 1 , E4= 1 0 0 − 1 3 A= 𝐸 1 −1 𝐸 2 −1 𝐸 3 −1 𝐸 4 −1 = 0 1 1 0 1 0 2 1 1 −1 0 1 1 0 0 −3 이다.

1.4 lu분해 행렬은 다른 행렬의 곱으로 분해하는 것이 때로는 유용하다. 하 나의 행렬을 두 개나 여러 개의 행렬의 곱으로 표현한 것을 행렬 분해(matrix factorization)이라 한다. ■ 정의 : A가 정사각행렬이라고 하면, L은 단위하삼각행렬 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ 1 이고 U는 삼각행렬 𝑎 ∗ ∗ 0 0 𝑏 ∗ 0 𝑐 인 A = LU를 A의 LU분해 (LU factiorization)라고 한다. LU분해 유도 : 𝐸 −1 =L이라 E𝐴= U -> A = 𝐸 −1 U =LU

1.4 lu분해 예제 3.33 L을 쉽게 구하는 법 R2-(2R1) R3-(-R1) R3-(-2R2)

1.4 P 𝑇 lu분해 P 𝑇 𝐋𝐔분해를 이용하는 이유는 위의 예제처럼 행과 행을 바꾸지 않아도 𝑳이 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ 1 형태가 나오기 때문이다. 하지만 모든 행렬 이 다 그렇지는 않다. 그래서 P 치환행렬(permutation matrix)을 이용해서 L이 단위하삼각행렬을 만든다. (P는 순서에 따른 모든 행교환 행렬) < 기본 행 변환 > 1. 두 행을 교환한다. <- P 2. 한 행에 0이 아닌 상수배를 한다. 3. 한 행을 상수해하여 다른 행에 더한다. P 𝑇 𝐋𝐔 공식 유도 : 𝐸 −1 =L이라 EPA= U -> A = 𝑃 −1 𝐸 −1 U = P 𝑇 LU - P는 두 행을 교환하는 것이기 때문에 성분 또는 원소가 1의 형 태를 가지고 있고 역행렬 했을 때 전치행렬과 같음을 알 수 있다. 증명 : P 𝑇 P=I을 증명하면 된다.