제주북초등학교 영재학급 심화반 6학년 14번 오정훈 페그 퍼즐 문제 해결법과 전략 제주북초등학교 영재학급 심화반 6학년 14번 오정훈
목차 탐구 동기 페그 퍼즐이란? 페그 퍼즐의 필수 전략 페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 탐구를 마치며
탐구 동기 지난번 김대진 선생님과의 페그 퍼즐을 주제로 한 수업에서 처음 접한 이후에 이 문제에 대해서 좀 더 여러 가지 방법으로 알기 위해서 이렇게 탐구 주제로 정하고 탐구하게 되었다.
페그 퍼즐이란? 아래와 같은 그림에서 좌와 우에 각각 4개씩의 바둑돌이 있는데 이 바둑돌들은 1칸 좌와 우로 이동하거나 앞에 1개의 바둑돌이 있을 때에는 그 바둑돌을 건너뛰는 2가지의 이동 방법을 통하여 아래 2번째 그림처럼 좌와 우를 바꾸는 퍼즐이다.
페그 퍼즐의 최단 이동 횟수를 구하기 위한 필수 전략 1. 절대로 뒤로 가면 안 된다-뒤로 가면 그 만큼 횟수의 손해 2. 같은 색의 바둑돌이 겹치지 않도록 하라-점프를 많이 하기 위해
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 방법1:우선 직접 바둑돌을 이용해서 최단 이동횟수를 구해보았다. 결과:여러 가지 경우의 수가 있기 때문에 가장 적게 나온 결과를 얻기 힘들었고 만약 그 결과를 얻더라도 과연 그 결과가 최단 이동횟수인지 확실하지 않았다.
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 방법2:우선 바둑돌의 개수를 1쌍,2쌍,3쌍,4쌍일 때 좌와 우로 이동한 것을 R(RIGHT)과L(LEFT),B(BLACK)와W(WHITE),S(SLIDE)와J(JUMP)로 정하여 기록한다.
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기
페그 퍼즐과 최단 이동횟수 구하기 결과 1쌍= 2×1+1 2쌍=2×(1+2)+2 3쌍=2×(1+2+3)+3 4쌍=2×(1+2+3+4)+4 모든 이동은 대칭이 된다.(기호를 다르게 하여도)
페그 퍼즐과 최단 이동횟수 구하기 그러므로 N쌍의 바둑돌이 있는 페그 퍼즐의 최단이동횟수는 2☓(1부터 N까지의 합)+N
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 방법4:우선 4개보다 적은 수의 바둑돌을 이용한 최소횟수를 구했다. 바둑돌의 수(쌍) 1 2 3 최소 횟수 8 15
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 이 식을 더 세부하게 알기 위해 이동방법에 따른 횟수로 나타냈다. 바둑돌의 수(쌍) 1 2 3 점프한 횟수 4 9 민 횟수 6 최소횟수 8 15
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 표를 통해 바둑돌의 개수가 N쌍인 페그 퍼즐의 최소횟수를 구하는 방법을 알기 위해 움직임에 따른 횟수를 식으로 나타내었다. 1.점프한 횟수=N² 2.민 횟수=2N 3.최소횟수=점프한 횟수+민 횟수=N²+2N
페그 퍼즐의 최단 이동횟수 구하기 그 외의 방법 결과=위의 표의 결과를 나타내보면 n(n+2)가 되는데 이 식을 전개하면 N²+2n 이 된다. 결국 이 식은 접근한 방법은 달라도 위에서 구한 식과 같은 결과를 얻는다. 바둑돌의 수(n) 1 2 3 4 n n+2 5 6 n(n+2) 8 15 24
탐구를 마치며 이번 페그 퍼즐의 문제 해결법을 탐구해보았는데 처음에 무작정 최소횟수를 보다 간단한 조건의 페그 퍼즐의 최소횟수를 구하고 그 횟수를 이동방법에 따라 표로 나열해보자 식이 한눈에 보이게 되어 미지수n개 일 때의 최소횟수는 해보지 않고도 알 수 있게 되었다. 결국 페그퍼즐 같은 문제에는 규칙을 찾아서 문제를 풀어나가는 것이 더 효과적이라는 생각이 들었다. 그러나 수가 커질수록 이 식이 꼭 최소횟수라고 증명할 수는 없는 것이다. 그렇기 때문에 다음에 기회가 되면 정확히 최소횟수라고 증명할 수 있는 이유를 탐구해보고 싶다.