공업 수학-II 복소 해석(Complex Analysis) (2013-2 학기) 담당교수 : 김동욱 mailto : dwkim116@msn.com Cell : 010-3837-1416

강의 구성 13장 : 복소수와 복소함수 14장 : 복소 적분 15장 : 거듭제곱 급수와 테일러 급수

13장 복소수와 복소 함수

강의 범위 복소수와 복소평면 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근 도함수와 해석함수 Cauchy-Riemann 방정식과 라플라스 방정식 해석함수의 기하학과 등가사상 지수함수 삼각함수와 쌍곡선 함수 로그와 일반거듭제곱

13.1 복소수와 복소평면-1 복소수 (complex number) 실수에 의해 만족되지 않는 방정식이 존재  복소수가 고안 13.1 복소수와 복소평면-1 복소수 (complex number) 실수에 의해 만족되지 않는 방정식이 존재  복소수가 고안 예 : x2 = -1, x2 - 10x + 40 = 0 정의 : 실수 x, y의 순서쌍 실수부(real part) : x = Re z 허수부(imaginary part) : y = Im z 허수단위(imaginary unit) 순허수(pure imaginary) : z = jy ( x = 0 )

13.1 복소수와 복소평면-2 덧셈(addition) 곱셈(multiplication)

13.1 복소수와 복소평면-3 뺄셈(subtraction) 나눗셈(Division) 복소수 : 교환, 결합, 분배법칙이 성립

13.1 복소수와 복소평면-4 복소평면 (Complex Plane) 복소수를 기하학적으로 고찰 복소수를 평면 상의 점으로 표시 13.1 복소수와 복소평면-4 복소평면 (Complex Plane) 복소수를 기하학적으로 고찰 복소수를 평면 상의 점으로 표시 2개의 서로 직교하는 좌표 축을 사용 : 실축과 허축 두 축에서 같은 길이의 단위를 사용 직교좌표계(Cartesian coordinate system) 복소평면 : 복소수가 직교좌표계에서 표시되는 평면 복소평면에서의 점 z : 점 P에서 표시된 점

13.1 복소수와 복소평면-5 복소평면(계속) 덧셈과 뺄셈의 가시적 예

13.1 복소수와 복소평면-6 공액복소수 (Complex Conjugate Numbers) 13.1 복소수와 복소평면-6 공액복소수 (Complex Conjugate Numbers) 복소평면 상에서 실축에 대칭인 복소수 예: z = 5 + j2

13.1 복소수와 복소평면-7 공액복소수(계속) 공액복소수는 복소수를 실수 및 허수로 변경하는데 사용 취급이 용이 공식

13.1 복소수와 복소평면-8 공액복소수(계속) 예제3 : 공액복소수 연습문제13.1 : 1, 2, 3

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-1 극형식 (polar form) 극좌표 r과  를 사용 z의 절대값, 크기(modulus) |z| : 원점에서 점 z까지의 거리를 표시 |z1-z2| : z1과 z2 사이의 거리를 표시

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-2 극형식(계속) z의 편각(argument) :  양의 x축에서 OP까지의 방향각 모든 각은 라디안(radian)으로 표시 반시계 방향이 양의 값을 가짐 편각의 주값(principal value) : Arg z 구간 –π <  ≤ π 사이에 있는 의 값

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-3 예제1 : 복소수의 극형식 및 주값 주의 :  = arg z 에서 tan 는 주기가 π z와 -z의 편각이 동일한 tan 를 제공  z의 상한을 고려 예 :

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-4 삼각형부등식 (Triangle Inequality) 일반화된 삼각형부등식 총합의 절대값은 각 항의 절대값의 합보다 작거나 같음 예 : z1 = 1 + j , z2 =-2 + j3 |z1 + z2| =|-1 + j4| = √17 = 4.123 < √2 + √13 = 5.020

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-5 극형식에서의 곱셉과 나눗셈 곱셈과 나눗셈에 대한 기하학적 이해를 제공 곱셈 절대값 : 편각 :

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-6 극형식에서의 곱셉과 나눗셈(계속) 나눗셈

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-7 예제3: 극형식에서의 곱셉과 나눗셈

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-8 예제4 : 정수 거듭제곱(De Moivre의 공식) De Moivre의 공식 : |z| = r =1 응용 : n = 2인 경우

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-9 근(Roots) n제곱근(nth root) : z = wn 을 만족하는 w의 값들

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-10 근(계속) n제곱근의 표현(계속) 각각의 값들은 중심이 원점이고, 반지름이 인 원 위에 위치 n개의 변을 갖는 정다각형의 꼭지점을 이룸 w의 주값 : k = 0일 때의 arg w 단위 n제곱근(nth roots of unity) z = 1  |z| = r = 1, Arg z = 0 : 단위원 위에 위치 각 제곱근의 값 : ω : k = 1에 대응하는 값 k = 0

13.2 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근-11 단위 n제곱근(계속) 일반적인 n제곱근 w1 : 임의의 복소수의 n제곱근 w1ωk : w1의 편각을 2kπ/n 만큼 증가 k = 3 k = 4 k = 5 연습문제13.2 : 7, 8, 12, 15, 16, 17, 24, 25, 28, 29

13.3 도함수와 해석함수-1 원과 원판 단위원(unit circle) 반지름이 이고, 중심이 a인 일반적인 원: 13.3 도함수와 해석함수-1 원과 원판 단위원(unit circle) 중심이 0이과 반지름인 1인 원 : |z| = 1 반지름이 이고, 중심이 a인 일반적인 원: 열린 원판(open circular disk) : a의 근방(neighborhood) : a의 -근방 닫힌 원판(closed circular disk) : 원의 외부 :

13.3 도함수와 해석함수-2 원과 원판(계속) 반평면(Half-Planes) 열린 환형(open annulus) 13.3 도함수와 해석함수-2 원과 원판(계속) 열린 환형(open annulus) 닫힌 환형(closed annulus) 반평면(Half-Planes) (열린)상반평면(upper half-planes) y > 0인 점 z = x + jy의 집합 하반평면(lower half-planes) y < 0인 점 z = x + jy의 집합 우반평면 : x > 0 일 때 좌반평면 : x < 0 일 때

13.3 도함수와 해석함수-3 복소평면에서 집합과 관련된 몇 가지 개념 점집합(set of points) 열렸다(open) 13.3 도함수와 해석함수-3 복소평면에서 집합과 관련된 몇 가지 개념 점집합(set of points) 유한 또는 무한의 많은 점들의 집합 예 : 2차방정식의 해 어떤 선 위의 점들 및 한 원의 내부에 있는 점들 열렸다(open) 집합의 모든 점이 오로지 집합에 속해 있는 점들로만 구성된 근방을 가지고 있을 때 예 : 한 원 또는 한 정사각형의 내부의 모든 점들 우반평면 Re z = x > 0의 모든 점 연결되었다(connected) 집합의 어떤 두 점도, 집합에 속하는 점들로만 이루어진 유한한 선분의 파선(broken line)으로 이어질 때

13.3 도함수와 해석함수-4 복소평면에서 집합과 관련된 몇 가지 개념(계속) 영역(domain) 여집합(complement) 13.3 도함수와 해석함수-4 복소평면에서 집합과 관련된 몇 가지 개념(계속) 영역(domain) 열린 연결집합(open connected set) 여집합(complement) 집합에 속하지 않는 복소 평면 내의 모든 점들의 집합 닫혔다(closed) : 여집합이 열려 있을 때 경계점(boundary point) 점의 모든 근방이 집합에 속하는 점과 속하지 않는 점을 둘 다 포함하는 점 경계(boundary) : 집합에 속한 모든 경계점의 집합 영역(region) : 영역(domain)과 그의 경계점의 일부 또는 전부 의 합으로 이루어진 집합

13.3 도함수와 해석함수-5 13.3.3.복소함수(complex function) 13.3 도함수와 해석함수-5 13.3.3.복소함수(complex function) 각각의 원소에 대해 복소수인 함수값을 지정해 주는 규칙 복소변수(complex variable) : z 정의역(Domain), 영역 : 복소변수의 집합 S 치역(Range) : 함수 f 의 모든 값의 집합 예제1 : 복소변수의 함수

13.3 도함수와 해석함수-6 13.3.4. 극한(limit) 함수 f(z)가 z0의 근방에서 정의되고, 13.3 도함수와 해석함수-6 13.3.4. 극한(limit) 함수 f(z)가 z0의 근방에서 정의되고, z0의 에 근접한 모든 z에 대해 f 값이 l에 근접할 때 정의역 치역

13.3 도함수와 해석함수-7 13.3.4. 연속성 (continuity) 13.3.5. 도함수(derivative) 정의 : 13.3 도함수와 해석함수-7 13.3.4. 연속성 (continuity) 13.3.5. 도함수(derivative) 정의 : 도함수가 존재하면 함수 f는 z0에서 미분가능(differentiable) z가 어떤 경로를 따라 z0에 접근하더라도 항상 동일하게 수렴 예제3 : 미분가능성과 도함수 함수 f(z) = z2 은 모든 z에 대해 미분가능하고 도함수는 f ′(z)=2z

13.3 도함수와 해석함수-8 복소수에서의 미분규칙 연쇄법칙과 거듭제곱 규칙이 성립 13.3 도함수와 해석함수-8 복소수에서의 미분규칙 연쇄법칙과 거듭제곱 규칙이 성립 f(z)가 z0에서 미분가능하면 z0에서 연속

13.3 도함수와 해석함수-9 예제4 : 미분 불가능성 어떤 점에서도 도함수를 갖지 않는 간단한 함수가 많이 존재 13.3 도함수와 해석함수-9 예제4 : 미분 불가능성 어떤 점에서도 도함수를 갖지 않는 간단한 함수가 많이 존재 미분 불가능성의 예 : 경로 I : +1에 수렴(∆y = 0) 경로 II : -1에 수렴(∆x = 0) 극한은 어떠한 z에서도 존재하지 않음 복소함수의 미분가능성은 엄격한 조건을 요구

13.3 도함수와 해석함수-10 13.3.6. 해석함수(analytic functions) 해석적(analytic) 해석함수 13.3 도함수와 해석함수-10 13.3.6. 해석함수(analytic functions) 해석적(analytic) 함수가 정의역 D의 모든 점에서 정의되고, 미분가능일 때를 의미 함수가 z0의 한 근방에서 해석적이면, 그 함수는 정의역 D 내의 점 z = z0 에서 해석적 해석함수 정의역에서 해석적인 함수를 의미 D에서 해석적 = D에서 위상동형 (holomorphic, 位相同形) 위상 공간의 두 모임의 점들 사이에 일대일 대응이 있고 그 대응이 어느 쪽으로 보나 연속이어서 똑같은 위상을 가질 때

13.3 도함수와 해석함수-11 해석함수(계속) 예제5 : 다항식과 유리함수 13.3 도함수와 해석함수-11 해석함수(계속) 예제5 : 다항식과 유리함수 정수 거듭제곱 1, z, z2, … : 전 복소평면에서 해석적 다항식도 해석적 유리함수(rational function) : h(z) = 0인 점을 제외하면 해석적

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-1 13.4.1. Cauchy-Riemann(코시-리만) 방정식 복소 해석학의 기둥이 되는 개념 중 하나: 가장 중요한 방정식 복소함수 w의 해석성에 대한 기준(판정법)을 제공 복소함수 f 가 정의역에서 해석적일 필요충분조건 코시-리만 방정식을 만족 예 :

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-2 정리1 : Cauchy-Riemann 방정식 f(x)=u(x, y) + jv(x, y)가 점 z=x+jy 의 어떤 근방에서 정의되고, 연속이며, 또 z 자체에서 미분 가능한 경우 그 점에서 1계 편도함수가 존재하고, 코시-리만 방정식을 만족 따라서, f(z)가 정의역 D에서 해석적이면 위의 편도함수들이 존재하고 D의 모든 점에서 코시-리만 방정식을 만족 예제1 : 코시-리만 방정식이 만족되지 않으므로 f(z)는 비해석적

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-3 정리2 : Cauchy-Riemann 방정식 실변수 x 및 y의 실수값을 갖는 연속함수 u(x, y) 및 v(x, y)가 정의역에서 코시-리만 방정식을 만족하는 연속 1계 편도함수를 가지면 복소함수 f(z) = u(x, y) + jv(x, y)는 해석적임 예제2:

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-4 예제3: 상수의 절대값을 갖는 해석함수는 상수 f(z)가 해석적이고 |f(z)|=k(상수)이면 정의역에서 f(z)=상수인가?

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-5 극형식에서의 Cauchy-Riemann 방정식

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-6 13.4.2. 라플라스 방정식과 조화함수 복소해석의 중요성 해석함수의 실수부와 허수부가 라플라스 방정식을 만족 라플라스 방정식 물리학에서 가장 중요한 미분방정식 중력, 정전기학, 유체흐름, 전기전도 등의 분야에서 적용 정리3 : 라플라스의 방정식 f(z) = u(x, y) + jv(x, y)가 정의역 D에서 해석적이면 u와 v는 D에서 각각 라플라스의 방정식을 만족하며 연속인 2계 편도함수를 가짐

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-7 라플라스 방정식과 조화함수(계속) 조화함수(harmonic function) 연속인 2계 편도함수를 갖는 라플라스 방정식의 해 해석함수의 실수부 및 허수부는 조화함수 퍼텐셜 이론(potential theory) 조화함수들의 이론 공액조화함수(conjugate harmonic function) 조화함수 u와 v가 정의역 D에서 코시-리만 방정식을 만족하면 u와 v는 D에서 해석함수 f 의 실수부 및 허수부가 된다. 이때 v를 D에서의 공액조화함수라 함

13.4 코시-리만 방정식과 라플라스의 방정식-8 예제4: Cauchy-Riemann 방정식에 의한 공액조화함수 찾기 u=x2-y2-y가 조화함수임을 검증 및 u의 공액조화함수 v는 ?

13.5 지수함수(Exponential Function)-1 13.5.1. 복소지수함수 완전함수 (entire function) 정의 : 모든 z에 대하여 해석적인 함수 예 : ez

13.5 지수함수(Exponential Function)-2 13.5.2.오일러 공식(Euler formular)

13.5 지수함수(Exponential Function)-3 13.5.3. 복소수의 극형식 순허수지수에 대한 지수함수의 절대값 : 1

13.5 지수함수(Exponential Function)-4 복소수의 극형식(계속)  결코 0이 되지 않는 완전함수 주기 j2π를 갖는 w=ez의 주기성 w가 가질 수 있는 모든 값은 폭 2π인 수평띠 안에 존재 ez의 기본영역(fundamental region)

13.5 지수함수(Exponential Function)-5 예제1: 함수값과 방정식의 해

13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-1 13.6.1. 삼각함수의 정의 cos z와 sin z는 완전함수 13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-1 13.6.1. 삼각함수의 정의 cos z와 sin z는 완전함수 tan z와 sec z는 완전함수가 아님 cos z가 0인 점을 제외하고는 해석적 cot z와 csc z는 완전함수가 아님 sin z가 0인 점을 제외하고는 해석적

13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-2 예제1: 실수부와 허수부 및 절대값과 주기성 (주기 : 2π)

13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-3 예제2: 방정식의 해 및 cos z와 sin z 의 영점

13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-4 13.6.2. 복소수에서 삼각함수의 일반공식 13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-4 13.6.2. 복소수에서 삼각함수의 일반공식 13.6.3. 쌍곡선 함수(hyperbolic functions)

13.6 삼각함수와 쌍곡선 함수-5 13.6.4. 복소삼각함수와 쌍곡선 함수와의 관계

13.7 로그와 일반 거듭제곱-1 13.7.1 자연로그(natural logarithm) : ln z 지수함수의 역함수로 정의 13.7 로그와 일반 거듭제곱-1 13.7.1 자연로그(natural logarithm) : ln z 지수함수의 역함수로 정의 자연로그의 주값(principal value) 예 : z가 음의 실수인 경우

13.7 로그와 일반 거듭제곱-2 자연로그(계속) 자연로그에 대한 관계식 예 : z1 = z2 = ejπ = -1 인 경우

13.7 로그와 일반 거듭제곱-3 예제1: 자연로그와 주값

13.7 로그와 일반 거듭제곱-4 정리1 : 로그의 해석성 모든 n = 0, 1, 2, …에 대하여 로그함수는 0과 음의 실축을 제외한 점에서 해석적이고 도함수는 다음과 같다. 가지(branch) 자연로그에서 무한개의 많은 함수를 의미 가지절단(branch cut) : 음의 실축 주가지(principal branch) n = 0인 가지

13.7 로그와 일반 거듭제곱-5 13.7.2. 일반 거듭제곱(general powers) 13.7 로그와 일반 거듭제곱-5 13.7.2. 일반 거듭제곱(general powers) zc의 주값(pricipal value) : 예제3: 일반 거듭제곱

13.7 로그와 일반 거듭제곱-6 예제3: 일반 거듭제곱(계속) 임의의 복소수 a에 대한 거듭제곱