담당교수 : 이봉운 bw2lee@hanmail.net 공학 수학 (10-2 학기) 담당교수 : 이봉운 bw2lee@hanmail.net

11장 푸리에 급수 및 변환

강의 범위 푸리에 급수 임의의 주기 T=2L을 가지는 함수 우함수와 기함수 시간함수에 대한 푸리에 급수 복소지수형 푸리에 급수 비주기 신호와 Fourier 급수 유용한 함수의 Fourier 변환 Fourier 변환의 중요한 성질 임펄스 함수 및 응용 주기적 시간함수의 푸리에 변환 이산 및 고속 푸리에 변환

11.0 서론 푸리에 해석(Fourier Analysis) 푸리에 급수(Fourier series) 11.0 서론 푸리에 해석(Fourier Analysis) 푸리에 급수(Fourier series) 주기함수를 코사인과 사인의 합으로 된 무한급수로 표현 테일러 급수보다 더 범용적 푸리에 급수 : 불연속적인 주기함수의 표현이 가능 테일러 급수 : 불연속적인 주기함수의 표현이 불가능 푸리에 변환(Fourier transform) 비주기 현상에 푸리에 급수의 기초 개념을 확대 적용

11.1 푸리에 급수-1 푸리에 급수 주기함수를 표현하는 기본적인 도구 주기함수(periodic function) 11.1 푸리에 급수-1 푸리에 급수 주기함수를 표현하는 기본적인 도구 많은 응용에서 중요한 역할을 수행 주기함수(periodic function) 정의 : T : f(x)의 주기 주기함수의 예 : 코사인 및 사인 함수 기본주기 : 가장 작은 양의 주기

11.1 푸리에 급수-2 푸리에 급수(계속) 함수 f(x)의 주기가 T인 경우 함수 f(x)와 g(x)의 주기가 T인 경우 11.1 푸리에 급수-2 푸리에 급수(계속) 함수 f(x)의 주기가 T인 경우 함수 f(x)와 g(x)의 주기가 T인 경우 af(x) + bg(x)의 주기도 T : a, b 는 임의의 상수 주기가 T=2인 함수들의 표현 삼각함수 계(trigonometric system)를 이룸

11.1 푸리에 급수-3 푸리에 급수(계속) 삼각급수(trigonometric series) 11.1 푸리에 급수-3 푸리에 급수(계속) 삼각급수(trigonometric series) 삼각함수 계를 이루는 함수들로 얻어진 급수 계수(coefficients) : a0, a1, b1, a2, b2, … 각 항의 주기가 2 급수가 수렴한다면 그 합은 주기가 2인 주기함수 함수 f(x)의 푸리에 급수

11.1 푸리에 급수-4 푸리에 급수(계속) 푸리에 계수(fourier coefficients) 11.1 푸리에 급수-4 푸리에 급수(계속) 푸리에 계수(fourier coefficients) 푸리에 급수의 계수를 의미 오일러 공식(Euler Formulas)에 의해 제공 부분 합(partial sum)

11.1 푸리에 급수-5 푸리에 급수(계속) 예제1 : 주기함수의 푸리에 계수는?

11.1 푸리에 급수-6 푸리에 급수(계속) 예제1 : 주기함수의 푸리에 계수는?(계속)

11.1 푸리에 급수-7 푸리에 급수(계속) 예제1 : 주기함수의 푸리에 계수는?(계속) 급수의 부분합

11.1 푸리에 급수-8 푸리에 급수(계속) 예제1 : 주기함수의 푸리에 계수는?(계속) 11.1 푸리에 급수-8 푸리에 급수(계속) 예제1 : 주기함수의 푸리에 계수는?(계속) 푸리에 급수의 응용 예 : Leibniz의 급수값

11.1 푸리에 급수-9 오일러 공식의 유도 오일러 공식의 핵심은 삼각함수 계의 직교성에 있음 11.1 푸리에 급수-9 오일러 공식의 유도 오일러 공식의 핵심은 삼각함수 계의 직교성에 있음 정리1 : 삼각함수 계의 직교성(orthogonality) 삼각함수 계의 각 함수들은 한 주기 구간에서 서로 직교 임의의 두 함수의 내적의 적분은 0 푸리에 급수 식에 대한 정리1의 응용

11.1 푸리에 급수-10 오일러 공식의 유도(계속) 푸리에 급수 식에 대한 정리1의 응용(계속)

11.1 푸리에 급수-11 오일러 공식의 유도(계속) 푸리에 급수 식에 대한 정리1의 응용(계속)

11.1 푸리에 급수-12 푸리에 급수의 수렴과 합 정리 2 : 푸리에 급수에 의한 표현 좌도함수 및 우도함수 11.1 푸리에 급수-12 푸리에 급수의 수렴과 합 정리 2 : 푸리에 급수에 의한 표현 주기함수 f(x)의 조건이 아래와 같다면 주기가 2π이며, –π ≤ x ≤ π 에서 구분적(piecewise) 연속 구간의 각 점에서 좌도함수 및 우도함수가 존재 f(x) 의 푸리에 급수는 수렴 모든 점에서 급수의 합은 f(x) 불연속인 점 x0를 제외 불연속인 점 x0에서 급수의 합 f(x)의 좌∙우 극한값의 산술평균 좌도함수 및 우도함수

11.1 푸리에 급수-13 푸리에 급수의 수렴에 대한 증명 f(x)가 연속이고, 1계 및 2계 도함수가 연속인 경우 11.1 푸리에 급수-13 푸리에 급수의 수렴에 대한 증명 f(x)가 연속이고, 1계 및 2계 도함수가 연속인 경우 도함수 f ′(x)가 주기적이고 연속적이므로 첫 항은 0 f″는 적분구간 내에서 연속이므로 적당한 상수 M에 대하여 |cos nx| ≤ 1 이므로

11.1 푸리에 급수-14 푸리에 급수의 수렴에 대한 증명(계속) 11.1 푸리에 급수-14 푸리에 급수의 수렴에 대한 증명(계속) 유사한 방법으로 모든 n에 대하여 |bn| < 2M/n2

11.1 과제 1. 다음 함수의 기본 주기를 구하라. 2. 주기가 2π인 함수 f(x)의 푸리에 급수를 구하라. cos x sin πx cos (2πx/k) 상수 k 2. 주기가 2π인 함수 f(x)의 푸리에 급수를 구하라.

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-1 주기 T=2L인 함수의 푸리에 급수 주기가 2π인 변수 v의 척도를 변환 : v = kx 변환된 변수 x의 새로운 주기 : T=2L

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-2 주기 T=2L인 함수의 푸리에 급수(계속)

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-3 주기 T=2L인 함수의 푸리에 급수(계속)

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-4 예제1: 주기적 구형파에 대한 푸리에 급수

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-5 예제1: 주기적 구형파에 대한 푸리에 급수(계속)

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-6 예제2: 주기적 구형파에 대한 푸리에 급수

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-7 예제2: 주기적 구형파에 대한 푸리에 급수(계속)

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-8 예제3 : 반파 정류기

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-9 예제3 : 반파 정류기(계속)

11.2 임의의 주기 T=2L을 갖는 함수-10 예제3 : 반파 정류기(계속)

11.2 과제 주기가 T인 다음 함수들의 푸리에 급수를 구하고, 처음 세 항의 부분합을 그려라. f(t) = t2 (-1< t < 1), T=2 f(t) = sin t (0 < t < 1), T=1

11.3 우함수와 기함수-1 우함수(even function) 기함수(odd function) 정의 : g(-x) = g(x) 수직축에 대칭 푸리에 함수에서 코사인 항만 존재 기함수(odd function) 정의 : g(-x) = -g(x) 원점에 대칭 푸리에 함수에서 사인 항만 존재

11.3 우함수와 기함수-2 정리1 : 푸리에 코사인 급수, 푸리에 사인 급수 푸리에 코사인 급수(Fourier cosine series) 주기가 T인 우함수의 푸리에 급수 푸리에 사인 급수(Fourier sine series) 주기가 T인 기함수의 푸리에 급수

11.3 우함수와 기함수-3 정리2 : 합과 스칼라곱 예제1 : 직사각형 펄스(rectangular pulse) 함수의 합이 f1 + f2 의 푸리에 계수 f1과 f2 각각에 해당하는 푸리에 계수의 합과 동일 함수 cf 의 푸리에 계수 f의 해당 푸리에 계수에 c를 곱한 것과 동일 예제1 : 직사각형 펄스(rectangular pulse)

11.3 우함수와 기함수-4 예제1 : 직사각형 펄스(계속)

11.3 우함수와 기함수-5 예제2 : 톱니파(sawtooth wave)

11.3 우함수와 기함수-6 예제2 : 톱니파(계속) 부분합

11.3 과제 주어진 함수가 우함수인지 기함수인지 구별하고, 함수의 푸리에 계수를 구하라. 그리고 그 함수와 몇 항의 부분항을 그려라.

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-1 기본파와 고조파 기본파 : 주파수가 o 인 정현파 고조파(harmonics) 예 : sin 0t, cos 0t 고조파(harmonics) 주파수가 no 인 정현파 : n차 고조파 예 : sin 20t, cos 30t

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-2 삼각함수형 푸리에 급수의 표현

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-3 콤팩트 삼각함수형 푸리에 급수

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-4 삼각함수형 푸리에 급수의 주기성

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-5 푸리에 급수의 성질 기함수의 경우 : s(t) = -s(-t) 기함수와 유사한 방법을 이용하면

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-6 푸리에 급수의 존재성 : Dirichlet 조건 푸리에 급수가 존재하기 위한 두 가지 기본 조건 급수가 존재하기 위해서 푸리에 급수들의 계수들은 유한 약한 Dirichlet 조건 푸리에 급수는 존재하나, 모든 점에서 수렴은 불확실 g(t)는 한 주기 안에서 유한한 최대/최소값 및 불연속점을 제공 강한 Dirichlet 조건 두 조건을 모두 만족해야 하는 조건 수렴하는 급수의 존재성에 대한 필요충분조건 주기적 파형의 물리적 가능성

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-7 예제1: 다음 주기적 구형파의 콤팩트 삼각함수형 푸리에 급수를 구하고, 진폭 스펙트럼을 구하라.

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-8 예제1(계속)

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-9 예제1(계속)

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-10 예제2 : 양극 구형펄스의 주기신호

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-11 예제3 : 주기적인 임펄스열의 급수와 스펙트럼

11.4 시간함수에 대한 푸리에 급수-12 예제3 : 주기적인 임펄스열의 급수와 스펙트럼(계속)

11.4 과제 주기적인 임펄스열의 급수를 구하고 진폭 스펙트럼을 그려라.

11.5 복소지수형 푸리에 급수-1 지수 함수 집합의 직교성 지수 함수의 집합 직교성 지수형 푸리에 급수

11.5 복소지수형 푸리에 급수-2 지수형 푸리에 급수의 유도 오일러의 공식(Euler’s formula) 11.5 복소지수형 푸리에 급수-2 지수형 푸리에 급수의 유도 오일러의 공식(Euler’s formula) 콤팩트 삼각 함수형 푸리에 급수

11.5 복소지수형 푸리에 급수-3 예제 1 : 복소지수형 푸리에 급수는?

11.5 복소지수형 푸리에 급수-4 예제1(계속)

11.5 복소지수형 푸리에 급수-5 예제2 : 주기가 T인 펄스함수의 푸리에 급수

11.5 복소지수형 푸리에 급수-6 표본화 함수(sampling function)

11.5 복소지수형 푸리에 급수-7 복소지수형 푸리에 스펙트럼 복소지수형 푸리에 계수 : Dn 11.5 복소지수형 푸리에 급수-7 복소지수형 푸리에 스펙트럼 복소지수형 푸리에 계수 : Dn ω0의 함수이고 일반적으로 복소수 : 진폭(크기)과 각으로 표현 n = 0 인 경우 : Do= ao = Co 푸리에 계수 Dn 과 D-n 은 서로 공액쌍 복소 푸리에 스펙트럼(complex Fourier spectrum) nfo 에 대한 Dn 의 그래프로 표현 57/89

11.5 복소지수형 푸리에 급수-8 복소지수형 푸리에 스펙트럼(계속) 선 스펙트럼 Dn 의 특성 g(t)가 실신호인 경우 11.5 복소지수형 푸리에 급수-8 복소지수형 푸리에 스펙트럼(계속) g(t)가 실신호인 경우 진폭 스펙트럼 |Dn| 은 ω 의 우함수로 표시 선 스펙트럼(line spectrum)으로 표현 각 스펙트럼 Dn 은 ω 의 기함수로 표시 선 스펙트럼 Dn 의 특성 주기적인 펄스 파형의 예 : 포락선 주엽(main lobe)의 폭 : 1/ 스펙트럼의 주파수 간격 : 1/T 스펙트럼의 크기 : /T 에 비례

11.5 복소지수형 푸리에 급수-9 선 스펙트럼 Dn 의 특성(계속) 펄스폭 가 일정한 경우 : 주파수 간격은 1/

11.5 복소지수형 푸리에 급수-10 선 스펙트럼 Dn 의 특성(계속) 주기 T가 일정한 경우 : 주파수 간격은 1/T

11.5 복소지수형 푸리에 급수-11 파세발(Parseval)의 전력에 대한 정리 11.5 복소지수형 푸리에 급수-11 파세발(Parseval)의 전력에 대한 정리 주기함수의 평균전력은 각 주파수 성분의 제곱의 합과 동일 예제 : s(t)=2sin 100t 의 평균전력 시간 영역에서의 평균 전력 주파수 영역에서의 평균 전력

11.5 복소지수형 푸리에 급수-12 예제3 : 삼각함수 및 지수함수 형식의 푸리에 급수는?

11.5 과제 1. 주기적인 신호 x(t)와 y(t)는 다음과 같다. 각 신호들의 복소지수형 푸리에 급수를 구하고 |Dn|을 스케치하라. 2. 11.4의 과제에서 각 신호들에 대한 복소지수형 푸리에 급수를 구하라.

11.6 비주기 신호와 Fourier 급수-1 주기적 신호 : 구형파의 경우 푸리에 급수로 전개

11.6 비주기 신호와 Fourier 급수-2 주기적 신호(계속) 주기가 매우 큰 경우의 구형파 신호 : sT(t)

11.6 비주기 신호와 Fourier 급수-3 주기적 신호(계속) 주기가 매우 큰 경우의 구형파 신호 (계속)

11.6 비주기 신호와 Fourier 급수-4 주기적 신호(계속) 비주기 함수 : 주기가  인 새로운 주기함수 주기가 매우 큰 경우의 구형파 신호 (계속) 비주기 함수 : 주기가  인 새로운 주기함수 푸리에 변환 쌍(Fourier Transform Pairs)

11.6 비주기 신호와 Fourier 급수-5 푸리에 변환의 충분조건 절대 적분이 가능 : Dirichlet 조건 충족 최대/최소점 및 유한개의 불연속점을 갖는 단일값 함수 두 조건을 만족하는 신호는 유한한 에너지 보유

11.7 유용한 함수의 Fourier 변환-1 구형 펄스(rectangular pulse) 69/89

11.7 유용한 함수의 Fourier 변환-2 비대칭 지수형 펄스 : 단위계단함수(unit step function) :

11.7 유용한 함수의 Fourier 변환-3 대칭 지수형 펄스

11.7 유용한 함수의 Fourier 변환-4 시그늄 함수(signum function) : 충분조건 불만족 : 근사식 활용

11.7 과제 다음 함수들의 푸리에 변환을 구하고 스펙트럼을 그려라. f(t) = cos t u(t) f(t) = sin 4t u(t) f(t) = t [u(t+1) – u(t-1)]

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-1 우함수와 기함수의 푸리에 변환 시간 천이(time shift) 예 : 주파수 천이(frequency shift)

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-2 변조 정리

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-3 시간 척도변환(scaling) : 시간축의 변환 증명: 시간 축이 압축되면 주파수 축은 확장 시간 축이 확장되면 주파수 축은 압축

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-4 시간 척도변환(계속) 예제 주파수 척도변환(scaling)

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-5 쌍대성(duality) : 증명: 예제 : s(t)와 S(f) 의 면적

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-6 미분함수의 푸리에 변환 증명

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-7 시간함수의 적분(skip)

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-8 미•적분함수의 푸리에 변환 예제 적분 공식을 이용한 경우(skip)

11.8 Fourier 변환의 중요한 성질-9 미•적분함수의 푸리에 변환 예제(계속) 미분 공식을 이용한 경우

11.8 과제 변조정리를 이용하여 x(t)의 푸리에 변환을 구하고, 그 결과를 스케치하라.

11.9 임펄스 함수 및 응용-1 단위 임펄스 함수(unit impulse function) 11.9 임펄스 함수 및 응용-1 단위 임펄스 함수(unit impulse function) sifting property(체질 특성)

11.9 임펄스 함수 및 응용-2 델타(delta) 함수가 극한에 접근하는 경우의 펄스

11.9 임펄스 함수 및 응용-3 단위 임펄스 함수(unit impulse function)

11.9 임펄스 함수 및 응용-4 직류 신호 쌍대성 성질을 이용 :

11.9 임펄스 함수 및 응용-5 복소지수 신호 주파수 천이 성질을 이용 :

11.9 임펄스 함수 및 응용-6 단위 계단함수(unit step function)

11.9 임펄스 함수 및 응용-7 정현파 함수

11.9 임펄스 함수 및 응용-8 변조 정리

11.9 과제 임펄스 응용에 관한 문제 3개를 임의의 참고자료에서 찾아 풀어서 제출할 것

11.10 주기적 시간함수의 푸리에 변환-1 주기 신호 복소 푸리에 급수로 표현이 가능 주기 신호의 푸리에 변환 cn : 복소수

11.10 주기적 시간함수의 푸리에 변환-2 변환 절차: 주기함수  푸리에 급수  푸리에 변환 예제 : 주기 함수는 선 스펙트럼으로 표현 예제 :

11.10 과제 다음 주기적인 임펄스 열의 푸리에 변환을 구하라.

11.11 이산적 푸리에 변환 DFT(Discrete Fourier Transform) 쌍 FFT(Fast Fourier Transform) 쌍 96/89