제품설계분석(II) 제2장

< Preview > ② 응용수학 : 해석적 해를 찾음 미분방정식 : (the Sturm – Liouville prob.) 경계조건 : 선형미분연산자 경계치 문제 BVP(boundary value prob.) ⇒ 일반적인 표현 + 경계조건(b.c.) * Modeling * 초기치문제 IVP(initial value prob.) * 고유치문제 EVP(eigenvalue prob.) ⇒ ① 수학적 풀이 : 해의 존재, 유일성 ② 응용수학 : 해석적 해를 찾음 ③ 공학적 풀이 : 한계 내에서 주어진 조건을 가장 잘 만족하는 해

① 오차? (error) 잔류치? (residual) x y a b (엄밀해) 유한요소법 : 미분방정식을 푸는 수치해법 수치해 을 사용하는 경우 ① 오차? (error) 잔류치? (residual) x 내부오차 다항식 삼각함수 경계오차 ② 잔류치의 억제 : 가중함수 를 사용 ⇒ ⇒ 를 미리 정함. 영역을 미리 나눔. 조직적인 수치 적분 이산화 (discretization)

사례 (pp.29~30) x = 1 x = 0 엄밀해 u  근사해 ⇒ N = 2인 경우 ⇒ 직접 대입하는 경우

⇒ < MWR; 가중잔류치법 > Residual : weight function : ⇒ N = 2인 경우

※ Ritz method

STEP 1 : 약형(weak form) 구성 ↔ 강형(strong form) STEP 2 : 근사함수 설정 < 유한요소해석의 절차 > STEP 1 : 약형(weak form) 구성 ↔ 강형(strong form) STEP 2 : 근사함수 설정 STEP 3 : 요소방정식 구성 STEP 4 : 수합(assembly) STEP 5 : 후처리(연립방정식 풀이, 기타 그래픽, ⋯) 유한요소 수식화 절점(node) ex : ① sparse matrix 처리 ② conjugate gradient ③ parallel processing ※ 연립방정식 푸는 프로그램을 하나씩 확보 요망 요소(element)

§ 2.2 Some mathematical concepts § 2.2.1 BVP, IVP, EVP 영역 경계 § 2.2 Some mathematical concepts § 2.2.1 BVP, IVP, EVP < 𝑐𝑚의 연속성 > 영역 Ω내에서 정의되는 함수 𝑓에 대하여, 𝑚차까지 도함수가 연속이면 “𝑓는 𝑐𝑚 연속성을 갖는다.”고 함. (단, m은 짝수) co 예) a b x1 f x a b x1 f ' x ⇒

< 미분방정식으로 모델링한 공학 문제들 > ① BVP √ * classical Sturm-Liouville prob. * 다양한 물리현상 모델링 ex) 1차원 봉에서의 온도분포, rotating string의 변위, ⋯ B.C. ’s • ! Dirichlet type b.c. (essential(필수), geometric) • ! Neumann type b.c. (suppressible(억제가능), natural)

場 문제 (field prob.) ② IVP √ I.C. ’s 𝑢 0 =0, 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑡=0 = 𝑣 0 ③ (BV+IV)P B.C. : 𝑢 0,𝑡 =𝑑0 𝑡 𝑎 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥=𝐿 =𝑔0(𝑡) I.C. : 𝑢 𝑥,0 =𝑢0(𝑥) 場 문제 (field prob.)

④ EVP ( ⇒ BVP에서 인 경우) B.C. 𝑢 0 = 0 𝑎 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥=𝐿 =0 ⇒ 계의 특성을 파악 ⇒ 𝜆 : 고유치(eigenvalue) 𝑢𝜆 : 고유함수(eigenfunction) ⇒ modal analysis

① the gradient operator ※ 는 orthonormal basis < 몇 가지 정리 > See p.38 ① the gradient operator ※ 는 orthonormal basis ② the Laplace operator ③ Divergence theorem 영역 경계 𝑛 일 때,

1 x -1 +1 Scalar 함수 F 에 대하여,

§ 2.2.3 부분적분의 효과 (1) (2) a b w v x

⇒ 가중함수 𝑤 𝑥 𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛 를 잔류치(내부오차 𝜀𝐼와 경계오차 𝜀𝐵)에 곱하여 (3) 경계치 문제에 적용 BVP B.C ’s ⇒ 가중함수 𝑤 𝑥 𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛 를 잔류치(내부오차 𝜀𝐼와 경계오차 𝜀𝐵)에 곱하여 그 결과가 ‘0’이 되도록 함 ⇒ 약형(weak form) 만일 𝑤 𝑎 =0 이면 (즉, 가중함수가 필수 경계조건을 만족하도록 설정되었다면) 강형(strong form)  1 x xo  x1 x2

BVP 강형 : u(함수) → 약형 ⟹ BVP 강형 m=2n차 미분방정식 ⟹ 약형 Cm ⟹ C(m-1) 가중함수 가능 !

§ 2.3 Elements of Calculus of Variations 𝑥→𝑓(𝑥) 𝑢→𝐼(𝑢) : An operator I mapping 𝑓𝑛. 𝑢 to 𝑎 scalar 𝐼(𝑢) ( 𝑓𝑛. of 𝑓𝑛𝑠. !) x 서울 부산 u1 u2 uN  y 𝐼[𝑢] : 서울 → 부산까지 소모연료 𝑢, 𝑢+𝛿𝑢 (1) Linear functional ex) x y 𝛿𝑢 𝑢 𝑢+𝛿𝑢

x → f(x) (2) bilinear functional (⇒ linear in each 𝑢 and 𝑣) (예) (3) symmetric functional (⇐ self-adjoint) ex) (4) stationary ※ (예) Fo xo dF = 0

범함수의 경우, 특정한 함수 의 주위에서 의 값이 변하지 않으면 ‘stationary’ 하다고 한다. 에 따라 일 때, 를 의 의 ‘변분(variation)’ 이라 하고, 에 대하여 이면, 는 에서 ‘stationary’ 하다. 여기서 를 ‘stationary’하게 하는 함수 를 ‘extermal(극한 함수)’라 한다. ≡ 1차 변분항 2차 변분항 𝜀𝑣

⇒ See § 2.4 ※ 범함수의 활용 ⇒ ‘변분법(variational method)’을 적용하여, 근사해를 구하는데 사용 BVP diff. eqn : ① B.C. ’s : ② 범함수 를 설정 으로부터 ①,②를 동시에 얻음 ⇒ See § 2.4

The Euler Eqns. & B.C.’s (See §2.3.4, §2.3.5) 𝑢 ′ = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Stationary 되는 조건 (u= 극한함수)

The variation

For stationarity; 𝑢+𝛿𝑢 𝑢 a b

𝐼( 𝑢 𝑁 ) 𝐼(𝑢) 𝐼( 𝑢 0 ) 𝑥

Ex 2.3.1 (범함수의 1차 변분을 구함)

§ 2.4 Integral Formulations Diff. eqn. B.C. ’s (※ 는 문제의 ‘입력자료’ ) 가 근사함수일 때, (내부오차) : (경계오차) : BVP 강형 → nonhomogeneous B.C. ’s → homogeneous B.C. ’s

오차에 가중치 를 곱하여 단일화 한 후, 0으로 놓은 약형 → 가중치를 곱한 잔류치 = 0 을 만족하는 근사함수 를 찾는 문제로 변환됨. → 특히, 가 가용함수(admissible fn.)이면, ( ) ※근사함수 = 기저함수(basis fn.)의 (선형) 합

* 문제를 단순하게 만드는 의 조건 : (즉, 필수경계조건이 지정된 영역에서 homogeneous form) 를 이미 만족하므로, 으로 고정. 약형

Ex 2.4.1 (주어진 BVP와 duality인 범함수 구하기) Diff. Eqn BVP B.C.’s 제 1단계: 가중함수 곱하여 적분형으로 만들기 제 2단계: 부분 적분을 활용하여 경계항 나타내기

제 3단계: 경계조건이 적용된 범함수 찾기

Duality Diff. Eqn B.C.’s

[다른 접근법] 내부오차 경계오차 근사함수로 가용함수만을 사용하면 필수경계 조건을 만족한다.

§ 2.5 Variational method of approximation < The Rayleigh – Ritz method > Diff. eqn. B.C. ’s Functional for duality ex 2.4 √ BVP √

Euler eqn. 경계항 으로 정리됨.

Ex: 2.5.1 B.C. set#2