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근궤적법 1 서론 2 근궤적 개념 ▶ 근궤적법(root locus method) 1  서론 ▶ 근궤적법(root locus method)  s-평면상에 개루프 전달함수의 극점과 영점을 도시하고 이 극점 및 영점의 배치와 게인 또는 시스템 파라미터 값의 변화에 따른 폐루프 극점의 위치를 알아내는 도해적인 방법이 근궤적법(root locus method) 이다. 2  근궤적  개념 그림 1 폐루프 제어시스템

폐루프 전달함수 T(s)는 개루프 전달함수 일반형태 폐루프 특성방정식 개루프 전달함수 G(s)의 크기와 위상

▶ 단위 피드백 제어시스템에 대한 근궤적 작도예 시스템        의 근궤적선도 ▶ 비최소위상 시스템의 근궤적 작도법

3 근궤적 작도법 (1) 근궤적의 수 폐루프 극점의 개수와 같다. (2) 근궤적의 출발점과 종착점 3  근궤적 작도법 (1) 근궤적의 수    폐루프 극점의 개수와 같다. (2) 근궤적의 출발점과 종착점   근궤적은 K = 0일 때 개루프 극점에서 출발하여 K = ∞일 때 개루프 영점에 종착한다. (3) 실수축상의 근궤적   개루프 전달함수 G(s)의 극점과 영점이 실수축상에 있을 때 근궤적은 임의의 구간에서 우측에 있는 실수축상의 개루프 극점과 영점을 합한 개수가 홀수이면 그 구간에 근궤적이 존재하고 짝수이면 근궤적이 존재하지 않는다. 의 실수축상의 근궤적

(4) 근궤적선도의 대칭성   복소근은 공액근으로서 허수부의 값이 실수축에 대해 대칭이므로 근궤적도 역시 실수축에 대하여 대칭이다. (5) 점근선의 각도와 위치   s가 ∞로 접근할 때 근궤적은 점근선(asymptote)을 갖는다. 개루프 극점의 개수가 n개이고 개루프 영점의 개수가 m개인 시스템에서 실수축과 이루는 점근선의 각도 α 실수축상에서 점근선들이 모이는 점인 점근선의 중심점 Ac

 (6) 분기점 위치   두 근궤적이 실수축을 떠나는 이탈점(break-away point)과 도착하는 복귀점(break-in point)을 분기점이라고 한다. 분기점에서의 K값은 실수축상에서 극값이 되므로 특성방정식을 K = f(s) 식으로 변형한 다음 dK/ds = 0의 근이  분기점이 된다.  (7) 허수축과의 교차점 근궤적이 허수축과 교차하는 순간은 시스템의 안정도가 파괴되는 임계점. 허수축과의 교차점에서의 주파수 ω와 그 때의 K값은 특성방정식에서 s값에 jω를 대입하여 실수부와 허수부를 각각 0으로 하는 두 개의 식으로부터 허수축과의 교차점에서의 주파수 ω와 그 때의 근궤적 파라미터 K를 구할 수 있다. 또한 Routh 안정도 판별법을 이용하여 위의 두 값을 구할 수도 있다.

점 s가 근궤적상의 점이 되기 위해서는 위상조건   (8) 출발점과 종착점의 각도 극점-영점 배치 및 근궤적 점 s가 근궤적상의 점이 되기 위해서는 위상조건 위의 근궤적선도에서, 극점 (-1+j1)에서 근궤적의 출발각 θ는

▶ 소스-싱크 상사 개념을 이용하여 작도한 근궤적선도 그림 4.7 소스-싱크 상사개념을 이용하여 작도한 근궤적선도의 예

4 근궤적 작도 예 [예제 4.5] 개루프 전달함수 의 근궤적? 1. 폐루프 특성방정식을 근궤적을 위한 일반형태로 표시한다. 4  근궤적 작도 예 [예제 4.5] 개루프 전달함수        의 근궤적?   1. 폐루프 특성방정식을 근궤적을 위한 일반형태로 표시한다.          2. s-평면상에 개루프 극점   3. 실수축상의 근궤적은 s = 0과 s = -4 사이에 존재한다.   4. 점근선의 각도 α는, 점근선의 중심점 Ac

K = -s(s+4)(s+4+j4)(s+4-j4)  5. 분기점의 위치: K = -s(s+4)(s+4+j4)(s+4-j4)              으로부터 근궤적의 이탈점이 s = -1.58에 있음   6. 허수축과의 교차점: Routh 배열 이용      s(s+4)(s2+8s+32)+K = s4+12s3+64s2+128s+K = 0 Routh 배열:   c1 = 0을 만족하는 K값:  K = 569   b1s2 + K = 0 --> 근궤적이 허수축상에 있을 때 ω = 3.25

7. 복소극점 p1에서의 출발각 θ1 ?

[예제] 다음 그림과 같이 두 개의 시스템 파라미터 a와 K를            포함하고 있는 폐루프 제어시스템에 대한 근궤적?   이 경우는 시스템 파라미터를 두 개 포함하고 있으므로 한 파라미터는 고정시키고 나머지 한 개의 파라미터를 근궤적 파라미터로 하여 근궤적을 그린 후, 고정했던 파라미터 값을 다른 값으로 고정한 후 반복 수행한다. 근궤적을 위한 일반형태로 표시한 특성방정식 위의 그림은 시스템 파라미터 K = 1, 4, 9, 16일 때 시스템 파라미터 a값의 변화에 따른 근궤적선도인 근컨투어(root-contour)선도

[예제] 비최소위상 시스템        에 대한 근궤적?  임의의 구간에서 우측에 있는 실수축상의 개루프 극점과 영점을 합한 개수가 짝수이어야 한다. 그리고 다음 식을 이용하여 s > 1, 그리고 -1 < s < 0 영역에 있는 두 개의 분기점을 구한다. dK/ds=0 의 해로부터 근궤적의 분기점이 s = 2.414와 s = -0.414에 있음을 알 수 있다.

[예제 4.11] 다음 폐루프 제어시스템에 대한 근궤적선도를 그리고 폐루프 제어시스템의 안정도를 평가하기로 한다. 5 근궤적을 이용한 제어시스템 해석 [예제 4.11] 다음 폐루프 제어시스템에 대한 근궤적선도를 그리고 폐루프 제어시스템의 안정도를 평가하기로 한다. < 폐루프 제어시스템 > < 근궤적선도 > 제한된 범위의 K값인 0 < K < 14 그리고 64 < K < 195일 때만 안정. 이러한 시스템을 조건부 안정시스템(conditionally stable system). 제어시스템 설계시 조건부 안정시스템은 바람직하지 않다.

[예제] 아래의 그림에 표시된 근궤적을 보고 게인 K값에 따른 폐루프 시스템의 시간역 성능; 대표극점의 감쇠비 ζ , 2% 정착시간 ts, 단위스텝입력에 대한 정상상태오차 ess를 정성적으로 나타내기로 한다.

그림 4.25 게인 K값에 따른 감쇠비 ζ 그림 4.26 게인 K값에 따른 정착시간 ts 그림 4.27 게인 K값에 따른 정상상태오차 ess

[예제 4.13] 구동기의 포화를 고려한 다음과 같은 비례 제어시스템에 대한 블록선도의 비선형 시스템에 대한 성능 및 안정도? 6 근궤적을 이용한 비선형 시스템 해석 [예제 4.13] 구동기의 포화를 고려한 다음과 같은 비례 제어시스템에 대한 블록선도의 비선형 시스템에 대한 성능 및 안정도? 그림 4.28 구동기의 포화를 고려한 비례 제어시스템 그림 4.29  구동기의 포화를 무시한 시스템에 대한 근궤적

그림 4.30 구동기 포화에 대한 기술함수게인 Ns 그림 4.31 그림 4.28에 표시된 비례 제어시스템의 스텝응답

7 MATLAB을 이용한 근궤적 [예제] MATLAB을 이용하여 다음과 같은 개루프 전달함수 G(s)의 근궤적선도를 그리기로 한다. 그리고 근궤적의 분기점        , 폐루프 시스템의 감쇠비        , 근궤적이 허수축상에 있을 때        의  근궤적 파라미터 K값과 그 때의 s값?

MATLAB 프로그램 4.2 % ****root-locus plot**** num = [1]; den = [1 1.1 10.3 5 0]; rlocus(num,den) grid title('root-locus plot of G(s)=K/[s(s+0.5)(s^2+0.6s+10)]')

폐루프 제어시스템의 감쇠비 값에 따른 근궤적 파라미터 K값과 s 값을 알아야 할 경우 MATLAB 프로그램        num=[1];        den=[1 1.1 10.3 5 0];        k1=0:0.2:20;        k2=20:0.1:30;        k3=30:5:1000;        r=rlocus(num,den);        plot(r,'-')        v=[-4 4 -4 4];axis(v)        grid        title('root-locus plot of G(s)=K/[s(s+0.5)(s^2+0.6s+10)]')        xlabel('real axis')        ylabel('imag axis')        hold on % 근궤적선도에 동일한 감쇠비    선 추가   i = 0:6;                                                   plot( -0.707*i, i*sqrt( 1-0.707^2),':')                       plot( -0.707*i, -i*sqrt( 1-0.707^2),':')                     rlocfind( num, den )  % 지정 커서(cursor), 즉 ‘+’가 나타나게 한다.

만일 폐루프 극점의 위치를 정확히 알 수 있는 경우에는     선을 그릴 필요없이 'rlocfind' 명령만을 추가해서 원하는 위치에 ‘+’ 커서를 놓고 지정해주면 그 점에서의 K값과 s값을 찾아낼 수 있다.