실질적인 포사체 운동 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호, hwlee@inje.ac.kr 운동시뮬레이션 제3주 실질적인 포사체 운동 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호, hwlee@inje.ac.kr 13:34:05

다음주 과제 제 1 차 시험 제 3 장 읽어오기 숙제 해서 제출하기(3월 30일, 시험 다음 주) 주관식 30문제 각 3점 신분증, 계산기 지참할 것 휴대전화 사용 안됨 시험시간 : 3월 23일(수요일) 6교시 시험장소 : E115, 시험 후 실습 실시 요약 종이 갖고 올 것(10점) 제 3 장 읽어오기 숙제 해서 제출하기(3월 30일, 시험 다음 주)

제2장 실질적인 포사체 운동 자전거 타기 : 공기저항의 효과 포사체 운동 : 포탄의 궤적 야구 : 타자가 친 공의 운동 던진 야구공 : 회전의 효과 골프 13:34:05

소개 공기 중에서의 물체의 운동 Euler 방법으로 해를 구함. 공기의 저항을 고려하면 해석적인 해는 구할 수 없지만 수치적으로는 구할 수 있음. 평지에서의 자전거의 운동 실제적인 경우는 공기저항을 고려해야 함. 2차원에서의 포사체 운동 공기저항이 중요함. 고도에 따른 저항의 변화가 중요한 역할을 함. 배트로 친 공 또는 던진 공의 운동 더 실제적인 공기저항 모델이 필요함. 던진 공의 경우는 회전 효과도 고려해야 함. 궁극적으로 “왜 골프 공은 홈이 있는가?”라는 물음에 답할 것임. 13:34:05

자전거 타기 : 공기저항의 효과 𝐹 자전거는 효율적인 이동 수단임. 무엇이 자전거의 최고속력을 결정하고 그 값을 어떻게 예상할 수 있는가? 저항을 고려하지 않은 쉬운 경우로 시작 결국 뉴우톤의 운동 방정식을 푸는 문제임 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝐹 or 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑚 𝐹 13:34:05

자전거 타기 : 공기저항의 효과 𝑚 : 자전거와 탄 사람의 질량 𝑣 : 자전거의 속력 𝐹 : 탄 사람이 자전거에 미치는 힘 𝑡 : 시간 탄 사람이 자전거에 미치는 힘을 정확하게 아는 것은 거의 불가능함. 13:34:05

자전거 타기 : 공기저항의 효과 힘을 자세히 알 지 못하므로 사람의 일률을 사용할 것임. 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 2 2 =𝑚𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡 에 의하여 힘이 들어가지 않은 방정식 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑚𝑣 전문경륜선수는 1시간 동안 평균 400와트의 일률로 자전거를 탈 수 있음. 13:34:05

P가 일정한 경우의 해 적분하여 해를 구할 수 있음(물리적이지 않음) 𝑣 0 𝑣 𝑣 ′ 𝑑𝑣′ = 0 𝑡 𝑃 𝑚 𝑑𝑡′ , 𝑣 0 𝑣 𝑣 ′ 𝑑𝑣′ = 1 2 𝑚 𝑣 2 − 1 2 𝑚 𝑣 0 2 𝑣= 𝑣 0 2 +2𝑃𝑡/𝑚 , 이 값은 시간에 따라 끝없이 증가함!(실질적이지 못함) 13:34:05

수치적인 해 미분 방정식 : 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑚𝑣 필요한 변수 Modelica 방정식 미분 방정식 : 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑚𝑣 필요한 변수 𝑣 : 임의의 시간에서의 구하고자 하는 자전거의 속력, 단위 m/s 𝑃 : 사람이 자전거에 해주는 일률, 단위 J/s 𝑚 : 자전거와 사람 전체의 질량, 단위 kg Modelica 방정식 𝑑𝑒𝑟 𝑣 =𝑃/(𝑚∗𝑣); 13:34:05

수치해 초기조건 : 𝑣 0 =4m/s, 𝑃=400W ∆𝑡의 선택은 이 시간 간격 동안 속력이 충분히 작게 변하도록 하면 된다. 여기서 “충분히”라는 조건을 정확하게 말하기는 어렵다. 기본적인 규칙은 문제에 나타난 시간(이 문제에서는 종속에 도달하는데 걸리는 시간, 핵붕괴 문제에서는 평균 수명)의 1%로 시작하고 더 작은 시간간격에 대해서 계산을 반복하는 것이다. 13:34:05

수치해 시간간격을 줄이면 오차가 줄어든다. 그러나 원하는 시간까지 값을 계산하는 데는 시간이 더 걸린다. 따라서 적당한 값을 정해야 한다. 시간 간격을 줄여 가면서 계산을 반복해서 실제로 수치 해가 수렴하는지를 확인 하는 것이 중요하다. 이 문제에서는 시간 간격을 1초보다 작게 하면 된다. 13:34:05

저항이 없는 경우의 해 속력이 한계가 없이 증가할 것이 예상된다. 초기속력 4m/s, 질량 70kg, 시간간격 0.1s 로 속력이 한계가 없이 증가할 것이 예상된다. 초기속력 4m/s, 질량 70kg, 시간간격 0.1s 로 계산한 결과임. 13:34:05

글래스 소스 코드 Motion.y2016.Week03.BicycleNoAir 구하고자 하는 속력 변수 파라메터 변수 구하고자 하는 속력 변수가 만족하는 미분 방정식 13:34:05

시뮬레이션 조건 설정 오른 버튼 클릭 13:34:05

시뮬레이션 조건 설정 시뮬레이션 시작시간 종료시간 설정 미분방정식 Solver 선택 오차 한계 13:34:05

시뮬레이션 조건 설정 결과 출력 형식 mat : 이진 형식 출력, MATLAB, Octave 에서 사용 가능 plt : 일반 텍스트 출력 csv : 자료를 콤마로 구분하여 저장 empty : 출력하지 않음 적분 구간의 개수 ∆𝑡= 종료시간 −시작시간 인터벌 수 ∆𝑡= 400−0 4000 =0.1초 13:34:05

시뮬레이션 실행 콤파일하고 시뮬레이션한 로그를 보여준다. 13:34:05

시뮬레이션 실행 13:34:05

결과 보이기 보고자 하는 변수 선택 13:34:05

비현실적인 이유 일정한 일률로 자전거를 탄다는 것은 일정하게 에너지를 공급하는 것이고 에너지를 소비하는 것(저항, 마찰 등)이 없다고 하면 (운동)에너지가 계속 증가하는 것은 당연하다. 따라서 현실 적인 경우에서는 에너지가 소비되는 과정을 포함해야 한다. 자전거의 기계적인 마찰에 의한 소비도 있지만 우선 공기의 저항을 고려 한다. 13:34:05

에너지 손실 잘 조절된 자전거는 시속 8km 혹은 16km 이상으로 달리 수 있다. 자전거의 기계적 마찰이나 타이어의 마찰은 공기의 저항에 비하면 무시할 수 있다. 현실적인 자전거 운동은 공기저항만 고려해도 충분하다. 공기 저항은 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ≈− 𝐵 1 𝑣− 𝐵 2 𝑣 2 로 주어진다. 13:34:05

에너지 손실 아주 적은 속력에서는 첫 째 항의 효과가 크다. 이 것을 스톡스(Stokes’s) 효과라고 한다. 속력이 어느 정도 커지면 두 번째 항의 효과가 더 커진다. 계수 𝐵 2 는 이론적으로 구할 수 없다. 𝐵 2 ≈4.0× 10 −5 m −1 13:34:05

𝐵 2 의 추정 단면적이 𝐴인 물체가 𝑣의 속력으로 밀도가 𝜌인 공기 중을 𝑑𝑡초 동안 움직이면 밀어내는 공기의 질량은 𝑚 𝑎𝑖𝑟 ~𝜌𝐴𝑣𝑑𝑡 공기가 얻는 운동 에너지는 𝐸 𝑎𝑖𝑟 ~ 1 2 𝑚 𝑎𝑖𝑟 𝑣 2 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑣𝑑𝑡= −𝐸 𝑎𝑖𝑟 따라서 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ~− 1 2 𝐶𝜌𝐴 𝑣 2 가 된다. A 𝜌𝐴𝑣𝑑𝑡 𝑣𝑑𝑡 13:34:05

𝐵 2 의 추정 공기가 물체를 미는 힘 작용 반작용 쌍 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 물체가 공기를 미는 힘 𝑣 에 의해 정지해 있던 공기가 𝑣𝑑𝑡 𝑣 물체가 공기를 미는 힘 공기가 물체를 미는 힘 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 정지해 있던 공기가 속력을 얻게 됨 작용 반작용 쌍 에 의해 13:34:05

에너지 손실 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ≈− 𝐵 2 𝑣 2 를 고려하여 공기저항을 추가 하면 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑚𝑣 − 𝐶𝜌𝐴 𝑣 2 2𝑚 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ≈− 𝐵 2 𝑣 2 를 고려하여 공기저항을 추가 하면 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑚𝑣 − 𝐶𝜌𝐴 𝑣 2 2𝑚 계수는 물체의 속력에 따라 달라질 수 있음. 정확한 값은 풍동 실험을 통해서만 얻을 수 있음. 13:34:05

공기저항이 있는 경우의 결과 저항이 없는 경우 속력이 한계가 없이 증가함 저항이 있는 경우 속력이 한계가 있음 속력이 한계가 없이 증가함 저항이 있는 경우 속력이 한계가 있음 초기속력 4m/s, 질량 70kg, C는 0.5, 공기 밀도는 1.293kg/ m 3 , 시간간격 0.1s 로 계산한 결과임. 13:34:05

해석 공기저항이 있는 경우 최종 속력은 단면적, 저항계수, 공기밀도 등에 따라 달라진다. 종속력은 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =0이 되는 조건을 구하면 된다. 그 값은 𝑣 𝑇 = 2𝑃 𝐶𝜌𝐴 1/3 로 주어진다. 자전거 레이싱에서 모여서 달리는 경우 뒤에 있는 사람이 훨씬 힘이 덜 드는 것은 효과적인 단면적이 적기 때문이다. 13:34:05

종 속도의 몇 가지 예 𝑪=𝟎.𝟓, 𝝆=𝟏.𝟐𝟗𝟑𝒌𝒈/ 𝒎 𝟑 , 𝑨=𝟎.𝟑𝟑 𝒎 𝟐 , 𝒗 𝟎 =𝟒.𝟎𝒎/𝒔 𝑃[𝑊] 𝑪=𝟎.𝟓, 𝝆=𝟏.𝟐𝟗𝟑𝒌𝒈/ 𝒎 𝟑 , 𝑨=𝟎.𝟑𝟑 𝒎 𝟐 , 𝒗 𝟎 =𝟒.𝟎𝒎/𝒔 𝑃[𝑊] 𝑣 𝑇 [𝑚/𝑠](km/h) 60 8.25(29.7) 200 12.3(44.4) 400 15.5(55.9) 800 19.6(70.5) 13:34:05

클래스 소스 코드 Class : Motion.y2015.Week03.BicycleAir 추가된 공기 저항 효과 항 13:34:05

Modelica 시뮬레이션 결과 13:34:05

Modelica 시뮬레이션 결과 13:34:05

포사체 운동 : 포탄의 궤적 𝑔 두 개의 뉴우턴 운동 방정식의 해를 구함. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =0, 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 이 방정식은 변수에 대한 두 번 미분을 포함하기 때문에 이차방정식이라고 한다. 𝑔 13:34:05

운동 방정식 뉴우톤운동의 제2법칙 해석적인 해 초기조건 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =0, 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =0, 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 해석적인 해 𝑥 𝑡 = 𝑣 0,𝑥 𝑡+ 𝑥 0 𝑦 𝑡 =− 1 2 𝑔 𝑡 2 + 𝑣 0,𝑦 𝑡+ 𝑥 0 초기조건 𝑥 0 = 𝑥 0 , 𝑦 0 = 𝑦 0 , 𝑣 𝑥 0 = 𝑣 𝑥,0 , 𝑣 𝑦 0 = 𝑣 𝑦,0 13:34:05

수치해 이차 미분 방정식을 직접 Modelica에서 기술하지는 못한다. 거의 모든 수치해석 방법은 1차 미분 방정식을 기준으로 하고 있다. 한 개의 이차 미분 방정식을 속도 변수를 도입하여 두 개의 일차 미분 방정식으로 수정한다. 13:34:05

동등한 일차 미분 방정식 동등한 연립 일차 미분 방정식 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =0 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 , 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑚 13:34:05

공기저항 고려 저항력 미분 방정식 𝑣 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝜃 𝑣 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 미분 방정식 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔, 𝑥 𝑚 , 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 + 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔, 𝑦 𝑚 저항력 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =− 𝐵 2 𝑣 2 , 𝑣= 𝑣 𝑥 2 + 𝑣 𝑦 2 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 cos 𝜃 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑣 𝑥 𝑣 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑥 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑦 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 sin 𝜃 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑣 𝑦 𝑣 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑦 13:34:06

동등한 일차 미분 방정식 1차 미분 방정식 초기조건 종료 조건 : 𝑦<0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑥 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 , 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑚 − 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑦 𝑚 초기조건 𝑥 0 =0, 𝑦 0 =0 𝑣 𝑥 0 = 𝑣 0 cos 𝜃 0 , 𝑣 𝑦 0 = 𝑣 0 sin 𝜃 0 종료 조건 : 𝑦<0 13:34:06

Modelica 클래스 Motion.y2016.Week03.Projectile 4 개의 미분방정식 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑥 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 , 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑚 − 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑦 𝑚 구하는 좌표값 초기값은 0 구하는 속도값 초기값은 𝑣 0,𝑥 = 𝑣 0 cos 𝜃 0 , 𝑣 0,𝑦 = 𝑣 0 sin 𝜃 0 가도로 주어진 발사각을 라디안으로 변환해 사용 속력의 계산식𝑣= 𝑣 𝑥 2 + 𝑣 𝑦 2 시뮬레이션 종료 조건 y좌표가 0미만이면 종료한다. 임의 시간에서의 속력 값 시뮬레이션 파라메터 값 13:34:06

Modelica 시뮬레이션 결과 x좌표의 시간 변화 일정하게 증가 y좌표의 시간 변화 증가하다가 감소하고 0에서 종료한다. 13:34:06

Modelica 시뮬레이션 결과 x좌표의 시간 변화 일정하게 증가 y좌표의 시간 변화 증가하다가 감소하고 0에서 종료한다. 발사각도가 커서 빨리증가한다. 13:34:06

궤적 그리기 x, y 그래프 그리기 기본 그림은 시간에 따른 변수들의 그림이 그려진다. 경우에 따라서는 x축과 y축에 임의의 변수를 표시하여 그릴필요가 있다. 이러한 그림을 Parametric Plot 이라고 한다. 새로운 그래프를 추가 한다. 13:34:06

포사체 운동 : 포탄의 궤적 결과 13:34:06

포사체 운동 : 포탄의 궤적 결과 앞결과와 같아 보이지만 포탄이 떨어진 x좌표가 줄어든 것을 알 수 있다. 13:34:06

다양한 결과 여러 발사각에 따른 변화 13:34:06

고도의 효과 고도에 따라 공기의 밀도가 줄어든다. 따라서 고도가 높을 수록 공기의 저항도 줄어든다. 고도에 따른 밀도의 실험식 𝜌(𝑦)= 𝜌 0 1− 𝑎𝑦 𝑇 0 𝛼 , 𝑎≈6.5× 10 −3 𝐾 𝑚 , 𝛼≈2.5 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑦 = 𝜌(𝑦) 𝜌 0 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 13:34:06

포탄의 궤적 밀도 수정 미분 방정식 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔, 𝑥 𝑚 , 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 + 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔, 𝑦 𝑚 저항력 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =− 𝐵 2 𝜌 𝜌 0 𝑣 2 , 𝑣= 𝑣 𝑥 2 + 𝑣 𝑦 2 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 cos 𝜃 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑣 𝑥 𝑣 =− 𝐵 2 𝜌 𝜌 0 𝑣 𝑣 𝑥 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑦 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 sin 𝜃 = 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑣 𝑦 𝑣 =− 𝐵 2 𝜌 𝜌 0 𝑣 𝑣 𝑦 𝜌= 𝜌 0 1− 𝑎𝑦 𝑇 0 𝛼 13:34:06

포탄의 궤적 밀도 수정 1차 미분 방정식 초기조건 종료 조건 : 𝑦<0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑥 𝑚 𝜌 𝜌 0 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 , 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑚 − 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝑦 𝑚 𝜌 𝜌 0 초기조건 𝑥 0 =0, 𝑦 0 =0 𝑣 𝑥 0 = 𝑣 0 cos 𝜃 0 , 𝑣 𝑦 0 = 𝑣 0 sin 𝜃 0 종료 조건 : 𝑦<0 13:34:06

Modelica 클래스 Motion.y2016.Week03.ProjectileDensity 고도에 따른 상대밀도 게산 13:34:06

포탄의 궤적 밀도 수정결과 고도에 따른 저항의 차이 때문에 x좌표가 일정하게 증가하지 않는다. Y좌표는 기존과 유사하다. 13:34:06

x, y 그래프 그리기 기본 그림은 시간에 따른 변수들의 그림이 그려진다. 경우에 따라서는 x축과 y축에 임의의 변수를 표시하여 그릴필요가 있다. 이러한 그림을 Parametric Plot 이라고 한다. 새로운 그래프를 추가 한다. 13:34:06

포탄의 궤적 밀도 수정결과 고도에 따른 저항의 차이 때문에 그렇지 않은 것 보다 더 높고 멀리간다. 13:34:06

포탄의 궤적 밀도 수정결과 고도에 따른 저항의 차이 때문에 그렇지 않은 것 보다 더 높고 멀리간다. 13:34:06

야구 : 타자가 친 공의 운동 타자가 친 공의 운동은 포탄의 운동과 거의 동일하다. 홈런 타자는 야구공을 49m/s 의 초속도를 갖도록 때려낸다. 공의 각도가 45도라고 하면 공기의 저항을 무시하면 비거리는 약 248m 이다. 그러나 야구장의 크기는 110~120m이다. 공기의 저항력 때문에 계산보다 적게 간다. 13:34:06

공에 대한 공기의 저항 공기의 흐름이 터블런트면 저항이 줄어든다. 흠이 있는 공은 적은 속력에서 터블런트를 생성한다. 13:34:06

저항계수 C의 변화 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =− 1 2 𝐶𝐴𝜌 𝑣 2 13:34:06

야구 : 타자가 친 공의 운동 공에 대한 공기 저항의 효과는 복잡하다. 바람이 부는 경우 저항에 영향을 준다. 𝐵 2 𝑚 =0.0039+ 0.0058 1+exp⁡[ 𝑣− 𝑣 𝑑 Δ ] 𝑣 𝑑 =35𝑚/𝑠, Δ=5𝑚/𝑠 바람이 부는 경우 저항에 영향을 준다. 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 =− 𝐵 2 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑,𝑥 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑦 =− 𝐵 2 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑦 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑,𝑦 13:34:06

저항계수의 속도에 따른 변화 𝐵 2 𝑚 =0.0039+ 0.0058 1+exp⁡[ 𝑣− 𝑣 𝑑 Δ ] 𝑣 𝑑 =35𝑚/𝑠, Δ=5𝑚/𝑠 13:34:06

타자가 친공 미분 방정식 1차 미분 방정식 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑,𝑥 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 , 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑚 − 𝐵 2 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑦 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑,𝑦 𝑚 𝐵 2 𝑚 =0.0039+ 0.0058 1+exp⁡[ 𝑣− 𝑣 𝑑 Δ ] , 𝑣= 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑑 =35𝑚/𝑠, Δ=5𝑚/𝑠 13:34:06

타자가 친공 미분 방정식 초기조건 종료 조건 : 𝑦<0 𝑥 0 =0, 𝑦 0 =0 𝑥 0 =0, 𝑦 0 =0 𝑣 𝑥 0 = 𝑣 0 cos 𝜃 0 , 𝑣 𝑦 0 = 𝑣 0 sin 𝜃 0 종료 조건 : 𝑦<0 13:34:06

타자가 친공 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week03.BattedBall

타자가 친 공 결과

타자가 친 공 결과

x, y 그래프 그리기 기본 그림은 시간에 따른 변수들의 그림이 그려진다. 경우에 따라서는 x축과 y축에 임의의 변수를 표시하여 그릴필요가 있다. 이러한 그림을 Parametric Plot 이라고 한다. 새로운 그래프를 추가 한다.

타자가 친공

타자가 친공 결과

타자가 친공 결과

바람의 효과 13:34:06

타자가 친 공 해석 공기의 저항 때문에 비행 거리는 약 반으로 줄어 들었다. 뒷 바람이 불면 거리가 길어지고, 맞 바람이 불면 거리가 짧아진다. 초기 각도에 따라 거리가 달라진다. 바람이 불지 않는 경우 약 35도에서 최대로 멀리 간다. 13:34:06

던진 야구공 : 회전의 효과 던진 공은 회전한다. 공기에 대한 상대 속도는 공의 위와 아래에서 다르다. 공기의 저항이 공의 위 아래에서 다른 것 때문에 진행방향과 수직인 힘이 발생한다. 이 힘을 Magnus 힘 이라고 한다. 회전벡터의 방향은 회전하는 방향으로 오른손의 네 손가락을 감아 쥐었을 때 엄지의 방향이다. 13:34:06

Magnus 힘 𝑣−𝜔𝑟 𝜔 𝑣 𝑦 𝜔 𝐹 𝑀 𝑣+𝜔𝑟 𝑥 𝑣 𝑧 𝐹 𝑀 ∝ 𝑣+𝜔𝑟 2 − 𝑣−𝜔𝑟 2 ≈ 𝑣 2 +2𝑣𝜔𝑟− 𝑣 2 −2𝑣𝜔𝑟 ≈4𝑣𝑟𝜔 𝐹 𝑀 = 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑥 𝐹 𝑀 = 𝑆 0 𝜔 × 𝑣 𝑦 𝜔 𝐹 𝑀 𝑥 𝑣 𝑧 13:34:06

일반적인 경우의 Magnus 힘 𝜔 =𝜔 𝑦 인 경우, 즉 공의 회전 축이 y축 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 𝐹 𝑀 = 𝑆 0 𝜔 × 𝑣 = 𝑆 0 𝜔 𝑦 × 𝑣 𝑥 𝑥 + 𝑣 𝑦 𝑦 + 𝑣 𝑧 𝑧 = 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑧 𝑥 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑥 𝑧 𝑆 0 𝑚 ≈4.1× 10 −4 , 𝑚=149g=0.149kg 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =− 𝐵 2 𝑣 𝑣 13:34:06

운동 방정식 𝐹 =𝑚 𝑎 Newton’s second law No analytic solution 𝑑 2 𝑟 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 𝑦 + 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑚 + 𝐹 𝑀 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =− 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑥 + 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑧 𝑚 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 − 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑦 𝑑 2 𝑧 𝑑 𝑡 2 =− 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑧 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑥 𝑚 No analytic solution 𝐹 =𝑚 𝑎 13:34:06

1차 미분 방정식 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑥 + 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑧 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑥 + 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑧 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 , 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝑔 𝑚 − 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑧 , 𝑑 𝑣 𝑧 𝑑𝑡 =− 𝐵 2 𝑚 𝑣 𝑣 𝑧 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑥 𝑚 13:34:06

초기조건 및 가정 초기조건 종료조건 : 공이 포수에게 도달했을 때 가정 : 회전은 운동하는 동안 변하지 않는다 𝑥 0 =0, 𝑣 𝑥 0 =39m/s 𝑦 0 =1.0𝑚, 𝑣 𝑦 0 =0 𝑧 0 =0 𝑣 𝑧 0 =0 종료조건 : 공이 포수에게 도달했을 때 𝑥>18.39 (투수와 포수 사이의 거리) 가정 : 회전은 운동하는 동안 변하지 않는다 𝜔 =𝜔 𝑦 , 𝜔=30 rev/s=60𝜋 rad/s 약 시속 140km 13:34:06

투수가 던진공 Modelica 클래스 Modelica.y2016.Week03.ThrownBall

던진 공 결과

던진 공 결과

던진 공 결과 해석 회전에 의한 Magnus 힘 때문에 수평 방향으로 운동이 발생한다. 회전의 양에 따라 수평 방향으로 휘는 정도가 다르다.

결과 18.39m 13:34:06

너클 볼(Knuckleball) 표면이 매끄러운 부분과 그렇지 않은 부분은 공기의 저항이 다르다. 야구공의 실밥이 있는 부분과 없는 부분은 다른 공기 저항이 다르다. 이 차이가 공이 회전하지 않을 경우에 실밥이 있는 방향으로 힘이 작용하다. 이 힘 때문에 공이 수평으로 움직인다. 공의 회전을 아주 적게 주어 공이 좌우로 움직이게 하는 것이 너클볼이다. 13:34:06

너클 볼 𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝜔 반대편 : 실밥이 있는 면 공기저항이 작다 힘의 방향 화면으로 들어 가는 방향 매끄러운 면 : 공기저항이 크다 13:34:06

너클 볼 공의 각도에 따른 힘의 크기 𝐹 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑔 =0.5[ sin 4𝜃 −0.25 sin 8𝜃 +0.08 sin 12𝜃 −0.025 sin 16𝜃 ] 13:34:06

너클 볼 궤적 13:34:06

골프 운동 방정식 𝜔 =𝜔 𝑧 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 𝑚 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑦 𝑚 운동 방정식 𝜔 =𝜔 𝑧 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 𝑚 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑦 𝑚 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑦 𝑚 + 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑥 𝑚 − 𝑔 𝑚 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =−𝐶𝜌𝐴 𝑣 2 𝐶= 1 2 , for 𝑣 ≤14𝑚/𝑠, 𝐶= 7 𝑣 , otherwise (with dimple) 13:34:06

결과 13:34:06