Chapter 2 Time Domain Analysis

LTI System & Convolution 컨벌루션 - LTI 시스템에서 임의의 입력신호에 대한 출력신호 계산 - 선형시스템의 분석 및 응답 도출 임펄스 응답 - 단위 임펄스 함수 에 대한 프로세서의 응답 LTI 시스템의 출력은 입력신호와 임펄스 응답의 컨벌루션

임펄스를 이용한 디지털 신호의 표현 : k=4일 때만 값이 존재

LTI System 그림 2.2 그림 2.3 임펄스 응답 : 시스템의 고유응답(natural response) 다양한 형태의 임펄스 함수 그림 2.2 그림 2.3

Recurrence Formula & Difference Eq. 대역 필터의 회귀 공식 표현 예 일반적 형태

Impulse Response 그림 2.4 식 (2.4) 예 : 대역필터 a1 = 1.5, a2 = -0.85, a3 = 0 and b1 = 1, b2 = 0, b3 = 0 1.0 1.5 1.4 그림 2.4

예제 2.1 샘플링주기, 간격 (a) (b) Non-recursive version Recursive version Cosine 형태로 감소 단위계단함수 형태

Step Response 그림 2.6 계단 함수는 실제로도 많이 발생하는 신호 갑작스런 장애에 대한 시스템의 응답 평가 컨벌루션은 계단 신호와 계단 응답으로 정의 --- 이동합 --- --- LTI 시스템 --- --- LTI 시스템 --- --- 이동합 --- 그림 2.6 Natural response

예제 2.2 그림 2.7

Digital Convolution 임의의 입력 DSP의 임펄스 응답 임의의 입력 신호에 대한 출력신호의 합 컨벌루션 합 그림 2.8

Digital Convolution h[-(k-1)] 그림 2.9 그림 2.10

예제 2.3 The input signal is as in Fig2.8 and the impulse response is given by (b) The input signal is the sample sequence : …0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0… and the impulse response is given by :

5-point Moving Average Filter 변화까지 손실 Noncausal 이지만 미리 저장하여 offline 처리이므로 무관 (realtime 일때는 반드시 causal 이어야…) 그림 2.11 : 비순환 필터 : 순환 필터

10-point Moving Average Filter 시작과도 신호 두 가지 주파수 성분 포함 그림 2.12 두개의 서로 다른 주파수 성분을 포함하는 입력신호에 대한 이동 평균 필터링

Summary 교환 법칙 결합 법칙 분배 법칙

LTI System에서의 과도현상 무한히 계속되는 실제신호는 존재하지 않는다 실제적인 디지털 신호처리는 어느 순간에 시작되어 언젠가는 중단 시작 과도 신호 : 신호가 인가 또는 신호처리가 시작되었을 때 정지 과도 신호 : 신호 입력이나 신호처리가 중단되었을 때 예: 디지털 대역 필터 (그림 1.5)

LTI System에서의 과도현상 그림 2.5 그림 2.12

LTI System에서의 과도현상 과도 신호는 여러 가지 이유로 중요 원하는 응답을 볼 수 없게 함 1) 시작과도 특성은 출력 신호의 초기 부분에 더해지기 때문에 원하는 응답을 볼 수 없게 함 2) 디지털 프로세서의 초기 출력은 0으로 가정하는 경우가 대부분임 그러나 이것은 이전 입력 신호가 끊긴 뒤 안정 상태에 들어간 경우에만 가능함. 즉, 모든 정지과도가 모두 사라지고 없어야 함 3) 과도응답은 시스템의 고유응답 및 임펄스응답과 매우 밀접한 관계가 있음. 이들을 통해서 선형 프로세서의 동작에 관한 보다 가치 있는 통찰이 가능함

LTI System에서의 과도현상 “직사각형 펄스” 입력신호에 대한 세 가지 이동 평균 필터들의 과도 및 안정상태 응답 특성 : 주기 당 40 샘플 3 15 8 x(n)의 한주기에 대한 평균값 5점 이동 평균 필터 15-point moving - average filter 40-point moving - average filter

LTI System에서의 과도현상 시작과도 신호 정지과도 신호

Difference Equation 일반적인 형태 : 3개의 순환 항 3개의 비순환 항 N : 시스템의 차수

Difference Equation 보조 조건 : 경계 조건 프로세서가 이전의 입력 이후에 완전한 휴식 또는 안정 상태에 있지 않는 경우를 나타냄 예) - y[-1] 값을 안다면 y[0]를 구할 수 있다 - 시스템이 아직 이전의 입력에 대하여 반응하고 있다면 y[-1]은 0이 아닐 수 있다

Difference Equation 보조 조건이 0이 아닌 경우  전체 응답 = 균일해(homogeneous) + 특수해(particular) 균일해  과도 신호  - 0이 아닌 보조 조건에 대한 과도 응답 - 입력 신호의 스위칭에 의한 과도 응답 특수해  특정 입력에 대한 시스템의 정상 상태 응답

Difference Equation 예 : • n=0 에서 시작되었을 경우 • • • 일 경우  균일해 • 일 경우  균일해 • 입력이 인가되지 않았을 경우

Difference Equation yp[n]은 사인 신호 yp[n]은 x[n]과 다른 위상을 갖고 있으나 주파수는 동일하다. yh[n]은 다른 주파수로 진동하며 사라지고 있다 균일해는 입력의 특성이 아닌 시스템의 특성을 보여 준다. (시스템의 임펄스 응답과 같은 형태로 나타남)

예제 2.4 p. 69 그림 (a) 필터의 이산 방정식 : 오븐의 온도는 샘플링 시작할 때 이고 이후 초당 씩 상승 오븐의 온도는 샘플링 시작할 때 이고 이후 초당 씩 상승 Ts = 10 초 오븐의 온도는 10으로 나눈 값이 되도록 스케일링 된다.

예제 2.4 풀이) 임펄스 응답은 x[n]을 단위 임펄스로 대치함으로써 구함 필터의 임펄스 응답을 찾고, 배열 Υ에 저장되는 출력신호 y[n]의 처음 다섯 개의 값을 구하라 풀이) 임펄스 응답은 x[n]을 단위 임펄스로 대치함으로써 구함 y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]

예제 2.4 임펄스 응답은 y[0] = 0.5(4) = 2.0 y[1] = 0.5(5) + 0.25(4) = 3.5 그림 (b) 스케일링 요소가 10이라는 것을 감안하여 입력 신호을 그림의 (c) 부분에 그려 놓았다. x[n]과 h[n]을 비순환적으로 컨벌루션했을 때 처음의 다섯 개의 필터 출력은 다음과 같다. y[0] = 0.5(4) = 2.0 y[1] = 0.5(5) + 0.25(4) = 3.5 y[2] = 0.5(6) + 0.25(5) + 0.125(4) = 4.75 y[3] = 0.5(7) + 0.25(6) + 0.125(5) + 0.0625(4) = 5.875 y[4] = 0.5(8) + 0.25(7) + 0.125(6) + 0.0625(5) + 0.03125(4) = 6.9375

예제 2.4 y[0] = 0.5(0) + 0.5(4) = 2 y[1] = 0.5(2.0) + 0.5(5) = 3.5 (b) 필터의 회귀 공식 : y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n] 저장된 배열 Υ의 첫 번째 값을 y[-1]이라고 가정을 하고, 이 식으로부터 y[n]의 처음 몇 개의 샘플 값들을 구하면 -10 C의 안정상태 에러를 제외하고, y[n]이 x[n]을 따라가려는 경향이 있음. y[n]의 처음 다섯 개의 값들은 (a)에서 구한 값들과 일치함. y[0] = 0.5(0) + 0.5(4) = 2 y[1] = 0.5(2.0) + 0.5(5) = 3.5 y[2] = 0.5(3.5) + 0.5(6) = 4.75 y[3] = 0.5(4.75) + 0.5(7) = 5.875 y[4] = 0.5(5.875) + 0.5(8) = 6.9375 y[5] = 0.5(6.9375) + 0.5(9) = 7.9688 y[6] = 0.5(7.9688) + 0.5(10) = 8.9844 y[7] = 0.5(8.9844) + 0.5(11) = 9.8822 y[8] = 0.5(9.9922) + 0.5(12) = 10.9961 y[9] = 0.5(10.9961) + 0.5(13) = 11.9981 o

예제 2.4 y_h [0] = 0.5(-2) = -1.00 y_h [1] = 0.5(-1.00) = -0.50 (c) 출력의 특수해 성분을 추정하고 균일해 성분을 구하라.. 풀이) 특수해는 램프 입력 신호에 대한 필터의 안정상태 응답을 나타낸다. 이 결과로부터 특수해는 다음과 같아야 한다. n=-1까지 확장하면 이다. 그러나 초기 조건을 만족시키기 위해서 y[-1]은 0이어야 한다. 또한 균일해에 대해서는 이어야 한다. 따라서 균일해는 다음과 같은 관계를 가져야 한다. 이로부터 균일해는 다음과 같이 구할 수 있다. 균일해 그림 (d) : 임펄스 응답 h[n]이 반전된 파형을 보임. y_h [0] = 0.5(-2) = -1.00 y_h [1] = 0.5(-1.00) = -0.50 y_h [2] = 0.5(-0.50) = -0.25, ……

예제 2.4 (d) 모든 n에 대하여 균일해가 0이 되는 오븐의 초기 온도를 찾아라. (c) 부분의 결과로부터 이러한 상황은 x[0]=2일 때 발생한다는 것을 알고, 이는 다음의 입력 신호 값에 대해서 필터의 회귀 공식을 사용함으로써 확인할 수 있음 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. y[-1]=0이라고 가정하면 y [0] = 0.5(0) + 0.5(2) = 1.0 y [1] = 0.5(1.0) + 0.5(3) = 2.0 y [2] = 0.5(2.0) + 0.5(4) = 3.0………… 예상했던 대로 시작 과도응답과 균일해 성분은 발생하지 않음.