제 3장 행 렬

목 차 3.1 행렬의 개념 3.2 행렬의 연산 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 3.4 부울 행렬 3.5 연립 방정식 3.6 역행렬의 계산 3.7 행렬식 3.8 벡터공간 3.9 고유값과 고유벡터

3.1 행렬의 개념 정의 3-1 행렬(matrix) 행렬 : 숫자로 구성된 사각형 형태의 2차원 배열 3.1 행렬의 개념 정의 3-1 행렬(matrix) 행렬 : 숫자로 구성된 사각형 형태의 2차원 배열 m×n 행렬 : m개의 행(row)과 n개의 열(column) 로 구성 정방 행렬(square matrix) : 행의 수와 열의 수가 같은 행렬

3.1 행렬의 개념 정의 3-2 행렬의 행(row)과 열(column) 및 원소(element;member)

3.1 행렬의 개념 행렬 A의 i번째 행 : 1 × n 행렬 [ai1, ai2, …, ain] 3.1 행렬의 개념 행렬 A의 i번째 행 : 1 × n 행렬 [ai1, ai2, …, ain] 행렬 A의 j번째 열 : n × 1 행렬 aij : 행렬 A의 (i, j)번째 원소 행렬 A＝(aij)로 간단히 표기

3.1 행렬의 개념 1차원 배열: 벡터(vector) , 행렬과 벡터의 각 원소: 스칼라(scalar)

3.2 행렬의 연산 정의 3-3 행렬의 합 A＝(aij), B＝(bij) : m × n 행렬 A＋B＝(aij ＋ bij)

3.2 행렬의 연산 【예제 3.1】 행렬 A＋B를 구하라.

3.2 행렬의 연산 정의 3-4 행렬의 곱 A : m×k 행렬, B: k×n 행렬 3.2 행렬의 연산 정의 3-4 행렬의 곱 A : m×k 행렬, B: k×n 행렬 AB : A와 B의 곱(product), m×n 행렬 AB 행렬의 (i, j)번째 원소는 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 대응 원소간의 곱들의 합

3.2 행렬의 연산 【예제 3.2】 AB를 구하라

3.2 행렬의 연산 【예제 3.3】 행렬 A, B를 다음과 같이 정의하자.

3.2 행렬의 연산 [풀이] 행렬의 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다.

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-5 단위 행렬 차수 n인 단위 행렬(identity matrix) 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-5 단위 행렬 차수 n인 단위 행렬(identity matrix) : n× n 행렬, In＝ (δij), i＝ j : δij ＝ 1, i ≠ j : δij ＝ 0 AIn＝ImA＝A

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-6 멱행렬(power of matrix) 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-6 멱행렬(power of matrix) 어느 한 정방 행렬을 자기 자신으로 곱한 행렬 A가 n×n 행렬일 때, 멱행렬 A0＝ In , Ar＝AAA…A

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-7 전치 행렬(transpose matrix) 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-7 전치 행렬(transpose matrix) A = (aij) : m × n 행렬 A의 전치 행렬(At) : A의 행과 열을 바꾼 n × m 행렬 At＝(bij) 단 , bij＝aij i = 1, 2, …, n, j＝1, 2, …, m

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 【예제 3.4】 다음 행렬 A, B의 전치 행렬 At과 Bt을 구하라.

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-8 대칭적 성질(symmetric) 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-8 대칭적 성질(symmetric) 정방 행렬 A가 있을 경우, A ＝ At이면 A는 대칭적 따라서, 1≤i≤n, 1≤j≤n인 모든 i, j aij= aij 이면 A (aij)는 대칭적이다. 행렬이 정방 행렬이고 주대각선(i ＝1, …, n에 대하여 aij)을 축으로 원소값이 대칭이면 그 행렬은 대칭적임

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 【예제 3.5】 다음 행렬 A, B, C는 대칭적인가? [풀이] A : 대칭적 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 【예제 3.5】 다음 행렬 A, B, C는 대칭적인가? [풀이] A : 대칭적 B, C : 대칭적이 아니다.

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-9 역행렬(inverse matrix) n × n인 정방 행렬 A에 대하여, 3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 정의 3-9 역행렬(inverse matrix) n × n인 정방 행렬 A에 대하여, AB＝ BA＝ In 행렬 B가 존재할 때, 행렬 A는 역가능 하다 A의 역행렬 : A－1 = B ▶ 정방 행렬에서 AB ＝ I ⇔ BA ＝ I

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬 【예제 3.6】 다음 행렬 A의 역행렬을 구하라. [풀이]

3.3 전치 행렬과 멱행렬 및 역행렬

3.4 부울 행렬 부울 행렬(Boolean matrix;zero-one matrix) ： 원소값으로 0 또는 1만을 갖는 행렬 3.4 부울 행렬 부울 행렬(Boolean matrix;zero-one matrix) ： 원소값으로 0 또는 1만을 갖는 행렬 부울 대수에서 ∨와 ∧의 연산의 정의

3.4 부울 행렬 정의 3-10 접합과 교합 A＝(aij), B＝(bij)를 부울 행렬이라 하면 3.4 부울 행렬 정의 3-10 접합과 교합 A＝(aij), B＝(bij)를 부울 행렬이라 하면 행렬 A와 행렬 B의 접합(join), A∨B : (i, j)번째 원소가 aij∨bij인 부울 행렬 행렬 A와 행렬 B의 교합(meet), A∧B : (i, j)번째 원소가 aij∧bij인 부울 행렬 행렬에서의 접합과 교합은 부울 대수의 연산 에서 부울 합, 부울 곱과 같은 개념

3.4 부울 행렬 【예제 3.7】 다음 부울 행렬의 접합과 교합을 구하라. [풀이] 행렬 A와 행렬 B의 접합, 교합

3.4 부울 행렬 정의 3-11 부울 곱(Boolean product) 3.4 부울 행렬 정의 3-11 부울 곱(Boolean product) A (aij) : m × k 부울 행렬, B (bij) : k × n 부울행렬 행렬 A, B의 부울 곱: (i, j)번째 원소가 cij인 m × n 부울 행렬 cij (ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨…∨(aik∧bkj) A ⊙ B : 행렬 A와 행렬 B의 부울 곱

3.4 부울 행렬 【예제 3.8】 다음과 같은 A 행렬과 B 행렬의 부울 곱을 구하라.

3.4 부울 행렬 [풀이] A ⊙ B ＝

3.4 부울 행렬 정의 3-12 부울 멱행렬(Boolean power matrix) 3.4 부울 행렬 정의 3-12 부울 멱행렬(Boolean power matrix) 부울 멱행렬( Ar): A를 r 횟수만큼 부울 곱을 한 행렬 Aυ＝In, Ar＝A ⊙ A ⊙ A ⊙ … ⊙ A r회

3.4 부울 행렬 【예제 3.9】 이라 할 때, 모든 양의 정수 n에 대하여 An을 구하라. [풀이]

3.4 부울 행렬

3.5 연립 방정식 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법 ː 연립 방정식의 근을 구하는 방법 3.5 연립 방정식 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법 ː 연립 방정식의 근을 구하는 방법 연립 방정식을 표현하기 위해 행렬을 사용 3x＋2y－ z＝4 x＋3y＋2z＝7 2x－ y＋ z＝5

3.5 연립 방정식 계수 행렬(coefficient matrix), 확장 행렬(augmented matrix) 3.5 연립 방정식 계수 행렬(coefficient matrix), 확장 행렬(augmented matrix) Gauss 소거법 :주어진 방정식을 동일한 해를 갖는 더 간단한 방정식으로 변환하여 해를 구하는 방법

3.5 연립 방정식 동일한 해를 갖는 방정식을 얻기 위해 세 가지 행 연산 3.5 연립 방정식 동일한 해를 갖는 방정식을 얻기 위해 세 가지 행 연산 (1) 두 개의 방정식(행) Ri와 Rj를 교환한다. (Ri↔ Rj) (2) 방정식 Ri에 0이 아닌 수 a를 곱한다. (a · Ri) (3) 방정식 Ri에 0이 아닌 수 a를 곱하고, 그 결과를 다른 방정식 Rj에 더한다. (a·Ri ＋ Rj)

3.5 연립 방정식 【예제 3.10】 Gauss 소거법을 이용하여 다음 연립 방정식의 해를 구하여라.

3.5 연립 방정식 [풀이] (1) R1의 첫번째 계수(≠0), R1에 1/3을 곱함 (0이면 다른 행과 교환) 3.5 연립 방정식 [풀이] (1) R1의 첫번째 계수(≠0), R1에 1/3을 곱함 (0이면 다른 행과 교환) (2) R1에 －1을 곱하여 R2에 더함 (3) R1에 －2를 곱하여 R3에 더함 세 연산의 결과

3.5 연립 방정식 (4) R2의 두번째 계수(≠0이면), R2에 3/7을 곱함 (5) R2에 7/3을 곱하여 R3에 더함 3.5 연립 방정식 (4) R2의 두번째 계수(≠0이면), R2에 3/7을 곱함 (5) R2에 7/3을 곱하여 R3에 더함 두 연산의 결과 (6) R3에 1/4을 곱함

3.5 연립 방정식 후진 대입법(back substitution)사용하여 해를 구함 3.5 연립 방정식 후진 대입법(back substitution)사용하여 해를 구함 세 번째 방정식, z＝2, 두 번째 방정식, y＋2＝17/7. y＝3/7 첫 번째 방정식, x＋2/3 · 3/7－(1/3) · 2＝4/3, x＝12/7 Gauss-Jordan 소거법은 Gauss 소거법과 유사한데, 계수 행렬에서 대각 원소의 값이 모두 1이 될 때까지 행 연산을 하여 해를 구함 (후진 대입법을 사용하지 않음)

3.5 연립 방정식 【예제 3.11】 Gauss-Jordan 소거법을 사용하여 [예제 3.10]에서 주어진 방정식의 근을 구하라. [풀이] 6단계 동일, 계수 행렬을 단위 행렬로 고침 (7) R3에 －1을 곱해서 R2에 더한 결과

3.5 연립 방정식 (8) R3에 1/3을 곱하여 R1에 더함 (9) R2에 －2/3를 곱하여 R1에 더함 3.5 연립 방정식 (8) R3에 1/3을 곱하여 R1에 더함 (9) R2에 －2/3를 곱하여 R1에 더함 ∴ x＝12/7, y＝3/7, z＝2

3.6 역행렬의 계산 정리 3-1 B, C : n×n인 정방 행렬 A의 역 → B＝C [증명] B ＝BIn 3.6 역행렬의 계산 정리 3-1 B, C : n×n인 정방 행렬 A의 역 → B＝C [증명] B ＝BIn ＝B(AC) (C는 A의 역) ＝(BA)C ＝InC (B는 A의 역) ＝C

3.6 역행렬의 계산 정리 3-2 행렬 A, B : 역가능한 n×n인 정방 행렬이면 3.6 역행렬의 계산 정리 3-2 행렬 A, B : 역가능한 n×n인 정방 행렬이면 AB : 역가능, (AB) －1＝B －1 A －1 [증명] (AB)(B－1 A－1)＝(B－1 A－1)(AB)＝In임을 보임 (정리 3-1) (AB)(B－1 A－1) ＝A[B(B－1 A－1)] ＝A[(BB－1)A－1] ＝A[InA－1] ＝AA－1 ＝In

3.6 역행렬의 계산 정리 3-3 행렬 A가 역가능한 n×n인 정방 행렬이면, (1) A－1 는 역가능, (A－1)－1 ＝A 3.6 역행렬의 계산 정리 3-3 행렬 A가 역가능한 n×n인 정방 행렬이면, (1) A－1 는 역가능, (A－1)－1 ＝A (2) 자연수 n, An : 역가능, (An)－1 ＝(A－1)n (3) k (≠0 인 실수), kA : 역가능, (kA)－1 ＝ (1/k)A－1

3.6 역행렬의 계산 [증명] (1) AA－1 ＝A－1 A＝In이므로 A－1 : 역가능, (A－1)－1 ＝A 3.6 역행렬의 계산 [증명] (1) AA－1 ＝A－1 A＝In이므로 A－1 : 역가능, (A－1)－1 ＝A (2) 수학적 귀납법을 사용하여 증명 S＝{n∈N | An은 역가능하고, (An)－1 ＝(A－1 )n} , A1＝A이기 때문에 1∈S

3.6 역행렬의 계산 n∈S라 가정하면 다음과 같다. (An＋1)-1 ＝(AnA)－1 (A n＋1 정의) 3.6 역행렬의 계산 n∈S라 가정하면 다음과 같다. (An＋1)-1 ＝(AnA)－1 (A n＋1 정의) ＝A－1(An)－1 (정리 3.2에 의하여) ＝A－1(A－1)n (n∈S) ＝(A－1)n＋1 (An＋1 정의)

3.6 역행렬의 계산 (3) (kA)[(1/k)A－1]＝[(1/k)A－1](kA)＝In임을 보이면 된다. 3.6 역행렬의 계산 (3) (kA)[(1/k)A－1]＝[(1/k)A－1](kA)＝In임을 보이면 된다. (kA)[(1/k)A－1] ＝[(1/k)(kA)]A－1 ＝(1/k)k(AA－1) ＝AA－1 ＝In

3.6 역행렬의 계산 Gauss-Jordan 소거법 3.6 역행렬의 계산 Gauss-Jordan 소거법 역행렬을 구하기 위해 사용, 행렬의 오른쪽에 단위 행렬을 배치하여 행렬을 확장시킨다. 【예제 3.12】 다음 행렬 A의 역행렬 A－1를 구하여라.

3.6 역행렬의 계산 [풀이] 행렬 A의 오른쪽에 단위 행렬을 배치,확장

3.6 역행렬의 계산 A를 단위 행렬 I3으로 바꾸기 위한 행 연산

3.6 역행렬의 계산 왼쪽 : 단위 행렬, 오른쪽: A－1

3.6 역행렬의 계산 정의 3-13 동치 기본적인 세 가지 행 오퍼레이션을 이용하여 한 행렬을 다른 행렬로부터 3.6 역행렬의 계산 정의 3-13 동치 기본적인 세 가지 행 오퍼레이션을 이용하여 한 행렬을 다른 행렬로부터 얻을 수 있다면, 두 행렬은 동치(equivalent)이다.

3.6 역행렬의 계산 정리 3-4 n*n인 정방 행렬 A가 역가능일 필요 충분 조건 ：A가 In과 동치인 경우

3.7 행렬식 정의 3-14 2×2 행렬의 행렬식 정방 행렬 A의 행렬식은 a11a22－a21a12 정의 3-14 2×2 행렬의 행렬식 정방 행렬 A의 행렬식은 a11a22－a21a12 A의 행렬식： |A| , det(A)

3.7 행렬식 【예제 3.13】 행렬 A에 대한 행렬식 det(A)의 값 ? [풀이]

3.7 행렬식 정의 3-15 3×3 행렬의 행렬식 A의 행렬식, det(A) :

3.7 행렬식 【예제 3.14】 행렬 A에 대한 det(A)의 값을 구하라 [풀이]

3.7 행렬식 정의 3-16 소행렬(minor matrix) n∈N, 행렬 A : n × n 정방 행렬 A의 소행렬(Mrs) : A의 r번째 행, s번째 열을 삭제한 (n－1) × (n－1) 행렬

3.7 행렬식 【예제 3.15】 다음 행렬 A의 소행렬 M14, M22, M53을 구하라.

3.7 행렬식 [풀이]

3.7 행렬식 정의 3-17 여인자(cofactor) A＝(aij) : n×n인 정방 행렬 , aij의 소행렬(minor)식은 Mij의 행렬식이다. (－1)i＋j det(Mij) : aij의 여인자라고 하며, Cij로 표기한다. 3×3인 정방 행렬은 여섯 개의 여인자 확장이 가능

3.7 행렬식 【예제 3.16】 다음 행렬 A의 행렬식 det(A)를 구하라.

3.7 행렬식 [풀이] det(A) ＝ 0·C12＋1·C22＋0·C32 ＝ C22 ＝ (－1)2＋2 det(M22) ＝ 47

3.7 행렬식 정의 3-18 행렬식 A＝[aij] : n × n인 정방 행렬이라 하면, A의 행렬식 :

3.8 벡터 공간 n-차원 벡터(n-dimensional vector) : 3.8 벡터 공간 n-차원 벡터(n-dimensional vector) : 순서화된 n개의 실수 v＝(v1, v2, …, vn)

3.8 벡터 공간 Rn 영이 아닌 벡터(nonzero vector) 3.8 벡터 공간 Rn :유클리디언 n-차원 공간(Euclidean n-space) : n차원 벡터의 집합 영이 아닌 벡터(nonzero vector) : 어떤 i에 대해 vi≠0을 만족할 때 벡터 v＝(v1, v2, …, vn)

3.8 벡터 공간 스칼라(scalar) 평면상에서 2차원 벡터 v＝(v1, v2) : 실수들 3.8 벡터 공간 스칼라(scalar) : 실수들 평면상에서 2차원 벡터 v＝(v1, v2) : 원점에서 포인터 (v1, v2)까지의 화살표로 표현

3.8 벡터 공간 R2 의 기하학적 표현

3.8 벡터 공간 Rn의 특성 n-차원 벡터들을 더하는 방법과 n-차원 벡터에 스칼라 값을 곱하는 방법

3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-5 u, v, w가 Rn : 포함된 벡터, λ, μ :스칼라 (2) λu ∈ Rn 3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-5 u, v, w가 Rn : 포함된 벡터, λ, μ :스칼라 (1) u＋v ∈ Rn (2) λu ∈ Rn (3) u＋v＝v＋u (4) u＋(v＋w)＝(u＋v)＋w (5) 영 벡터 θ는 v ∈ Rn인 모든 v에 대해 v＋θ＝v이다. (θ는 구성 요소가 모두 0인 벡터)

3.8 벡터 공간 정리 3_5의 성질을 만족하는 Rn의 부분 집합 V는 Rn의 부분 공간(subspace) 3.8 벡터 공간 (6) v ∈ Rn인 어떤 v에 대해, v＋(－v)＝θ인 －v Rn이 존재한다. (7) λ(μv)＝(λμ)v (8) λ(u＋v)＝λu＋λv (9) (λ＋μ)v＝λv＋μv (10) v ∈ Rn인 모든 v에 대해 1 · v＝v이다. 정리 3_5의 성질을 만족하는 Rn의 부분 집합 V는 Rn의 부분 공간(subspace)

3.8 벡터 공간 【예제 3.17】V＝v ∈ R2 | v＝(v1, 0), v1은 실수라 가정하자. V는 R2의 부분 공간이다. 3.8 벡터 공간 【예제 3.17】V＝v ∈ R2 | v＝(v1, 0), v1은 실수라 가정하자. V는 R2의 부분 공간이다. [풀이] [정리 3-5]의 (1), (2) : V에 속하는 두 원소(member)를 더하거나, 스칼라를 곱하면 그 결과 역시 V에 속하므로 만족

3.8 벡터 공간 [정리 3-5]의 (3), (4), (7), (8), (9), (10) : V의 모든 원소가 R2의 원소이기 때문에 자동적으로 만족 [정리 3-5]의 (5) : (0, 0) V이기 때문에 만족 [정리 3-5]의 (6) : v V이면, －1·v＝－v이므로 만족

3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-6 Rn의 부분 집합 V가 Rn의 부분 공간이기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같다. 3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-6 Rn의 부분 집합 V가 Rn의 부분 공간이기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같다. (1) 영 벡터 θ는 V의 원소이다. (2) u와 v가 V의 원소이면, u＋v도 V의 한 원소이다. (3) u ∈ V이고 λ가 스칼라이면, λu ∈ V이다.

3.8 벡터 공간 【예제 3.18】 V＝(v1, v2, v3) R3 : v2＝3v1, v3＝5v1에 의해 정의된 R3의 부분 집합 V가 R3의 부분 공간임을 증명하라. [풀이] 0 ∈ R이므로 , 3×0＝0, 5×0＝0, 영 벡터θ＝(0, 0, 0)은 V의 원소이다

3.8 벡터 공간 u＝(u1, 3u1, 5u1)와 v＝(v1, 3v1, 5v1)가 V의 원소이면, 3.8 벡터 공간 u＝(u1, 3u1, 5u1)와 v＝(v1, 3v1, 5v1)가 V의 원소이면, u＋v ＝(u1＋v1, 3u1＋3v1, 5u1＋5v1) ＝(u1＋v1, 3(u1＋v1), 5(u1＋v1))은 V의 한 원소이다. v＝(v1, 3v1, 5v1)이고, λ ∈ R이면, λv＝(λv1, λ3v1, λ5v1)＝(λv1, 3(λv1), 5(λv1))은 V의 원소이다.

3.8 벡터 공간 【예제 3.19】 V＝(v1, v2, v3) R3 | v2＝3v1, v3＝v1＋5에 의해 정의된 R3의 부분 집합 V가 R3의 부분 공간이 아님을 보여라. [풀이] 영 벡터(zero vector) θ는 V의 한 원소가 아니다.

3.8 벡터 공간 정의 3-19 선형 조합(linear combination) v1, v2, …, vr 이 Rn의 원소들이고, 3.8 벡터 공간 정의 3-19 선형 조합(linear combination) v1, v2, …, vr 이 Rn의 원소들이고, u＝λ1v1＋λ2v2＋……＋λrvr인 스칼라 λ1, λ2, …, λr이 존재하면, Rn에 포함된 벡터 u는 v1, v2, …, vr의 선형 조합

3.8 벡터 공간 【예제 3.20】 R3에 포함된 벡터 (4, －2, 3)은 (4, －2, 3)＝3(2, 0, 1)＋(－2)(1, 1, 0)이기 때문에 (2, 0, 1)과 (1, 1, 0)의 선형 조합이다.

3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-7 v1, v2, …, vr이 Rn의 원소들이면, v1, v2, …, vr의 선형 조합들의 집합 V는 Rn의 부분 공간이다. [증명] θ＝0·v1＋0·v2＋…＋0·vr이기 때문에θ ∈ V이다.

3.8 벡터 공간 u, v ∈ V라 가정하면, u＝λ1v1＋λ2v2＋…＋λrvr과 v＝μ1v1＋μ2v2＋…＋μrvr을 만족하는 스칼라 λ1,λ2, … ,λr, μ1, μ2, …,μr이 존재 ∴ u＋v＝(λ1＋μ1)v1＋(λ2＋μ2)v2＋…＋(λr＋μr)vr이고 u＋v ∈ V이다. v∈V, λ: 스칼라 가정하면, v＝λ1v1＋λ2v2＋…＋λrvr을 만족하는 스칼라λ1,λ2, …, λr가 존재한다. 그러므로, λv＝(λλ1)v1＋(λλ2)v2＋…＋(λλr)vr이고, λv∈ V이다.

3.8 벡터 공간 정의 3-20 신장된 부분 공간 S＝v1, v2, …, vr가 Rn의 부분 집합이면, 3.8 벡터 공간 정의 3-20 신장된 부분 공간 S＝v1, v2, …, vr가 Rn의 부분 집합이면, v1, v2, …, vr의 선형 조합으로 구성된 Rn의 부분 공간 V는 S에 의해 신장된 부분 공간이라 한다.

3.8 벡터 공간 【예제 3.21】 v＝(v1, v2)가 R2에 포함된 0이 아닌 벡터이면, v에 의해 신장된 부분 공간은 평면상에서 원점과 점 (v1, v2)를 통과하는 선이다.

3.8 벡터 공간 정의 3-21 선형 종속 집합과 선형 독립 집합 S＝v1, v2, …, vr : Rn의 부분 집합 3.8 벡터 공간 정의 3-21 선형 종속 집합과 선형 독립 집합 S＝v1, v2, …, vr : Rn의 부분 집합 λ1v1＋λ2v2＋…＋λrvr＝θ이지만 어떤 i에 대하여 λi ≠ 0을 만족하는 스칼라 λ1, λ2, …, λr가 있으면, S를 선형 종속 집합(linearly dependent set) 이라 한다. S가 선형 종속적이지 않으면, S는 선형 독립적이다. 다. 즉, λ1＝λ2＝…＝λr＝0일 때만 λ1v1＋λ2v2＋… ＋λrvr＝θ가 되는 경우 집합 S는 선형 독립적이다.

3.8 벡터 공간 【예제 3.22】 집합 (1, 2), (8, 7), (2, 1)이 R2의 선형 종속적인 부분 집합임을 보여라. [풀이] 스칼라 λ1,λ2,λ3 :λ1(1, 2)＋λ2(8, 7)＋λ3(2, 1)＝(0, 0)만족, ∴ 해 : λ3＝1, λ2＝－1/3, λ1＝2/3 집합 (1, 2) (8, 7) (2, 1): R2의 선형 종속 부분 집합

3.8 벡터 공간 【예제 3.23】 집합 (3, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 2)는 R3에 대해 선형 독립적 부분 집합임을 보여라. [풀이] 스칼라 λ1, λ2, λ3 : λ1(3, 2, 1)＋λ2(0, 1, 2)＋λ3(1, 0, 2)＝(0, 0, 0)을 만족

3.8 벡터 공간 3λ1＋λ3＝0, 2λ1＋λ2＝0, λ1＋2λ2 ＋2λ3＝0 λ3＝0, λ2＝0, λ1＝0 (Gauss 소거법 이용) ∴ (3, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 2)는 R3에 대해 선형 독립적인 부분 집합이다.

3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-8 S＝v1, v2, …, vr을 Rn의 부분 집합이라 하자. 3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-8 S＝v1, v2, …, vr을 Rn의 부분 집합이라 하자. r>n이면, S는 선형 종속적이다. n-차원 벡터 v는 n×1 행렬과 같으므로, m×n인 행렬 A는 A＝[A1, A2, …, An]으로 표현하는 것이 편리하며, j＝1, 2, …, n에 대해 Aj는 A의 j번째 열이고 m×1 행렬 (벡터)이다.

3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-9 A＝[A1, A2, …, An]을 m×n인 행렬이라 3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-9 A＝[A1, A2, …, An]을 m×n인 행렬이라 하고, v＝(v1, v2, …, vn)을 n-차원 벡터라 하자. 그러면, 행렬의 곱 Av는 v1A1＋v2A2＋ …＋vnAn으로 표현할 수 있다.

3.8 벡터 공간 【예제 3.24】 A와 A1, A2, A3가 다음과 같고 v＝(v1, v2, v3)일 때 Av를 구하라.

3.8 벡터 공간 [풀이]

3.8 벡터 공간 【예제 3.25】 A1, A2, A3와 b가 다음과 같을 때, b를 A1, A2, A3의 선형 조합으로 표현하여라.

3.8 벡터 공간 [풀이] Av = b를 푸는 것과 같다. A＝[A1, A2, A3]이면,

3.8 벡터 공간 이 방정식에 대한 확장 행렬은 Gauss 소거법과 후진 대입법을 사용하면, 3.8 벡터 공간 이 방정식에 대한 확장 행렬은 Gauss 소거법과 후진 대입법을 사용하면, v1＝－1/2, v2＝1/2, v3＝2 ∴ b＝－A1/2＋A2/2＋2A3

3.8 벡터 공간 정의 3-22 정칙 행렬(nonsingular matrix) 과 비정칙 행렬(singular matrix) 3.8 벡터 공간 정의 3-22 정칙 행렬(nonsingular matrix) 과 비정칙 행렬(singular matrix) 행렬 방정식 Av ＝θ가 v＝θ인 유일한 해를 갖는다면, n × n인 정방 행렬 A는 정칙 행렬 비정칙 행렬 : 정칙 행렬이 아닐 때

3.8 벡터 공간 【예제 3.26】 행렬 A가 정칙 행렬인지 결정하여라. [풀이] 3.8 벡터 공간 【예제 3.26】 행렬 A가 정칙 행렬인지 결정하여라. [풀이] v＝(0, 0, 0)가 유일한 해→ A ː 정칙 행렬

3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-10 A＝[A1, A2, …, An]이 n × n인 정방 행렬 일 때, 다음은 동치이다. 3.8 벡터 공간 ☞ 정리 3-10 A＝[A1, A2, …, An]이 n × n인 정방 행렬 일 때, 다음은 동치이다. (1) A는 정칙 행렬이다. (2) A1, A2, …, An은 벡터의 선형 독립 집합이다. (3) n-차원 벡터 v에 대해 방정식 Av＝b는 유일한 해를 갖는다. (4) det(A) ≠ 0이다. (5) A는 역가능 ≠ 하다.

3.8 벡터 공간 정의 3-23 신장(span) V는 Rn의 부분 공간, S＝v1, v2, …, vr이 3.8 벡터 공간 정의 3-23 신장(span) V는 Rn의 부분 공간, S＝v1, v2, …, vr이 V의 부분 집합일 때, V에 있는 모든 벡터가 S에 있는 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 있다면, S는 V를 신장한다고 한다.

3.8 벡터 공간 【예제 3.27】 S＝v1, v2, v3라 할 때, S가 R3을 신장하는지 결정하여라.

3.8 벡터 공간 [풀이] 방정식 x1v1＋x2v2＋x3v3＝b가 해를 갖는지 ? 3.8 벡터 공간 [풀이] 방정식 x1v1＋x2v2＋x3v3＝b가 해를 갖는지 ? A＝[v1, v2, v3], x＝(x1, x2, x3) : 방정식 x1v1＋x2v2＋x3v3＝b는 행렬 방정식 Ax＝b와 동치이다. 해 : x3＝b3－b2, x2＝2b2－b1－b3, x1＝2b1－b2 ∴ S는 R3을 신장한다.

3.8 벡터 공간 정의 3-24 기저(basis) Vː V≠{θ}인 Rn의 부분 공간 V의 기저는 V를 신장하는 선형 독립 집 3.8 벡터 공간 정의 3-24 기저(basis) Vː V≠{θ}인 Rn의 부분 공간 V의 기저는 V를 신장하는 선형 독립 집 집합

3.8 벡터 공간 【예제 3.28】 단위 벡터(unit vector) e1＝(1, 0, 0), e2＝(0, 1, 0), e3＝(0, 0, 1)은 R3에 대한 기저(basis)를 형성한다. [풀이] b＝(b1, b2, b3)가 R3에 포함된 벡터이면, b＝b1e1＋b2e2＋b3e3이다. 그러므로, {e1, e2, e3 } 는 R3을 신장한다. A＝[e1, e2, e3]이면, 행렬 방정식 Av＝θ의 유일한 해는 θ이다. {e1, e2, e3 } 는 R3에 대한 기저이다.

3.9 고유값과 고유 벡터 정의 3-25 고유값과 고유 벡터 행렬 Aː n × n인 정방 행렬 3.9 고유값과 고유 벡터 정의 3-25 고유값과 고유 벡터 행렬 Aː n × n인 정방 행렬 Av＝λv를 만족하는 스칼라 λ, 0이 아닌 n-차원 벡터 v가 있을 때, λː A의 고유값, vː λ에 대응되는 고유 벡터

3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.29】 행렬 A에서 Av＝λv를 만족시키는 스칼라 λ와 0이 아닌 2-차원 벡터 v를 구하라.

3.9 고유값과 고유 벡터 [풀이] v＝(v1, v2)라 하자. λv＝(λv1, λv2)이다. 3.9 고유값과 고유 벡터 [풀이] v＝(v1, v2)라 하자. λv＝(λv1, λv2)이다. λ＝9일 때, v＝(11, 3)은 Av＝λv를 만족시키는 0이 아닌 벡터이다.

3.9 고유값과 고유 벡터 n×n인 정방 행렬 A는 한 개 이상의 고유값을 갖는다. 3.9 고유값과 고유 벡터 n×n인 정방 행렬 A는 한 개 이상의 고유값을 갖는다. I가 n×n인 단위 행렬일 때 Av＝λv를 Av＝λIv로 표현하거나 v ≠ θ일 때 Av＝λv를 (λI－A)v＝θ로 표현할 수 있다. 스칼라 λ가 A의 고유값이기 위한 필요 충분 조건은 방정식 (λI－A)v＝θ가 0이 아닌 해를 갖는 경우이다.

3.9 고유값과 고유 벡터 정의 3-26 특성 방정식(characteristic equation)과 3.9 고유값과 고유 벡터 정의 3-26 특성 방정식(characteristic equation)과 특성 다항식(characteristic polynomial) A의 특성 방정식ː방정식 det(λI－A)＝0＝0, A의 특성 다항식ː다항식 det(λI －A) 스칼라 λ는 A의 고유값

3.9 고유값과 고유 벡터 행렬 A가 n×n인 정방 행렬이면, A의 특성 다항식은 차수(degree) n을 갖고, λn의 계수(coefficient)는 1이다. 따라서, det(λI-A)＝λn＋c1λ n－1＋…＋cn인 실수 c1, c2, …, cn이 존재한다.

3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.30】 행렬 A의 고유값을 구하여라.

3.9 고유값과 고유 벡터 A의 특성 방정식은 λ2－5λ＋6＝0 해는 λ＝2, λ＝3 ∴ A의 고유값: 2, 3 3.9 고유값과 고유 벡터 A의 특성 방정식은 λ2－5λ＋6＝0 해는 λ＝2, λ＝3 ∴ A의 고유값: 2, 3 A의 고유값 λ를 구하면, 방정식 (λI－A)v＝0을 계산함으로써 A의 고유 벡터 v를 구할 수 있다.

3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.31】 앞의 [예제 3.30]에서 λ＝2와 λ＝3에 대응되는 고유 벡터를 구하라. 3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.31】 앞의 [예제 3.30]에서 λ＝2와 λ＝3에 대응되는 고유 벡터를 구하라. [풀이] λ＝2에 대응되는 고유 벡터는 (2I－A)v＝θ만족

3.9 고유값과 고유 벡터 해는 v1＝2v2이므로 (2I－A)v＝θ의 모든 해는 의 형태를 갖는다. 3.9 고유값과 고유 벡터 해는 v1＝2v2이므로 (2I－A)v＝θ의 모든 해는 의 형태를 갖는다. λ＝3에 대응되는 고유 벡터는 (3I－A)v＝θ를 만족시키는 0이 아닌 벡터 ∴ 고유값 λ＝2, 고유벡터 고유값 λ＝3, 고유벡터

3.9 고유값과 고유 벡터 ☞ 정리 3-11 A가 n × n인 정방 행렬이면, 다음 문장은 동치이다. 3.9 고유값과 고유 벡터 ☞ 정리 3-11 A가 n × n인 정방 행렬이면, 다음 문장은 동치이다. (1) λ는 A의 고유값이다. (2) 방정식 (λI－A)v＝θ는 0이 아닌 근을 갖는다. (3) Rn에는 Av＝λv를 만족시키는 0이 아닌 벡터 v가 있다. (4) λ는 A의 특성 방정식의 근이다.

3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.32】 행렬 A의 고유값을 구하여라.

3.9 고유값과 고유 벡터 [풀이] A의 특성 다항식 ∴ λ＝－8은 A의 유일한 고유값

3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.33】 앞의 [예제 3.32]에서 A의 고유값에 대응하는 고유 벡터를 구하라. [풀이] 3.9 고유값과 고유 벡터 【예제 3.33】 앞의 [예제 3.32]에서 A의 고유값에 대응하는 고유 벡터를 구하라. [풀이] (-8I-A)V = θ → v2 = v1, v3 = -6v1