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2.4 푸리에 급수(Fourier Series) 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2.4 푸리에 급수(Fourier Series) ■ 푸리에 급수 임의의 주기 함수는 정현파 성분의 무한급수로 전개할 수 있다는 이론 (수학적으로 급수란 어떤 함수를 다른 함수의 합으로 표현하는 것을 의미함) → 주기가 T인 주기 함수는 주기 T에 해당하는 주파수의 무한 급수로 표현할 수 있다는 이론 2-37

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-38 o 이고 는 주기 T의 역수이므로 o 는 n=0인 경우의 DC 성분에 대한 크기 o  은 n=1에서 무한대까지의 기본 주파수  에 대한 고조파 성분의 크기 o  은 n=1에서 무한대까지의 기본 주파수  에 대한 고조파 성분의 위상

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) → 주기 함수의 스펙트럼 : DC에서부터 무한대의 고조파 성분에 대한 크기와 위상을 구함 (실제로는 n의 차수가 커지면 계수의 크기가 작아져 한정된 원소의 합인 근사식으로 표현 가능)

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 크기와 위상을 쉽게 구하는 방법 2-38 2-39

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제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-41 2-42 2-43 2-44

<예제2-6> 를 (식 2-40)과 같이 하나의 코사인 함수로 표현하시오. [풀이] (식 2-42)를 이용하여 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <예제2-6> 를 (식 2-40)과 같이 하나의 코사인 함수로 표현하시오. [풀이] (식 2-42)를 이용하여

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2)

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <연습2-6> 를 (식 2-40)과 같이 하나의 코사인 함수로 표현하시오.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-45 2-46 2-47

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <예제2-7> 반복 주파수가 800Hz이고 크기가 5(V)와 0(V)를 반복하는 (그림2-16)과 같은 펄스열에 대한 주파수 성분을 구하시오.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) [풀이] 2-49

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-50 2-51

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-52

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제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <연습2-7> 반복 주파수가 1000Hz이고 크기가 1(V)와 0(V)를 반복하는 아래 그림과 같은 펄스열에 대한 주파수 성분을 구하시오.

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제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <예제2-8> 반복 주파수가 100(Hz)이고 duty cycle(τ/T)이 50%이며 크기가 +5(V)와 -5(V)를 반복하는 구형파 펄스열 v(t)를 시간축상의 수식과 주파수축상의 성분을 알기 위한 코사인 함수의 급수로 나타내시오.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) [풀이] 2-53 2-54

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-55

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-56

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계수들을 대입하여 수식을 cosine 함수로 정리하면 (식2-57)와 같다. 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 계수들을 대입하여 수식을 cosine 함수로 정리하면 (식2-57)와 같다. 2-57

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <연습2-8> 반복 주파수가 400(Hz)이고 duty cycle(τ/T)이 50%이며 크기가 +3(V)와 -3(V)를 반복하는 구형파 펄스열 f(t)를 시간축상의 수식과 주파수축상의 성분을 알기 위한 코사인 함수의 급수로 나타내시오.

[답] 시간축상의 수식 : 코사인 함수의 급수 : 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) [답] 시간축상의 수식 : 코사인 함수의 급수 :

2.4.1 푸리에 급수의 계수 유도 ■ a0의 유도 : 양변을 한 주기 동안 적분 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2.4.1 푸리에 급수의 계수 유도 ■ a0의 유도 : 양변을 한 주기 동안 적분 : 주기 함수인 f(t)의 평균값을 의미함 → 직류 성분을 의미 2-58 2-59

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ an에 대한 공식을 유도 양변에  를 곱한 후 한 주기 동안 적분 2-60

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-61 2-62 2-63 2-64

■ bn에 대한 공식 유도 : 양변에 를 곱한 후 한 주기 동안 적분 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ bn에 대한 공식 유도 : 양변에 를 곱한 후 한 주기 동안 적분 2-65

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-66 2-67 2-68 2-69

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2.4.2 푸리에 급수의 지수 함수 표현 o 지수 함수 형태의 표현 2-70 2-71

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) - 상호 계수와의 관계 : 2-72 2-73 2-74

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-75 2-76

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 이해를 돕기 위한 역과정 2-77

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <예제2-9> (그림 2-18)과 같이 주기가 T이고 펄스의 크기가 1이고 펄스폭이 τ인 파형 f(t)에 대하여 duty cycle 가 25%(= 14 )인 경우의 주파수축상의 성분을 양측 스펙트럼과 단측 스펙트럼으로 각각 나타내시오.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) [풀이] 2-78 2-79

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-80 2-81

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제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 스펙트럼상의 고조파 성분별 크기 :

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▶(an (a0 포함)과 bn)을 구하여 cn 구하기 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ▶(an (a0 포함)과 bn)을 구하여 cn 구하기

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제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <연습2-9> (그림 2-18)과 같이 주기가 T이고 펄스의 크기가 1이고 펄스폭이 τ인 파형 f(t)에 대하여 duty cycle 가 75%(=3/4)인 경우의 주파수축상의 성분을 양측 스펙트럼과 단측 스펙트럼으로 각각 나타내시오.

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2.5 푸리에 변환(Fourier Transform) 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2.5 푸리에 변환(Fourier Transform) ■ 푸리에 변환 비주기 신호에 대한 시간축상과 주파수축상의 표현에 대한 상호 변환 방법 ■ 변환 공식 유도 o 비주기 신호 : 주기가 무한대인 주기 신호 → 비주기 신호 f(t)를 주기가 T인 주기 신호  로 표현 2-82

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) o 주기 함수 에 대한 푸리에 급수 2-83 2-84 2-85

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) o 주기 T가 무한대인 경우 - 1/T → 0에 가까운 주파수 간격인 df - → 연속적인  - → 적분을 나타내는  - 속의 T/2와 -T/2 → ∞와 -∞ - 주기 함수 → 비주기 함수 f(t) 2-86

o 주파수축상의 스펙트럼 밀도 함수 (SDF, spectrum density function) 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) o 주파수축상의 스펙트럼 밀도 함수 (SDF, spectrum density function) 2-87 2-88

■ 크기가 A이고 펄스폭이 τ인 단일 구형파 신호에 대한 주파수 스펙트럼 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 크기가 A이고 펄스폭이 τ인 단일 구형파 신호에 대한 주파수 스펙트럼

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-89

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⇒ 주엽(main lobe)의 대역폭 : -1/ τ 에서 1/ τ(대역폭=1/ τ) 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) o 펄스폭과 대역폭과의 관계 - 펄스폭이 –τ/2에서 τ/2(펄스폭=τ) ⇒ 주엽(main lobe)의 대역폭 : -1/ τ 에서 1/ τ(대역폭=1/ τ) 충격파 잡음 → 주파수축상에서는 무한대의 영역 (백색 잡음, 백색광이 모든 파장에 대하여 균일한 전력 분포를 갖는 데서 유래된 용어)

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <예제2-10> (그림2-23)에 나타낸 펄스폭이 1(초)이고 크기가 5(V)인 단일 구형파 신호를 주파수 영역상의 신호로 나타내시오.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) [풀이] 2-90

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<연습2-10> 펄스폭이 2(초)이고 크기가 1(V)인 단일 구형파 신호를 주파수 영역상의 신호로 나타내시오. 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) <연습2-10> 펄스폭이 2(초)이고 크기가 1(V)인 단일 구형파 신호를 주파수 영역상의 신호로 나타내시오.

■ 푸리에 변환의 특성 o 주파수 천이성(shift, 이동) : o 시간 천이성 : 2-91 2-92 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 푸리에 변환의 특성 o 주파수 천이성(shift, 이동) : o 시간 천이성 : 2-91 2-92

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) o 무왜곡 전달 함수 : 채널의 이상적인 전송 특성 → 채널의 특성과 거리에 따른 시간 지연과 손실이나 이득으로 인한 균일한 크기의 변화만 가진 경우(K는 상수) - 전달 함수 H(f) 2-93 2-94 2-95

2.6 시스템 특성 및 분류 ■ 시스템 : 지정된 기능을 수행하기 위한 체계로 생각할 수 있다. 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2.6 시스템 특성 및 분류 ■ 시스템 : 지정된 기능을 수행하기 위한 체계로 생각할 수 있다. (T :시스템의 특성을 나타내는 함수) 2-96

■ 시스템의 구분 : 선형 시스템 vs 비선형 시스템 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 시스템의 구분 : 선형 시스템 vs 비선형 시스템 o 선형(linear) 시스템 - 입력  와 에 대한 시스템의 출력 : 와   ( 과  는 임의의 상수)의 입력에 대한 출력 : → 선형 시스템 2-97

■ 선형 시스템과 비선형 시스템간의 구분 입력 신호의 크기에 대한 출력 신호의 크기의 관점 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 선형 시스템과 비선형 시스템간의 구분 입력 신호의 크기에 대한 출력 신호의 크기의 관점 : 입력 신호의 크기에 상관없이 균일하게 선형적으로 비례하는 경우가 선형 시스템

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2) 시간축상의 관점 : 선형 시스템의 경우는 입력 신호에 대한 시간축상의 파형과 출력 신호의 시간축상의 파형은 크기만 다를 뿐 그 형태는 유지됨 → 신호의 형태상의 왜곡이 발생하지 않음 → 입력 신호의 주파수 성분과 출력 신호의 주파수 성분 이 크기와 위상만 변화할 뿐 다른 주파수 성분이 발생 하지 않는다는 것과 같은 의미

출력 : 주파수 성분은 입력과 같은 과 이고 단지 크기만 a배로 바뀜 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 3) 주파수축상의 관점 : 선형 시스템의 경우는 입력된 신호의 주파수 성분의 주파수와 출력 신호의 주파수 성분의 주파수가 같은 시스템 → 다른 경우 비선형 시스템 o 선형 시스템의 경우 : 입력 : : 주파수 성분이 과  출력 : 주파수 성분은 입력과 같은 과 이고 단지 크기만 a배로 바뀜 2-98

→ 입력 신호의 주파수와 출력 신호의 주파수는 서로 동일 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) → 입력 신호의 주파수와 출력 신호의 주파수는 서로 동일 o 비선형 시스템의 경우 : 입력 : : 주파수 성분이 과  비선형 특성이 3차까지인 경우 ( )를 고려 2-99

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2-100

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■ 시불변(time invariant) 시스템 vs 시변(time varying) 시스템 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 시불변(time invariant) 시스템 vs 시변(time varying) 시스템 시불변 시스템은 입력 신호에 대한 지연 시간이 출력 신호에 똑같은 지연 시간으로 나타나는 시스템 2-101

2.7 여파기 및 여파기 특성 ■ 여파기의 정의 : 원하는 주파수 대역의 신호 성분만을 통과시키거나 제거시키기 위한 소자 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) 2.7 여파기 및 여파기 특성 ■ 여파기의 정의 : 원하는 주파수 대역의 신호 성분만을 통과시키거나 제거시키기 위한 소자 ■ 여파기의 분류 : o 저역 통과 여파기(LPF, Low Pass Filter) o 고역 통과 여파기(HPF, High Pass Filter) o 통과 대역 여파기(BPF, Band Pass Filter) o 대역 저지 여파기(BRF, Band Rejection Filter)

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: 신호 및 시스템의 대역폭에 대한 객관적인 판단 기준 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ■ 차단 주파수의 정의 : 신호 및 시스템의 대역폭에 대한 객관적인 판단 기준 → 최대 응답치(0dB)를 기준으로 -3dB인 지점으로 설정 → 3dB 대역폭 혹은 등가 대역폭 → -3dB란 입력 신호의 크기에 비해 출력 신호의 크기가 전력으로는 1/2배이고 전압으로는 배가 되는 것 을 의미

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제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ** 2장 요약 ** ‣ 주파수 영역상의 표현을 의미하는 스펙트럼(spectrum)은 주파수 성분별로 크기나 위상을 표현하는 방식을 의미한다. ‣  : 신호는 A라는 크기와  라는 주파수 정보를 나타내는 각속도와 라는 시간 지연 정보를 나타내는 위상으로 구성되어 있다.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ‣ 신호를 주파수축상에 표현할 때 실제로 존재하는 양(+)의 주파수만으로 표현하는 방식을 단측 스펙트럼이라고 하고, 양(+)과 음(-)의 주파수로 표현하는 방식을 양측 스펙트럼이라고 한다. ‣ 실효값(RMS, Root Mean Square)은 신호의 제곱의 평균값에 대한 제곱근을 의미하며 통신 신호의 경우에 실효값은 단위 저항에 대한 평균 전력의 제곱근으로 생각할 수 있다. ‣ dB 척도는 입력 전력과 출력 전력의 대수(log) 관계로 다. ‣ dBm은 1(mW)를 기준으로 dB단위로 나타낸 값이며 이다.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ‣ 온도에 따른 유효 평균 잡음 전력 N은    이며 여기서 k는 Boltzmann 상수, T는 절대 온도, B는 대역폭이다. ‣ 잡음 특성을 나타내는 변수로 잡음 지수나 잡음 온도를 들 수 있다. 잡음 지수는 수신기의 입력 신호 대 잡음비와 수신기의 최종 출력에 대한 신호대 잡음비의 비율이다. 잡음 지수 NF와 잡음 온도 Ts의 관계는     이며 여기서  는 외부 온도이다.

‣ N개의 소자 혹은 시스템이 연결된 경우에 전체의 잡음 지수와 시스템 잡음 온도는 아래의 식으로 나타낼 수 있다. 제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ‣ N개의 소자 혹은 시스템이 연결된 경우에 전체의 잡음 지수와 시스템 잡음 온도는 아래의 식으로 나타낼 수 있다. ‣ 손실을 가지는 선로나 소자의 잡음 지수 값은 손실 값과 같은 크기를 갖는다.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ‣ 푸리에 급수는 주기가 T인 주기 함수는 아래 식들과 같이 주기 T에 해당하는 주파수의 무한급수로 표현할 수 있다는 이론이다. 즉,  ,  , 으로부터 주기 함수의 주파수 성분별 크기와 위상을 알 수 있다.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ‣ 푸리에 변환은 비주기 신호에 대한 주파수축상의 표현인 스펙트럼을 구하기 위한 것이다. 역으로 푸리에 변환은 주파수축상으로 표현된 비주기 신호에 대한 시간축상의 신호 파형을 구할 수 있다는 의미이다.

제2장 통신 신호 및 시스템 해석(2) ‣ 채널의 이상적인 전송 특성을 나타내는 시간축상의 표현과 무왜곡 전달 함수는 아래와 같이 나타낼 수 있다. ‣ 시스템을 구분하는 중요한 특성으로 선형(linear) 시스템과 비선형(nonlinear) 시스템, 시불변(time invariant) 시스템과 시변(time varying)시스템으로 구분하는 것이다. ‣ 여파기란 원하는 주파수 대역의 신호 성분만을 통과시키거나 제거시키기 위한 소자이다. 여파기의 대역폭을 결정할 때 3dB 대역폭이 널리 사용된다.