비비례 감쇠시스템의 해석을 위한 효율적인 모드 중첩법 소음진동공학회 학술발표대회 비비례 감쇠시스템의 해석을 위한 효율적인 모드 중첩법 한국과학기술원 토목공학과 조 상 원

발표 내용 서론 비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 수치예제 결론

서론 연구 배경 일반적인 구조물의 운동방정식 (1) 동응답 해석법 여기서 M : 질량행렬 직접 적분법 모드 중첩법 C : 감쇠행렬 K : 강성행렬 u(t) : 변위벡터 R0 : 하중벡터 r(t) : 하중함수 동응답 해석법 직접 적분법 모드 중첩법 (1)

직접 적분법 모드 중첩법 특징 : 구조물의 운동방정식을 직접 해석하는 방법 장점 : 정확한 결과 서론 직접 적분법 특징 : 구조물의 운동방정식을 직접 해석하는 방법 장점 : 정확한 결과 단점 : 많은 계산량, 비경제적 모드 중첩법 특징 : 소수의 저차 모드로 운동방정식을 축약한 후 해석 장점 : 각각의 모드에 대한 동적 특성 경제적 해석 가능 단점 : 고차 모드의 누락으로 인한 오차 발생

누락된 고차모드의 오차를 보정하는 방법 MA방법과 MT방법의 제한성 서론 누락된 고차모드의 오차를 보정하는 방법 모드 가속도법 ( Mode Acceleration Method ) 모드 절삭 보강법 ( Modal Truncation Augmentation Method ) MA방법과 MT방법의 제한성 비례 감쇠시스템의 해석에 적합한 형태 비비례 감쇠시스템을 비례 감쇠시스템으로 근사하여 적용 근사 과정에서 필연적인 오차를 포함

서론 연구 목적 MA방법과 MT방법을 비비례 감쇠시스템의 해석에 적합한 형태로 확장 사용성 검증

비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법

모드 중첩법 ( Mode Displacement Method ) 비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 모드 중첩법 ( Mode Displacement Method ) 운동방정식을 모드 좌표로 변환 ( ) (1) (2) 여기서

모드 가속도법과 모드 절삭 보강법 MD방법에 의한 변위 (3) MA방법에 의한 변위 MT방법에 의한 변위 여기서 비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 MD방법에 의한 변위 여기서 (3) 모드 가속도법과 모드 절삭 보강법 MA방법에 의한 변위 MT방법에 의한 변위

모드 가속도법 ( Mode Acceleration Method ) 비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 모드 가속도법 ( Mode Acceleration Method ) MA방법에 의한 변위 누락되는 고차모드 보정변위 누락 하중 벡터( Force Truncation Vector ) 모드 하중 벡터( Modally Represented Spatial Load Vector ) (4) (5) (6)

모드 절삭 보강법 ( Modal Truncation Augmentation Method ) 비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 모드 절삭 보강법 ( Modal Truncation Augmentation Method ) MT방법에 의한 변위 누락되는 고차모드 보정변위 MT벡터 P의 생성 step1 : step2 : MT벡터 P에 의한 해석 (7) (8)

MA 방법은 정적인 방법으로 누락되는 고차 모드를 보정 MT 방법은 동적인 방법으로 누락되는 고차 모드를 보정 비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 MA 방법은 정적인 방법으로 누락되는 고차 모드를 보정 MT 방법은 동적인 방법으로 누락되는 고차 모드를 보정 일반적으로 MT 방법에 의한 응답이 우수

비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법

비비례 감쇠 시스템 비비례 감쇠의 특성 모드 좌표로 변환 불가 (9) (10) 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 비비례 감쇠 시스템 비비례 감쇠의 특성 고유벡터를 사용하여 감쇠행렬을 대각행렬로 변환할 수 없다. 모드 좌표로 변환 불가 (9) (10)

상태공간 방정식 (11) 고유치 문제 (12) 복소수의 고유치와 고유벡터 고유치와 고유벡터는 복소 공액 짝 여기서 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 상태공간 방정식 고유치 문제 복소수의 고유치와 고유벡터 고유치와 고유벡터는 복소 공액 짝 (11) 여기서 (12)

모드 중첩법 ( Mode Displacement Method ) 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 모드 중첩법 ( Mode Displacement Method ) 상태공간 방정식을 모드 좌표로 변환 MD방법에 의한 변위 (13) (14) 여기서 Eigenvectors are conjugate pairs (15)

모드 가속도법 ( Mode Acceleration Method ) 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 모드 가속도법 ( Mode Acceleration Method ) MA방법에 의한 변위 누락되는 고차모드 보정변위 누락 하중 벡터 ( Force Truncation Vector ) 모드 하중 벡터( Modally Represented Spatial Load Vector ) (16) (17) (18)

모드 절삭 보강법 ( Modal Truncation Augmentation Method ) 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 모드 절삭 보강법 ( Modal Truncation Augmentation Method ) MT방법에 의한 변위 누락되는 고차모드 보정변위 MT벡터 P의 생성 step1 : step2 : MT벡터 P에 의한 해석 (19) (20)

MT방법의 안정성 (21) (22) (23) MT방법의 해 ( r(t) = sin (wt), z(0)=0 ) 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 MT방법의 안정성 MT방법의 해 ( r(t) = sin (wt), z(0)=0 ) MT방법의 수렴 조건 (21) (22) 여기서 (23)

비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 MT방법의 수렴특성 특징 : MT방법의 해 (24) (25) (26)

MT방법과 MA방법의 결과 비교 (27) (28) MT방법의 해 MA방법의 해 인 경우 이므로 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 MT방법과 MA방법의 결과 비교 MT방법의 해 MA방법의 해 인 경우 이므로 MA방법과 MT 방법은 같은 결과를 준다. (27) (28)

MA 방법은 정적인 방법으로 누락되는 고차 모드 보정 비비례 감쇠시스템에 대한 모드 중첩법 MA 방법은 정적인 방법으로 누락되는 고차 모드 보정 MT 방법은 사용성이 제한적이며 사용 가능한 경우 MA방법과 동일

수치 예제 집중감쇠가 설치된 외팔보 지진하중에 대한 각 방법의 응답 거동 10층 Shear Building MT방법의 수렴성

각 방법의 결과 비교 방법 각 절점에서의 모멘트와 전단력의 최대값을 각각 비교 직접적분법의 결과로 정규화하여 비교 수치 예제 각 방법의 결과 비교 방법 각 절점에서의 모멘트와 전단력의 최대값을 각각 비교 직접적분법의 결과로 정규화하여 비교 Y축 : or X축 : 절점 번호

집중감쇠가 설치된 외팔보 지진 하중(El Centro)이 가해지는 경우 E= 3.0107 L= 100 A= 4 C= 0.1 수치 예제 집중감쇠가 설치된 외팔보 지진 하중(El Centro)이 가해지는 경우 11 10 E= 3.0107 L= 100 A= 4 C= 0.1 I= 1.25 = 7.4110-4 10 BEAM ELEMENTS 9 100 IN 3 2 1 그림 2 예제 구조물과 물성치 표 2 예제 구조물의 고유치

MD방법 MA방법 및 MT방법 각 절점에서의 모멘트 비교 M(mode) / M(direct) 절점 번호 절점 번호 수치 예제 1 2 3 9 10 11 4 5 6 7 8 1 2 3 9 10 11 4 5 6 7 8 절점 번호 절점 번호

MD방법 MA방법 및 MT방법 각 절점에서의 전단력 비교 S(mode) / S(direct) 절점 번호 절점 번호 수치 예제 1 2 3 9 10 11 4 5 6 7 8 1 2 3 9 10 11 4 5 6 7 8 절점 번호 절점 번호

10층 Shear Building 조화함수로 가진 할때 ( w= 32.0 rad/sec ) Load Case 2 수치 예제 10층 Shear Building 조화함수로 가진 할때 ( w= 32.0 rad/sec ) m1=1Ksec2/IN m2=2 k1=800 K/IN k2=1600 m3=2 m4=2 m5=3 m6=3 m7=3 m8=4 m9=4 m10=4 Load Case 2 Load Case 1 그림 1 예제 구조물과 입력하중의 종류 표 1 예제 구조물의 고유치

MA방법 MT방법 Load Case1 이므로 MA방법과 MT방법이 일치 Displacement Time (sec ) 수치 예제 Load Case1 MA방법 MT방법 Displacement Time (sec ) Time (sec ) 이므로 MA방법과 MT방법이 일치

MA방법 MT방법 Load Case2 이므로 MT방법 급격히 발산 Displacement Time (sec ) 수치 예제 Load Case2 MA방법 MT방법 Displacement Time (sec ) Time (sec ) 이므로 MT방법 급격히 발산

결론 확장된 MA방법과 MT방법은 비비례 감쇠시스템의 해석시 고차 모드의 누락으로 인해 발생하는 오차를 보정할 수 있는 효율적인 방법이다. 확장된 MA방법은 항상 안정된 결과를 주는 반면 MT방법은 하중의 형태에 따라 안정된 결과를 주지 못하는 경우가 존재한다. MT방법이 안정된 결과를 주는 경우에 있어서 그 결과는 MA방법과 같다. 비비례 감쇠시스템의 해석에서 MA방법을 사용하는 것이 바람직하다

증명 인 경우에