Chapter 8. Finite potential well, periodic lattice and some simple problems with 2 degrees of freedom 주기적인 potential 내의 전하, 1차원의 장벽 문제의 실제모형. 8. 1. The finite potential well. 고유상태? Rectangular potential로부터 충돌문제 : “사각형 potential well" ① E>0 : 구속되지 않은 연속에너지 상태 ② E<0 : 한정되고 구분되는 에너지 상태

각 영역 고유상태의 계수는 𝑥=±𝑎 에서 경계조건(기울기와 함수 값이 연속)으로 계수 방정식이 구해짐 4원 1차 연립방정식, matrix 형태 Nontrivial 해 가질 조건

or 양의 근 음의 근 Matrix의 첫 번째 row 와 column 양근 B=-C 계수 방정식

음근 B=C 계수 방정식 even parity ρ ≤ π 에서는 오직 1개의 짝수 근 두 group의 해는 갇힌 상태 상수 B 를 결정 ! 두 고유상태에 해당하는 고유에너지? even 고유상태 장벽 폭 2𝑎 에 대해 깊이 𝑉 , 질량 𝑚에 대해 직교좌표 ξ , η 에서 반경 ρ의 원을 의미 위 두 식 의 교차점이 even 고유상태에 대한 고유 에너지

odd 고유상태 1개의 홀수 근

구속 않된 scattering(α)의 경우와 구속된 상태(β)의 차이 (α) & (β) 파동함수 & 그 기울기 : potential 경계서 연속 고유상태 에너지 보존 고유 에너지 (α) 경우 : 연속 조건 에너지 보존 potential 경계에서 𝑘를 연결 고유 𝑘1값 연속 : 각 𝑘1 값에 대해 고유함수 가짐 (β) 구속된 상태경우 : 연속 조건 nontrivial 해(고유상태) 가짐 고유 𝑘값이 경계조건을 만족시킬 때 존재 고유치 에너지 보존 법칙을 만족시킬 때만 존재 시간에 의존하는 구속된 상태의 해 시간에 의존하지 않는구속된 상태의 고유함수 자유입자의 해 구속 않된 scattering(α)의 경우 시간에 의존하는 고유 상태

The E=0 line Well 맨 위를 E=0 Well 바닥을 E=0

예 8. 2. Periodic lattice, Energy gaps Positive ions 들이 고정된 위치에 array 이룸 Metal 결정 공유하고 있는 전자들은 전도 전자들로 가정 예 Na 금속 이온 당 1개의 자유전자 이온의 주기 장벽에 둘러 쌓임 이웃 이온들이 떨어진 거리 : d “Kronig-Penney 장벽” 주기성을 유지하는 장벽 두 종류의 경계조건 !!

결정의 양끝에서 경계조건(φ 와 φ’ 이 연속) 을 만족시키지 못함! 해결책! Ion 수를 늘려 장벽 양끝의 성질변화가 내부전자 이동에 영향을 주지 않게 함 전자가 시료 끝을 떠날 때, 다시 시료 앞에서 들어온다고 가정 이온 간의 거리 𝑑 에 비해 반경 𝑟 이 매우 큰 원주상에 장벽이 있다고 가정 이 주기적 장벽 안 (원주를 1차원 좌표 𝑥) 에 있는 전자의 Hamiltonian Bloch‘s 파동함수 고유함수

Bloch 파동함수 변위 연산자 𝒟 변위 연산자 𝒟 의 고유함수? 고유치? 𝑒 𝑖𝑘𝑑 변위 연산자 𝒟 변위 연산자 𝒟 의 고유함수? 고유치? 𝑒 𝑖𝑘𝑑 𝜑(𝑥) 의 𝑢(𝑥) 와 𝑒 𝑖𝑘𝑥 가 각각 주기함수라도, 𝜑(𝑥) 가 반드시 주기함수일 필요는 없다. 𝑢 𝑥 의 주기 𝑑 가 𝑒 𝑖𝑘𝑥 의 공간적 주기 2𝜋 𝑘 와 배수관계에 있다면, 𝜑(𝑥) 는 주기성을 띤다. 2𝜋 𝑘𝑑 → "rational number(유리수)” [ 𝒟 , 𝐻 ]=0 𝒟 , 𝐻 는 공통고유함수 가짐 𝐻 의 고유함수는 𝒟 의 고유함수 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑢(𝑥) 의 형태 Bloch 파동함수 주기적 potential을 가진 𝐻 의 고유상태가 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑢(𝑥) 라는 것 Bloch theorem 두 종류의 경계조건 !!

𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝜑(𝑥) 𝛼 𝑥 주기적인 potential을 가진 결정을 통해 전달되는 전자 beam의 “밀도” 결정과 같은 주기 (𝑘 : 임의의 실수) 주기 d 𝜑(𝑥) 𝑒 𝑖𝑘𝑥 ∴ d 와 관계없는 실함수 ∵ 𝛼 𝑥 는 격자상수, d,에 관계없고, 모든 d 에 대해 동일 𝛼 𝑥 결정 속을 통과하는 파동함수에 주기적 결정구조가 미치는 영향 자유입자 𝑒 𝑖𝑘𝑥 를 modulate 하면서 격자상수 d 를 포함하는 주기인자 𝑢(𝑥) 를 갖게 함 고유함수 𝜑 가 주기 격자 안의 어떤 cell [길이 d 에 걸쳐 있는 임의의 구간] 에 대해 알려지면 모든 다른 cell에 대해서도 𝜑 는 알 수 있다.

어떤 값 𝑘 에 대해서도 φ(x) 는 𝒟 의 고유함수. 예 Ring에 대해 정의된 V 를 갖고 있는 𝐻 의 고유함수 Bloch 함수에 대입 𝑘 의 허락된 값이 불연속 spectrum (𝑘n= 𝑛2𝜋 𝐿 ) 을 형성! N 값이 커지면 (∽108) 𝑘 의 값이 연속 2𝜋 𝑘𝑑 =N/n 은 유리수 (rational number) 닫힌 ring의 주기적인 potential에 대해서는 Bloch 파형의 𝐻 의 고유함수는 주기적!!!

p = ħk The Quasi-momentum 변수 ħk를 이 입자의 qausi-momentum (준 운동량)이라 함 ① 𝒟 의 고유함수는 𝜑 𝑥 = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 x constant 의 형태 운동량 ħk 를 갖는 자유입자의 운동량 고유함수의 형태와 유사! 주기적 격자 안의 전자는 격자의 위치에 의존하는 potential field로 인해 일정 운동량을 갖지 못함. (그럼에도 불구하고 Hamiltonian 의 모든 고유에너지와 관련된 ħk 라는 값이 있음) ② 한 band의 전자 파속의 group velocity E(k) : band의 에너지 이 관계식은 ħk 를 운동량이라고 하면, 에너지 E 를 갖는 자유입자의 속도를 구하는 고전적 방법과 일치. ③ 외부힘 𝐹 에 의해 격자 내의 입자가 가속되면, 그 가속도는 F/m 이 아니라 F/m* 효과질량 m* 은 m 보다 작을수도 , 클수도 있고, 음 일수도 있고, 무한대 일수도 있음. 정수 p = ħk 1차원 자유입자 ④ 고유에너지 E(k) 는 주기 2𝜋 𝑑 를 갖는 k 의 주기함수 : “가운데의” E(k) 포물선 운동량 ħk 를 갖는 자유 입자와 유사!!

Eigenstates : Kronig-Penney Hamiltonian 두 종류의 경계조건 !! 고유상태의 형태 x=0 오른편 값, x=d 왼편 값 φ(x) 에 대한 연속조건 주기인자 u(x) 에 적용 u(x) 와 u’(x) 값 연속 u>(0) ≡ u 를 x=0+ε 에서 계산한 값

Well-domain (0≤x≤𝑎) 에서 파동함수 (E=0 line C B Minimum) “𝑢(𝑥), 𝑢’(𝑥) 에 대한 연속조건” “𝑥=𝑎에서 φ 와 φ‘ 의 연속조건”

𝑘,𝑘1,𝑘2→𝐸 & 𝑉 𝑣 non-trivial 해를 가짐 (dispersion relation) 에너지에 대한 2개의 방정식 & & dispersion relation 주기적인 장벽에 따르는 에너지 spectrum의 띠 간격 성질을 나타냄 𝑘,𝑘1,𝑘2→𝐸 & 𝑉 구속된 상태와 같은 고유에너지를 줌 Propagation constant 𝐻 의 파동함수는 0 ≤ x ≤ Nd 구간에서 걸쳐 있음. “Extended states” 고유치는? E>V 경우 E<V 경우

Numerical technique Dispersion relation curve 한 전파상수 𝑘 주어진 potential V 고유 Energy E 결정 For 곡선이 직선과 교차하는 부분이 고유에너지 !

Energy Gaps 고유에너지의 band structure 고유에너지는 몇몇 구간에서만 존재할 수 있음 예 진동하는 함수와 교차하는 무수히 많은 점들 “전달상수값들, 𝑘𝑑=±𝜋/4”에 해당하는 모든 가능한 고유에너지 한 개의 band “축소된-구역” 반복 각 밴드는 매우 촘촘한 간격의 에너지 준위 주기적 퍼텐셜을 갖고 있는 𝐻 의 모든 고유치들 “뚜렷이 구별” 되는 촘촘한 간격 갭 위치 계의 구속성 고유상태의 전파성 반파장의 정수배

Bragg Reflection 두께가 b 이고, 간격이 d 인 일정한 크기 장벽 V에 입사되는 평면파 경로차 : 2dcosθ = nλ= n 2𝜋 𝑘 ∴ nπ = kdcosθ Normal incidence θ → 0 (1차원 model에 해당함) 에너지 gap이 있는 부분의 k “파장의 정수배가 2d 에 해당함” 반사되는 파의 보강간섭 Bragg reflection! 이 조건을 만족시키는 k 를 가진 파가 한쪽으로 입사하여 반사하는 것을 반복하여 양방향으로 진행하는 같은 수의 파가 되는 정상상태에 이를 때까지 지속

구속된 상태의 퍼짐 이러한 값 k 에서는 𝐻 의 고유상태 똑같이 양쪽 방향으로 움직이는 파들로 이루어짐 주기적인 potential의 well 영역에서 파동함수 정지파(standing wave)의 공간 성분 비슷한 정지파의 구조가 장벽을 포함한 한 주기에 걸쳐 지배적이 되면 두 개의 해가 장벽 step에서 연결되어 정지파는 전 공간에 퍼지게 됨 <p> = 0 전자들은 갇히게 되고 자유입자의 성질을 잃게 됨 구속된 상태의 퍼짐 장벽 두께 b →∞ 1 개의 potential well 문제가 됨 뚜렷이 구별되는 구속상태가 됨 E<V 의 주기적인 potential의 고유치 조건 b →∞ & 한정된 potential well 에 대한 입자의 우함수 상태와 기함수 상태의 고유치 관계식 여기서 ξ , η , ρ 는 우물의 반폭 𝑎를 포함하는 무차원의 변수

우물의 반폭은 Kronig-Penney 장벽에 대해서는 𝑎/2 가 됨 이 변수로 E<V 에 대한 고유치 조건에 대한 방정식을 대입하면 b→∞ 로 보내면 (𝑎 , V = 일정)