통계해석 및 오차의 제거

통계해석 / 오차의 확률 / 오차의 제거 실험의 결과에 대한 불확실성을 해석적으로 계산하여 요약하고 적용 • 산술평균 : 같은 양을 동일 조건 하에서 반복 측정 후 평균 값 계산 • 편차 및 분산 : 측정 값이 산술 평균으로부터 벗어나는 정도 - 평균편차 (average deviation) - 표준편차 (standard deviation) - 분산 (variance) • 오차의 확률 : 오차가 발생할 수 있는 확률 (오차의 정규분포곡선) • 제한오차 : 계측기의 정격치로부터 벗어나는 편차에 대한 제한 값 • 오차의 제거 : 최소제곱법 (직접측정, 간접측정)

산술평균 / 편차 / 분산 • 산술평균 : 같은 양을 동일 조건 하에서 반복 측정 후 평균 값 계산 : 산술평균 : 측정치 : 측정횟수 • 편차 및 분산 : 양(+)이나 음(-)의 값을 가질 수 있으며, 편차의 대수적인 합은 영(0)

편차 및 분산 • 평균편차 (average deviation) 편차의 절대치의 총합을 측정횟수로 나눈 값 (측정시 사용한 측정기의 정밀도 표현. 즉, 정밀도가 높은 측정기일수록 측정치 사이의 평균편차의 값은 작다) • 표준편차 (standard deviation) 편차의 제곱의 합에 대한 편균치의 평방근 (측정한 변수와 동일한 단위로 나타나므로 쉽게 그 크기를 비교할 수 있다) • 분산 (variance) 회의 측정횟수를 가진 측정 군에서의 편차의 제곱의 합을 로 나눈 값

편차 및 분산 • 한 측정 군에서 측정치간의 변화도를 나타낼 때 - 분산 값이 클수록 측정치간의 변화도가 크고 넓음 - 그러나, 분산의 값은 그 값의 대소에 의해서 두개 이상의 측정 군을 비교할 때 의미가 있으며, 어떤 한 측정 군에 대한 절대적인 표현이 될 수는 없음 - 반면에, 표준편차는 한 측정 군에 있어서의 측정치의 분포상태를 나타내는데 유용함 • 한 측정 군에 있어서의 측정치의 분포가 Gaussian curve의 모양을 나타낼 때 - 표준편차의 근사치는 의 식으로 구함 - 는 측정치의 최대치와 최소치간의 차이를 나타냄

레이저 도플러를 이용하여 유속(flow velocity)을 0.5초의 averaging time으로 100회 측정한 값 오차의 확률 레이저 도플러를 이용하여 유속(flow velocity)을 0.5초의 averaging time으로 100회 측정한 값 100회 측정된 유속 -------------------------------- 혈류속도 (ml/s)           측정횟수 (회) 15.5             1 17.2 8 19.1 20 20.8 43 21.2 18 22.7 8 24.0 2 100 히스토그램 • 측정횟수를 무한히 많게 하고 averaging time을 무한히 작게 하면 궁극적으로는 점선 모양의 곡선이 얻어지게 되며, 이러한 종모양의 곡선을 Gaussian curve라고 한다. • Gaussian curve가 폭이 좁고 뾰족할수록 발생되는 오차의 범위는 좁아진다.

오차의 확률 Gauss의 오차법칙의 3가지 가정 a . 작은 오차가 발생할 확률은 큰 오차가 발생할 확률보다 크다 b . 어느 정도 이상의 큰 오차는 발생하지 않는다 c . 양(+)과 음(-)의 오차가 발생할 확률은 같다 - Gauss “오차의 정규분포곡선”의 함수형은 이고 : 오차곡선의 형태 ( 가 크면 뾰족한 산 모양, 가 작으면 평평한 산 모양) - 따라서, 오차가 발생할 확률을 라 하면, - 여기에서, 크기가 과 사이의 오차가 생길 확률은 위 식을 적분하여 얻을 수 있다 - 오차는 반드시 와 사이에 있으며, 정규분포곡선 전체 면적의 합은 1이 된다

오차의 확률 오차가 발생할 확률 에서 로 정의되므로 그리고, 오차의 크기 와 표준편차 는 같은 단위를 가지고 있으므로 오차가 발생할 확률 에서 로 정의되므로 그리고, 오차의 크기 와 표준편차 는 같은 단위를 가지고 있으므로 로 놓으면 오차는 무차원화 되어서 어떠한 경우에도 적용할 수 있게 된다 즉, 로부터

오차의 정규분포곡선 함수의 면적 무한히 많은 측정 횟수 중에서 특정 값이 나타날 수 있는 확률을 구할 때 활용 (구해진 함수에 대한 면적) ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zx   0.00    0.01     0.02     0.03    0.04      0.05      0.06    0.07     0.08      0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1  0.4602  0.4562  0.4522  0.4483   0.4443   0.4404  0.4364  0.4325    0.4286   0.4247 0.2 0.4207    0.4168   0.4129   0.4090  0.4052  0.4013   0.3974  0.3936 0.3897   0.3859 0.3   0.3821   0.3783   0.3745  0.3707  0.3669   0.3632   0.3228  0.3192  0.3156   0.3121 0.5 0.3085    0.3050   0.3015  0.2981  0.2946   0.2912   0.2877  0.2843   0.2810   0.2776 0.6  0.2743   0.2709   0.2676  0.2643  0.2611   0.2578   0.2546  0.2514   0.2483   0.2451 0.7  0.2420   0.2389   0.2358  0.2327  0.2296   0.2266   0.2236  0.2206   0.2177    0.2148 0.8  0.2119   0.2090   0.2061  0.2033  0.2005   0.1977   0.1949  0.1922   0.1894   0.1867 0.9   0.1841   0.1814   0.1788  0.1762  0.1736   0.1711   0.1685  0.1660   0.1635   0.1611 1.0  0.1587   0.1562   0.1539  0.1515  0.1492   0.1469   0.1446  0.1423   0.1401   0.1379 1.1  0.1357   0.1335   0.1314  0.1292  0.1271   0.1251   0.1230  0.1210   0.1190   0.1170 1.2   0.1151   0.1131   0.1112  0.1093  0.1075   0.1056 0.1038  0.1020    0.1003   0.0985 1.3   0.0968   0.0951   0.0934  0.0918  0.0901   0.0885    0.0869  0.0853  0.0838   0.0823 1.4  0.0808   0.0793   0.0778  0.0746  0.0749   0.0735   0.0721  0.0708   0.0694    0.0681 1.5   0.0668  0.0655   0.0643  0.0630  0.0618   0.0606   0.0594  0.0582   0.0571   0.0559 1.6  0.0548   0.0537   0.0526  0.0516  0.0505   0.0495   0.0485  0.0475   0.0465    0.0455 1.7  0.0446   0.0436    0.0427  0.0418  0.0409   0.0401   0.0392  0.0384   0.0375   0.0367 1.8  0.0359   0.0351   0.0344  0.0336  0.0329   0.0322   0.0314  0.0307   0.0301   0.0294 1.9  0.0287   0.0281   0.0274  0.0268  0.0262   0.0256   0.0250  0.0244    0.0239    0.0233 2.0   0.0228   0.0222    0.0217  0.0212  0.0207   0.0202   0.0197  0.0192   0.0188   0.0183 2.1  0.0179   0.0174   0.0170 0.0166  0.0162   0.0158   0.0154  0.0150   0.0146   0.0143 2.2   0.0139   0.0136   0.0132  0.0129  0.0125   0.0122   0.0119  0.0116   0.0113    0.0110 2.3  0.0107   0.0104    0.0102  0.0099  0.0096   0.0094   0.0091  0.0089   0.0087    0.0084 2.4  0.0082   0.0079   0.0078  0.0076  0.0073   0.0071   0.0070  0.0068   0.0066    0.0064 2.5  0.0062    0.0060    0.0059  0.0057  0.0055   0.0054   0.0052  0.0051   0.0049    0.0048 2.6  0.0047   0.0045   0.0044  0.0043  0.0042   0.0040   0.0039  0.0038   0.0037   0.0036 2.7  0.0035   0.0034   0.0033  0.0032  0.0031   0.0030   0.0029  0.0028   0.0027    0.0026 2.8  0.0026   0.0025   0.0024  0.0023  0.0023   0.0022   0.0021  0.0021    0.0020   0.0019 2.9  0.0019   0.0018   0.0018  0.0017  0.0016   0.0016   0.0015  0.0015   0.0014   0.0014 -------------------------------------------------------------------------------------------

표준편차와 단위면적간의 관계 표준편차가 일 때의 면적 표준편차가 일 때의 면적 확률오차 (probable error) 표준편차가 일 때의 면적 표준편차가 일 때의 면적 확률오차 (probable error) 어떤 사건이 발생할 수 있는 모든 경우의 50%가 의 범위 내에 있을 때의 오차량 가 인 경우의 확률오차는 0.1349 표준편차가 일 때의 면적

제한오차 제한오차 (limiting error) 측정기나 지시계기 및 회로소자의 정확도는 최대눈금 범위나 정격치에 대한 백분률(%)로 표시되는데, 이와 같이 정격치로부터 벗어나는 편차에 대한 제한 값 예제 100 ± 0.2Ω 의 저항을 통하여 2.00 ± 0.01 A의 전류가 흐른다. 이때 발생되는 전력손실에 대한 제한오차를 계산하라.

최소제곱법 : 우연오차의 제거, 구해진 값 중 가장 참 값에 가까운 값을 구함 참 값이 인 변수를 반복 측정하여 의 측정 값을 얻었을 때, 각 측정 값에는 오차 가 포함되어 있음 이들 오차의 발생 확률 는 각 오차가 일어날 확률의 곱으로 표시되므로 이때 가 최대가 되려면 이 최소가 되어야 하므로 오차의 제곱의 총계는 여기에서 를 최소로 되게 하는 값은 을 만족하는 값이므로 이때의 값이 우연오차를 제거한 정확한 값 최소제곱법 : 우연오차의 제거, 구해진 값 중 가장 참 값에 가까운 값을 구함

직접측정에서의 오차의 제거 직접측정에서의 최소제곱법은 산술평균 (직접측정에서의 미지량은 한 개이므로)

간접측정에서의 오차의 제거 간접측정은 미지량이 2개 이상인 경우이므로 인 개의 미지량으로부터 이라는 값을 간접적으로 계산 인 개의 미지량으로부터 이라는 값을 간접적으로 계산 이때 을 변화하여 회 측정하였다면 그리고, 의 확실한 값이 라면 이때의 오차들은

간접측정에서의 오차의 제거 오차의 제곱의 총계 는 최소제곱법으로부터 위의 식을 최소로 하는 를 구하면 즉,

간접측정에서의 오차의 제거 규준식(normal equation)을 만족하는 값이 우연오차를 제거한 정확한 값이 됨