Integration

부정적분 01 적분 기법 02 정적분 03 이상적분 04 공학 문제 05

학습목표 부정적분을 정의하고 다양한 적분 기법을 학습한다. 정적분을 정의하고 미적분학의 기본 정리를 이용하여 정적분을 구하는 방법을 익힌다. 정적분을 확장한 이상적분의 개념을 이해한다.

Concept of Indefinite Integral 𝑑𝑒 :𝑠𝑒𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦 𝐿𝑒𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑑𝐹 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑠 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑢𝑛𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐹 𝐴 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐹 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑒𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑦 𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑙𝑒𝑑 𝑎 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝐹 𝑥 = 1 3 𝑥 3 𝑎𝑛𝑑 𝐹 𝑥 = 1 3 𝑥 3 +𝐶 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑥 2 𝐼𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚 𝑜𝑓 𝑓𝑖𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔 𝑎 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐹 𝑥 ℎ𝑎𝑠 𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑖𝑡 𝑤𝑖𝑙𝑙 ℎ𝑎𝑣𝑒 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑟𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑏𝑦 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡.(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒)

Indefinite Integral Operator 𝑡ℎ𝑒 𝑀𝑜𝑠𝑡 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐹 𝑥 𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑡𝑜 𝑎𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑥 𝑜𝑟 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 𝐻𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑜𝑢𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐹 𝑥 , 𝐹 𝑥 +𝐶 𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 +𝐶 ,𝐶 𝑖𝑠 𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑦 𝐼 𝐼𝑓 𝑡𝑤𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑓 1 𝑥 , 𝑓 2 𝑥 𝑜𝑟 𝑡𝑤𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙𝑠 𝑓 1 𝑑𝑥, 𝑓 2 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙, 𝑡ℎ𝑒𝑖𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑠 𝑐𝑎𝑛 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟 𝑏𝑦 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑚. 𝑎𝑛𝑑 𝑣𝑖𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.

Constant of Integration

Properties of Indefinite Integral 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑦 𝐼𝐼 𝑡ℎ𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑜𝑓 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑓 𝑥 , 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑠𝑡 𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ′ 𝑑𝐹 𝑥 =𝑑 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 𝑑𝐹 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑥 =𝑑 𝑑𝐹 𝑥 𝑑, 𝑎𝑟𝑒 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟

Properties of Indefinite Integral

Properties of Indefinite Integral 𝑢+𝑣−𝑤+⋯ 𝑑𝑥= 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑥− 𝑤𝑑𝑥+⋯+𝐶 𝑑 𝑢+𝑣−𝑤+⋯ 𝑑𝑥=𝑑 𝑢𝑑𝑥 +𝑑 𝑣𝑑𝑥−𝑑 𝑤𝑑𝑥+⋯+𝑑𝐶

01 부정적분 원시함수와 부정적분 예제 8-1

01 부정적분 원시함수와 부정적분

Elementary Integrals

Elementary Integrals 𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑑 1 𝑚+1 𝑥 𝑚+1 𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑑 1 𝑚+1 𝑥 𝑚+1 𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑑 1 𝑚+1 𝑥 𝑚+1 𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑 1 𝑚+1 𝑥 𝑚+1

01 부정적분 부정적분의 기본 공식

01 부정적분 부정적분의 기본 공식 예제 8-2

Elementary Integrals

Elementary Integrals

Elementary Integrals

02 적분 기법 치환적분법

01 부정적분 부정적분의 기본 공식 예제 8-3

Change of Variable 𝑚≠−1

Change of Variable

1 𝑥 2 − 𝑎 2 = 1 𝑥+𝑎 𝑥−𝑎 = 𝐴 𝑥+𝑎 + 𝐵 𝑥−𝑎 Change of Variable 1 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑑𝑥 𝑆𝑝𝑙𝑖𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 1 𝑥 2 − 𝑎 2 = 1 𝑥+𝑎 𝑥−𝑎 = 𝐴 𝑥+𝑎 + 𝐵 𝑥−𝑎 1 𝑥−𝑎 =𝐴+ 𝐵 𝑥+𝑎 𝑥−𝑎 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑦 𝐵𝑜𝑡ℎ 𝑆𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑥+𝑎 𝑆𝑒𝑡 𝑥=−𝑎 𝐴= −1 2𝑎 𝐵= 1 2𝑎

Change of Variable 1 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑑𝑥 1 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑑𝑥 𝑆𝑝𝑙𝑖𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 = 1 2𝑎 − 1 𝑥+𝑎 𝑑𝑥 + 1 𝑥−𝑎 𝑑𝑥 = 1 2𝑎 −𝑙𝑛 𝑥+𝑎 +𝑙𝑛 𝑥−𝑎 +C = 1 2𝑎 𝑙𝑛 𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 +𝐶 1 𝑥 2 − 𝑎 2 = 1 𝑥+𝑎 𝑥−𝑎 = 1 2𝑎 −1 𝑥+𝑎 + 1 𝑥−𝑎

Change of Variable 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝑑𝑥= 1 2 𝑥− 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 +𝐶= 1 2 𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝐶 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1+𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝑑𝑥= 1 2 𝑥+ 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 +𝐶= 1 2 𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝐶

02 적분 기법 치환적분법 예제 8-4 예제 8-5

Integration by Parts 𝑢𝑣= 𝑣𝑑𝑢+ 𝑢𝑑𝑣 𝑑 𝑢𝑣 = 𝑣𝑑𝑢+ 𝑢𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑢=𝑢𝑣− 𝑢𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑢=𝑢𝑣 𝑢𝑣= 𝑣𝑑𝑢+ 𝑢𝑑𝑣 𝑑 𝑢𝑣 = 𝑣𝑑𝑢+ 𝑢𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑢=𝑢𝑣− 𝑢𝑑𝑣 1. 𝐼𝑔𝑛𝑜𝑟𝑒 𝑑, 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 1. 𝑣𝑑𝑢=𝑢𝑣 2. 𝑀𝑎𝑘𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑢, 𝑒𝑎𝑠𝑦 𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑢, 𝑎𝑛𝑑 𝑣, 𝑒𝑎𝑠𝑦 𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑡𝑒 𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒 𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 2. 𝑣𝑑𝑢→ 𝑢 𝑑𝑣 3.𝐶ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑑 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 3.

Integration by Parts 𝑰𝒈𝒏𝒐𝒓𝒆 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒐𝒓𝒔 𝑪𝒉𝒂𝒏𝒈𝒆 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒐𝒓𝒔 𝒂𝒏𝒅 𝑴𝒐𝒗𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏

02 적분 기법 부분적분법

02 적분 기법 부분적분법 예제 8-6 예제 8-7 예제 8-8

03 정적분 정적분의 정의

Definite Integral

Definite Integral

Fundamental Theorem of Calculus

Fundamental Th. Of Calculus 𝑆 𝑎 𝑥+Δ𝑥 = 𝑎 𝑥+Δ𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡= 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥 Δ𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑆 𝑎 𝑥+Δ𝑥 − 𝑆 𝑎𝑥= 𝑎 𝑥+Δ𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡− 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 Δ𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑓 𝑥 Δ𝑥 𝑎 𝑥 Δ𝑥 𝑡 𝑑 𝑆 𝑎𝑥 =𝑑 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡=𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 𝑆 𝑎𝑥 = 𝑑 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝐹 𝑥 +𝐶 𝑎 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 , 𝑖𝑠 𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑖𝑠, 𝑡ℎ𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑜𝑓 𝑤ℎ𝑖𝑐ℎ 𝑖𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑎𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡. 0=𝐹 𝑎 +𝐶

𝑬𝒗𝒆𝒓𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒎𝒖𝒐𝒖𝒔 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒉𝒂𝒔 𝒂 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒊𝒕𝒊𝒗𝒆 𝒐𝒓 𝑰𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍

03 정적분 정적분의 정의 예제 8-9

03 정적분 정적분의 정의

Change of Variable for Definite Integral

03 정적분 정적분의 정의 예제 8-10 예제 8-11

DisContinuous of the Integrand

Improper Integral −1 1 𝑥 − 2 3 𝑑𝑥= 3 𝑥 1 3 −1 1 =6 −1 1 𝑥 −2 dx

적분 구간이 무한하지만 피적분함수는 연속일 때 이상적분 04 이상적분 적분 구간이 무한하지만 피적분함수는 연속일 때 이상적분

적분 구간이 무한하지만 피적분함수는 연속일 때 이상적분 04 이상적분 적분 구간이 무한하지만 피적분함수는 연속일 때 이상적분 예제 8-12

적분 구간이 유한하지만 피적분함수는 불연속일 때 이상적분 04 이상적분 적분 구간이 유한하지만 피적분함수는 불연속일 때 이상적분 예제 8-13

05 공학 문제 위치 변화량 위치 변화량 예제 8-14

05 공학 문제 선밀도 선밀도(linear density) 예제 8-15

라플라스 변환 라플라스 변환(Laplace Transform) 05 공학 문제 라플라스 변환 라플라스 변환(Laplace Transform) 미분방정식으로 표현된 회로의 상태를 나타내는 방정식을 대수방정식으로 바꾸는 변환 방법 시간 영역에서의 복잡한 미분방정식의 해를 주파수 영역에서의 간단한 대수방정식으로 변환하여 해를 쉽게 구할 수 있다. 예제 8-16