Ch. 6 라플라스 변환 (Laplace Transforms)

Presentation on theme: "Ch. 6 라플라스 변환 (Laplace Transforms)"— Presentation transcript:

1 Ch. 6 라플라스 변환 (Laplace Transforms)
제어 시스템 해석, 설계 등 미분방정식을 풀 수 있는 도구로 공학전반에 널리 이용 라플라스 변환(Laplace Transform)방법 상미분방정식을 라플라스 변환하여 보조방정식으로 변환 대수적인 연산을 통하여 보조방정식을 푼다. 보조방정식의 해를 역변환하여 상미분방정식의 해를 구한다. 장점 비제차 상미분방정식의 해를 구할 때, 제차 상미분방정식의 일반해를 따로 구할 필요가 없다. 초기값은 보조방정식을 만드는 과정 중에서 자동적으로 고려된다. 불연속성, 순간적인 충격량, 또는 복잡한 주기함수를 입력으로 갖는 상미분방정식도 쉽게 해를 찾을 수 있다.

2 < Time domain과 s-Domain과의 관계>

3 (Laplace Transform. Inverse Transform. Linearity. s-Shifting)
Ex 일 때 이라 하자 를 구하라. Ex 일 때 이라 하자 를 구하라.

4 라플라스 변환의 선형성 : 라플라스 변환은 선형연산이다.
6.1 라플라스 변환. 역변환. 선형성 그리고 s-이동 라플라스 변환의 선형성 : 라플라스 변환은 선형연산이다. Ex.3 쌍곡선 함수 와 의 라플라스 변환을 구하라.

5 제 1이동정리(First Shifting Theorem), s-이동
Ex.3 위의 관계식을 사용하여, 다음 식에 대한 라플라스 역변환을 구하라.

6 함수 가 영역 상의 모든 유한구간에서 구분적 연속인 함수. 어떤 상수 와 에 대해 모든 에 대해 의 라플라스 변환 가 존재
6.1 라플라스 변환. 역변환. 선형성 그리고 s-이동 라플라스 변환의 존재정리 함수 가 영역 상의 모든 유한구간에서 구분적 연속인 함수. 어떤 상수 와 에 대해 모든 에 대해 의 라플라스 변환 가 존재

7 (Transform of Derivatives and Integrals. ODEs)
6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식 6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식 (Transform of Derivatives and Integrals. ODEs) 도함수의 라플라스 변환 : Ex 라 하자 의 변환 을 구하라.

8 6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식 적분의 라플라스 변환 : Ex 과 의 역변환을 구하라.

9 1단계 보조방정식(Subsidiary Equation)의 도출 : 로 표 기
6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식 미분방정식, 초기값 문제 1단계 보조방정식(Subsidiary Equation)의 도출 : 로 표 기 2단계 대수학적인 방법에 의한 보조방정식의 풀이 전달함수(Transfer Function) : 보조방정식의 해 : 3단계 역변환하여 해 구하기

10 Ex. 4 다음 초기값 문제를 풀어라. Step 1 보조방정식 Step 2 전달함수 Step 3 역변환
6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식 Ex. 4 다음 초기값 문제를 풀어라. Step 1 보조방정식 Step 2 전달함수 Step 3 역변환

11 6.3 단위계단함수. t-이동(Unit Step Function. t-Shifting)
단위계단함수의 라플라스 변환 단위계단함수(Heaviside 함수) : 단위계단함수의 라플라스 변환 : 제 2이동정리(Second Shifting Theorem), t-이동

12 Ex.1 아래의 식으로 정의된 함수 를 단위계단함수를 사용하여 표현하고, 그 변환을 구하라.
6.3 단위계단함수. t-이동 Ex.1 아래의 식으로 정의된 함수 를 단위계단함수를 사용하여 표현하고, 그 변환을 구하라. Step 1 단위계단함수의 식 : Step 2 항별 라플라스 변환

13 6.3 단위계단함수. t-이동 Ex. 2 다음의 라플라스 역변환 를 구하여라. (제 1이동정리)

14 (Short Impulses. Dirac’s Delta Function. Partial Fractions)
6.4 짧은 충격(Short Impulse). Dirac의 델타함수 6.4 짧은 충격. Dirac의 델타함수 (Short Impulses. Dirac’s Delta Function. Partial Fractions) Dirac의 델타함수의 라플라스 변환 Dirac의 델타함수 또는 단위충격함수 : Dirac의 델타함수의 라플라스 변환 :

15 Ex. 2. 단일 구형파 대신 에서 단위충격이 가해졌을 때 그 응답을 구하라.
6.4 짧은 충격(Short Impulse). Dirac의 델타함수 Ex. 2. 단일 구형파 대신 에서 단위충격이 가해졌을 때 그 응답을 구하라. 상미분방정식 : 보조방정식 :

16 6.5 합성곱. 적분방정식(Convolution. Integral Equations)
6.5 합성곱. 적분방정식 6.5 합성곱. 적분방정식(Convolution. Integral Equations) 합성곱(Convolution): 합성곱의 성질 교환법칙 : 분배법칙 : 결합법칙 : 합성곱의 특이성질 : 합성곱 정리 : Ex 에 대한 역변환 를 구하여라.

17 적분방정식(Integral Equation)
6.5 합성곱. 적분방정식 적분방정식(Integral Equation) Ex.6 제 2종 Volterra 적분방정식을 풀어라. 합성곱을 이용 라플라스 변환

18 (Differentiation and Integration of Transforms.
6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식 6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식 (Differentiation and Integration of Transforms. ODEs with Variable Coefficients) 변환의 미분 :

19 6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식 Ex.1 세 개의 공식을 유도해 보자. 미분에 의하여

20 변환의 적분 : Ex.2 제 함수 의 역변환을 구하라. Case 1) 변환의 미분이용 미분 Case 2) 적분이용
6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식 Ex.2 제 함수 의 역변환을 구하라. Case 1) 변환의 미분이용 Case 2) 적분이용 변환의 적분 : 미분

21 변수계수(Variable Coefficient)를 가진 상미분방정식
6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식 변수계수(Variable Coefficient)를 가진 상미분방정식 Ex.3 Laguerre의 상미분방정식, Laguerre 다항식

22 6.7 연립상미분방정식(Systems of ODEs)
6.7 연립상미분방정식 6.7 연립상미분방정식(Systems of ODEs) Ex.3 용수철에 달린 두 물체의 모델 물체의 질량은 각각 1이고, 용수철 자체의 질량은 무시할 수 있으며, 용수철상수는 모두 이다. 라플라스 변환 지배방정식 : 초기조건 : Cramer의 법칙 또는 소거법 적용 역변환