Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

Presentation on theme: "Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University"— Presentation transcript:

1 Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
§2. 변분유한요소법 III Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2 2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분
⊙ 수치적분 ○ ⊙ 2점 적분점 Gauss quadrature 법: ○ 가 3차 함수이면, 는 정해와 일치함 ⊙ 예제 ○ 수계산: ○ 피적분함수: ○ Gauss quadrature 법에 근거한 2점 수치적분:

3 2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분
예제 2.4 2점, 3점 수치적분공식 ○ ○ 좌변 ○ 우변 ○ 좌변=우변 ○ 3점 수치적분공식: 예제 2.4 의 2, 3점 수치적분, ☞ 오차 4.8% ○ 오차 0.0% ○ 정답:

4 2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분
1점 적분 2점 적분

5 2.7 요소방정식의 조합 ⊙ 요소방정식 ○ 불완전 방정식, 자체로서는 아무 의미없는 방정식임
○ 전체 문제에 조합될 때 효력을 가짐 ○ 요소방정식의 일반형: ⊙ 요소방정식의 조합 ○ 가정: ○ 조합에 앞서 전체강성행렬 성분 와 전체하중벡터 성분 를 0으로 둠 ○ ○

6 2.7 요소방정식의 조합 ☞ ○ ○ ○ 밴드폭 = 2, 스카이라인 내의 행렬요소 수 = 7 개
요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 ○ ① ② 밴드폭 1 3 ○ 2 5 스카이라인 내의 요소 4 7 6 ○ 밴드폭 = 2, 스카이라인 내의 행렬요소 수 = 7 개 ○ 강성행렬: 대칭, 상삼각행렬(Upper triangular matrix)에서 0의 행렬 요소는 총 3개 예제 2.4 전체번호매김의 영향 ① ② ③ ④ 1 8 ☞ 2 4 7 3 6 5

7 2.8 경계조건의 부과 ⊙ 경계조건 대입이전의 방정식 ○ 경계조건 대입 이전의 유한요소방정식: ○ ○
: 불능 ∵경계조건 미대입 ⊙ 경계조건 의 대입 <방법 1: 소거법> ○ ○ 유한요소방정식:

8 2.8 경계조건의 부과 ☞ <방법 2: 벌칙기법> ○ 유한요소방정식: ○ β: 벌칙상수, 매우 큰 양의 상수
예제 2.7 경계조건 의 대입 ☞ ○ ○

9 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소방정식 ○ 자유도 수와 동일한 방정식(미지수)의 수
○ 선형미분방정식 ⇒ 선형방정식, 비선형미분방정식 ⇒ 비선형방정식 ○ 유한요소방정식의 해 = 1차 결과치: 온도, 변위, 속도, 압력 ⊙ 파생결과치의 계산: ○ 열전달율, 변형률, 응력, 반력 등등 ○ 미지함수의 미분 ⇒ 보간함수의 미분 ⇒ 파생변수의 계산 ⊙ 요소치 ○ 선형요소의 경우, 미분값이 요소에서 일정하거나, 요소경계에서 불연속임 ○ 이 경우, 일반적으로 요소 내의 중심점에서 요소치가 계산됨 ○ 절점치를 구하고자 할 경우, 최소자승법으로 요소치를 순화시켜 계산함 ○ 응력, 변형률, 변형률속도, 열전달율

10 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 온도의 절점치 ○ ○ 유한요소방정식: ⊙ 절점에서 정해와 절점치의 비교 ○ ○
← 초수렴(Superconvergence)

11 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소해와 정해의 비교 그림2.9 정해와 유한요소해의 비교
○ 전체적으로 정해를 비교적 잘 반영하고 있음 ○ 기울기(열전도율과 비례함)는 비교적 큰 차이를 보이고 있음 ○ 탄성역학에서 변위구배(Displacement gradient, )는 변형률 및 응력과 직결 ○ 온도 및 변위 등의 1차 결과치가 비교적 정확하더라도 해석결과를 미분하여 구한 파생 결과치들에는 비교적 큰 오차가 개입될 수 있음

12 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ≒ 41% ⊙ 기울기 오차의 정량화 ○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의
○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의 1차원 열전도방정식 ○ 총 열생성율: 그림 2.10 열생성율과 열전도율 ○ 유한요소해석결과 외부로 전달되는 열전달율 ○ 절점의 수를 증가시킨다면, ① ② ▷ ① ① ③ ③ ▷ ○ ≒ 41% 그림 2.11 요소밀도 증가와 정확도 개선

13 그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1]
2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 경계에서 불균형 항(외부로 전달되는 열유동량)의 계산 ○ 요소방정식을 이용한 경계에서 열전달율의 계산 ○ 요소 ① ○ 요소 ③ ○ 요소 ② 그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1] ○ 불균형항의 계산: ○ 경계조건 부과 이전의 유한요소방정식으로부터 경계에서 열전달율의 계산 경계조건 부과 이전의 유한요소방정식

14 2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ⊙ 경계조건 부과 시점에 따른 유한요소방정식의 표현 차이
○ 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 ○ 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 예제: 경계조건 <방법 1> 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 문제 2 ⊙ 시도함수: ○ 경계조건(B.C.)을 반영하지 않았음 ⊙ 유한요소방정식의 유도 ○ ○ ○ ○

15 2.10 유한요소방정식의 일반형유도 <방법 2> 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 절점의 분류 ○
{ 는 모든 절점번호} ○ { 는 필수경계조건이 부과된 절점 번호} ○ { 는 자유도가 구속되지 않은 절점 번호} ○ ⊙ 예제: ○ ○ ○

16 2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ○ ○ 또는