환경시스템중간고사풀이 환경공학과 20071464 백하비.

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1 환경시스템중간고사풀이 환경공학과 백하비

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3 환경정보관리 및 시설제어 기술의 필요성 및 목적
자연과학은 물론 인문과학 사회과학의 분야에서도 현상의 실제에 대한 적용의 목적으로 하여, 현상의 본질을 수식으로 나타내려고 시도한다. 이것이 수학적 모형이며, 일종의 시뮬레이션이다. 환경에서의 수학적 모형은 시간 또는 거리로 가장 일반화된 함수로써 시스템 변수의 변화를 설명하는 미분방정식의 형태로 표현된 한 개 또는 여러 개의 물질수지 관계를 포함하고 있다. 수학적 모형은 실행을 위한 매우 적절한 데이터와 지식을 기반으로 만들어진다. 신뢰할 만한 수준의 데이터와 지식이 수학적 모형과 결합한다면 출력과 예측은 정확할 것으로 기대 할 수 있다.

4 환경정보관리 및 시설제어 기술의 필요성 및 목적
-화합물의 반응과 분리, 그리고 이동을 정량화함으로써 그 물질의 운명과 수송 등을 좀더 쉽게 이해 하기위해 어떤 물질이 얼마나 오래 지속되는지, 어디까지 확산 되는지 얼마나 빨리 감소하는지에 대한 수학적 모델링으로 그 결과를 예측 -과거, 현재, 미래에서 수중 유기물과 인간에게 미치는 화학적 노출정도를 결정하기 위해 화학적 노출 정도는 최근 중요성이 증가되고 있다. 이것은 화학 오염물질의 영향을 분석 또는 평가하는 것과 관계가 있다. 노출의 농도와 시간을 이용하여 급성과 만성의 영향단계를 설명하기 위한 새로운 수질기준을 설명 할 수 있다. 즉 다소 높은 농도 에서의 매우 짧은 노출은 낮은 농도 에서의 지속적인 노출 보다는 덜 해롭다는 것은 물질의 농도와 함수관계에 따른 수학적인 모형을 사용했기에 알수 있었던 사실이다.

5 환경정보관리 및 시설제어 기술의 필요성 및 목적
선택 가능한 다양한 부하조건과 관리 활동 하에서 미래의 상황을 예견 하기 위해 폐기물 부하 할당과 위험 분석에 대한 노출 모델이 이 범주에 속한다. 얼마나 많은 모니터링 된 데이터의 양이 필요한가가 아니고 미래의 폐기물 부하 시나리오, 과거의 자료를 바탕으로 미래를 예측하는 시스템과 같이 다른 농도, 다른 기온, 다른 조건에서의 오염물질에 대한 화학적 농도를 예측하는 것이 항상 필요하기 때문. 위와 같은 이유 때문에 화학물질에 대한 예측 가능한 수학적 모형이 필요

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7 모형 학문이나 산업의 각 분야에서 실험 ·전시 ·교육 등의 다양한 용도를 가진 실용적인 것과 장식물 또는 제작과정을 즐기는 사람들의 취미대상이 되는 것으로 크게 분류한다. 또, 확대모형 ·실물크기모형 ·축소모형으로 분류하며 용도에 따라 적절히 구분한다. 고대의 이집트나 중국에서 부장품(副葬品)으로 사용된 이래 오랜 역사를 지니며, 학문이나 산업 발전에 호응하여 그 중요성이 높아져서 재료나 장치의 개발도 추진되고 있다.

8 모형 모형의 종류에는 인체모형, 수질관리모형, 생태모형등 여러 가지가 있다.

9 모형 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업 ① 실세계에서의 문제를 파악한다. 그 문제에 영향을 주는 중요한 요인들을 관찰한다. ② 수학적 모델을 설정한다. 요인의 관계를 분석하고, 그 관계를 수학적으로 해석하여 그 현상에 대한 수학적 모델을 세운다. (예를들어 방정식, 그래프, 도형 등.) ③ 수학적 모델의 결과(모델에서의 해)를 구한다. 그 모델 내어서 수학적으로 문제를 분석하여 결과를 얻는다. ④ 결론 추측 및 판단, 본 현상의 상황에 비추어 수학적 결과를 재해석함으로써 최종결론을 얻는다.

10 모형 모델은 현장에서 얻은 자료와 실험실에서 얻은 실험 결과를 조화시킨 수치를 모델의 매개변수에 대입시켜 외부적인 입력에 의 한 계(System)의 다양한 반응을 얻어내는 이론적 구조로써 모델의 보정이 필요하다. 모델의 보정은 일련의 현장자료를 가지고 모델을 시험하는 첫 번째 단계이며 이론적으로 매개변수와 입력 구성요건의 타당성을 시험한다. 이후 모델에 대한 검증이 요구되며 모델의 유효성을 입증하기 위하여 여러 가지 외적 조건 하에서 여러 현장의 자료를 이용하여 보증된 모델의 유효성을 지속적으로 시험한다. 즉 현장 데이터 없이 모델의 보정과 검정은 불가능하다. 모델의 궁극적 사용목적에 따라 현장조사의 양도 변한다. 만약 모델이 규제 목적으로 사용된다면 모델 결과에 확신을 가질 수 있도록 충분한 현장데이터가 필요하다. 종종 이런 경우에 어느 정도 다른 환경 하에서 나온 두 가지의 현장 측정이 필요한데, 하나는 모델의 보정을 위해, 또 하나는 검정을 위해서 필요하다.

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12 국내외의 대표적인 환경정보처리 및 시설제어 기술, 관련 전산 모형 개발 기관 및 개발된 제품, 특성
나프탈렌 매개체에 의한 클로로벤젠의 전기화학적인 탈염소공법 북극곰에서 잔류성유기물이 검출된 것이 계기가 되어 1990년대 초반 노르웨이에서 이의 심각한 독성문제가 제기되었다. 이와 관련하여 EU를 중심으로 REACH 제도를 비롯하여 WEEE, ROHS, ELV 지침 등이 2006년도를 전후해서 실시되고 있고, 미국에서도 CALIForNIA 주가 화장품안전법을 도입하였으며, 중앙정부에서도 연관 법률을 심의 중에 있다.

13 국내외의 대표적인 환경정보처리 및 시설제어 기술, 관련 전산 모형 개발 기관 및 개발된 제품, 특성
할로겐화 방향족 유기화합물은 잔류성이 높고, 미생물 또는 유해 해충에 작용하여 농작물의 수확량을 높여주는 역할을 하고 있으나, 인체에 축적되면 발암성과 생식독성, 피부독성 및 신경장애 등을 일으킨다. 또한 이러한 물질은 미생물에 의해서는 분해되기 어렵고, 일반적인 화학반응에 의해서도 쉽게 처리되지 않는다. 이러한 난분해성은 벤젠에 치환되는 할로겐원자의 수가 증가하면 더욱 증가된다. 유독 할로겐화 방향족 유기화합물은 지금까지 농축시켜, 소각처리하고 있었으나, 소각과정에서 다이옥신, 푸란 등 발암물질이 부산물로 발생하고, 이러한 부산물의 발생량을 감소시키기 위해서는 1,000℃ 이상의 고온에서 열분해시켜야 하는 등 처리비용도 크게 증가하였다.

14 국내외의 대표적인 환경정보처리 및 시설제어 기술, 관련 전산 모형 개발 기관 및 개발된 제품, 특성
GOULD-DINCER 저수지 저장-생산량-신뢰도 추정 저수지 용량-생산량-신뢰도(S-Y-R)관계를 추정하는 데에 사용되는 한 조의 GOULD-DINCER 수식은 연간 유량 통계에 기준한 단순한 수식 형태의 유용한 절차로 알려져 있다. 이는 지수 상에서 관찰된 연간 유량 성격을 범위로 단일 저장 용량에 대한 S-Y-R의 관계를 컴퓨터로 계산이 가능한 데에 큰 장점이 있다고 본다. 몇 가지의 다른 기술이 소개되어 있으나 많은 제약이 있어 새로운 효율적인 통합기술로 보인다.

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16 환경 모델링의 범위 및 목적 환경질 모델링의 범위 현상 - 인간과 관계있는 현상, 지구환경과 관계있는 현상
현상 - 인간과 관계있는 현상, 지구환경과 관계있는 현상 자연현상 - 기후변화 (기후예측모형) 인문, 사회 현상 - 선거결과 예측 (통계모형) 모형 (Model) : 관심있는 혹은 해석하려는 현상을 서술(설명, 나타낸)한 것. 함축적으로, 요약해서, 논리적으로, 자세하게, 한눈에 볼 수 있게 설명하는 것. 대상 : 현상을 해석하거나 이해하기 어려운 대상

17 환경 모델링의 범위 및 목적 수학적 모형 - 전산 모형 - 하드웨어, 소프트웨어 - 정보사회
수학식으로 표현하여 미분방정식을 해석하여 예측함. 1) 현상을 논리적으로 해석 정리 - 물리, 화학, 생물학적 이론 적용. 인문사회현상 - 인문사회적인 기본 이론 적용 Universal Conservation Rule (범용적 보전 법칙) 질량 보전 법칙 - Mass Balance - Mass Transport Equation - Water, Mass 힘 평형 법칙 - Force Balance - Equation of Motion 에너지 평형 - Energy Balace - Energy Equation 열 평형 - Thermal Balance

18 환경 모델링의 범위 및 목적 2) 수식으로 표현 - 지배방정식으로 나타냄 - 편미분방정식 3) 관련된 파라미터 분석
4) 전체 시스템 해석 - 미분방정식의 해를 구함 - 손으로 계산하거나 - 해석해(엄밀해) 컴퓨터로 계산함 - 수치해 (전산모형) 실험적 모형 - 실험을 통해서 해석 혹은 예측함. 모델링 : 모형을 이용하여 해석, 설계하는 과정

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20 3차원 물질방정식

21 3차원 물질방정식 위의 그림은 격자모형에서의 물질평형을 나타낸다. 이 중 각 요소를 설명해 보면, ․ 생화학적 반응 :
․ source or sink : ± S 위의 조건을 따를 때, 물질평형식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. In flux - Out flux ± Reaction ± Source = Internal Increment Rate 이 때의 물의 흐름을 나타내면 다음과 같다. In flux - Out flux ± Source (Percipication) = I.I.R

22 3차원 물질방정식 일반적인 삼차원 물질이동식은 다음과 같다. applying the rule of mass balance
devide by &

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24 다음 호수에 대하여 물평형 관계로부터 물수지식을 유도하라.

25 다음 호수에 대하여 물평형 관계로부터 물수지식을 유도하라.
∆저장량 = ∑유입 흐름량 +지하수의 유입량 - ∑유출 흐름량 - 지하수의 유출량 + 직접적인 강우량 - 증발량 포괄적인 물수지는 다음의 차분식으로 표현된다. 여기서, = 유량, m3 d-1 = precipitation rate, m d-1 = 강우강도, m d-1 = surface area of water body, m2 = 물의 표면적, m2 E = evaporation rate, m d-1 E = 증발량, m d-1 = time increment, days = 시간 간격, days = change in storage volume, m3 = 저류 부피의 변화 , m3

26 다음 호수에 대하여 물평형 관계로부터 물수지식을 유도하라.
물에 대한 물질 수지식을 세우지 않고는 관심의 대상이 되는 수중 화학종에 대한 정확한 물질 수지식을 얻는 것은 불가능하다. 호수는 다수의 물이 유입과 유출을 반복하는 보존물질로 간주될 수 있다. 물의 축적이란 ‘저장의 변화’라는 말이다. 만약 계가 온도의 변화가 없다면 저장량은 유입과 유출부피에 의해 설명되어진다. ∆저장량 = ∑유입 흐름량 - ∑유출 흐름량 + 직접적인 강유량 - 증발량 유입량은 지류와 육상 흐름의 부피유입을 포함한다. 유출량은 수체로부터의 모든 방출을 뜻한다. 직접적인 강우량은 표면으로부터 바로 떨어지는 물을 말하고, 증발은 수체의 표면에서 대기로 나가는 물의 물의 부피를 말한다. ∆저장량은 호수 또는 강에서 높이 또는 유역의 범위 변화로 측정이 가능하다.

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28 모형의 보정 및 검증은 무엇인가? 그 차이점은? 수중 화학물질의 수학적 모델링의 과정은
① 실세계에서의 문제를 파악한다. 그 문제에 영향을 주는 중요한 요인들을 관찰한다. ② 수학적 모델을 설정한다. 요인의 관계를 분석하고, 그 관계를 수학적으로 해석하여 그 현상에 대한 수학적 모델을 세운다. (예를들어 방정식, 그래프, 도형 등.) ③ 수학적 모델의 결과(모델에서의 해)를 구한다. 그 모델 내어서 수학적으로 문제를 분석하여 결과를 얻는다. ④ 결론 추측 및 판단, 본 현상의 상황에 비추어 수학적 결과를 재해석함으로써 최종결론을 얻는다.

29 모형의 보정 및 검증은 무엇인가? 그 차이점은? 모델은 현장에서 얻은 자료와 실험실에서 얻은 실험 결과를 조화시킨 수치를 모델의 매개변수에 대입시켜 외부적인 입력에 의 한 계(System)의 다양한 반응을 얻어내는 이론적 구조로써 모델의 보정이 필요하다. 모델의 보정은 일련의 현장자료를 가지고 모델을 시험하는 첫 번째 단계이며 이론적으로 매개변수와 입력 구성요건의 타당성을 시험한다. 이후 모델에 대한 검증이 요구되며 모델의 유효성을 입증하기 위하여 여러 가지 외적 조건 하에서 여러 현장의 자료를 이용하여 보증된 모델의 유효성을 지속적으로 시험한다. 즉 현장 데이터 없이 모델의 보정과 검정은 불가능하다. 모델의 궁극적 사용목적에 따라 현장조사의 양도 변한다. 만약 모델이 규제 목적으로 사용된다면 모델 결과에 확신을 가질 수 있도록 충분한 현장데이터가 필요하다. 종종 이런 경우에 어느 정도 다른 환경 하에서 나온 두 가지의 현장 측정이 필요한데, 하나는 모델의 보정을 위해, 또 하나는 검정을 위해서 필요하다.

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31 보정기법의 예로서 하천오염현상을 해석하기 위한 물질이동식을 기술하고 생화학적 반응식에 관련된 파라미터를 추정하기 위한 BOD 분해능 계수의 추정 기법을 실험실의 실험치 및 현지 조사 결과를 바탕으로 수행하는 방법을 기술하라. (선형회귀분석에 대한 구체적인 수학적 기술 필요.)     생화학적 반응항에 Streeter-Phelps 모형에서 다루고 있는 BOD의 변환과 이에 따른 DO 변화를 고려해서 비보전성 물질에 대한 모델링 가능성을 검토하였다. BOD 항목에 대한 반응식은 다음과 같다. (3-64) (BOD 분해) (고형 BOD 침전) 여기서, = BOD의 반응속도 = 총 BOD 농도 (mg/L) = 탈산소(BOD 분해능) 계수 (mg/L) = 깊이 (m) = 유기물 침전 속도 (m/day) = BOD 용존분율

32 2) 용존산소 (Dissolved Oxygen)
보정기법의 예로서 하천오염현상을 해석하기 위한 물질이동식을 기술하고 생화학적 반응식에 관련된 파라미터를 추정하기 위한 BOD 분해능 계수의 추정 기법을 실험실의 실험치 및 현지 조사 결과를 바탕으로 수행하는 방법을 기술하라. (선형회귀분석에 대한 구체적인 수학적 기술 필요.)   따라서, , 로 간단히 할 수 있다. 위 식은 앞절의 <그림 3-5>에 나타나 있으며 BOD 변화에 관련된 여러 과정중에서 BOD분해과정(유기물 산화과정)과 고형 BOD물질의 침전과정을 나타내고 있다. 2) 용존산소 (Dissolved Oxygen) DO에 대한 반응식도 BOD와 마찬가지로 <그림 3-5>에 나타나 있다. 그림에 나타난 DO의 변환과정중에서 이 모형에 적용된 DO의 변환과정은 재폭기과정, BOD의 산화에 의한 DO 소비과정이며 반응식은 다음과 같다. (DO 재폭기) (BOD 산화) (퇴적물 DO 소비)

33 (3-65) 여기서, = DO의 반응속도 = DO 농도 (mg/L) = 포화 DO 농도 (mg/L)
보정기법의 예로서 하천오염현상을 해석하기 위한 물질이동식을 기술하고 생화학적 반응식에 관련된 파라미터를 추정하기 위한 BOD 분해능 계수의 추정 기법을 실험실의 실험치 및 현지 조사 결과를 바탕으로 수행하는 방법을 기술하라. (선형회귀분석에 대한 구체적인 수학적 기술 필요.) (3-65) 여기서, = DO의 반응속도 = DO 농도 (mg/L) = 포화 DO 농도 (mg/L) = 침전물 산소요구량 (g/m2/day) = 재포기 계수 (1/day) 따라서, 반응계수는 이고, 은 부하항 가 된다.

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35 FICK의 확산법칙을 설명하라. Fick의 법칙은 확산 flux에 대한 법칙입니다. 재료과학개론 책이나 금속상변태 책에서 쉽게 찾을 수 있습니다. Fick의 법칙을 유도하는 방법은 D.A. Porter의 Phase Transformations in Metals and Alloys (한글판 금속상변태)에 자세히 나와있습니다. 간략히 설명하면, 확산이란 기체분자나 원자, 고체/액체 상태를 구성하는 원자가 화학포텐셜(chemical potential)차이에 의해 화학포텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 구성입자가 이동하는 현상을 말합니다. 그런데 대부분의 경우, 화학포텐셜은 농도에 비례합니다. 즉, 대부분의 경우에는 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산을 하게 된다는 것입니다. 이러한 경우에, 농도구배(단위길이당 농도의 변화)에 따른 확산 flux를 예상하는 법칙이 Fick의 법칙입니다.

36 FICK의 확산법칙을 설명하라 1차원인 경우, 제 1법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
J는 단위시간당 단위 면적을 지나는 원자의 수를 나타내는 Flux이고, D_B는 B 원자의 확산계수, C는 농도 x는 방향, dC/dx는 x방향으로의 농도 변화율을 나타냅니다. 이 식은 정상상태의 경우에만 적용할 수 있습니다. (정상상태란 시간에 따른 농도의 변화율 dC/dt=0인 상태를 말합니다). 이 식으로부터 정상상태에서 flux는 일정하게 유지되고, 이 때 확산은 농도구배(농도차)가 클수록 잘 일어나며 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산이 일어난다는 것을 알 수 있습니다.

37 FICK의 확산법칙을 설명하라 제 2법칙은 비정상상태(시간에 따라 농도가 변화하는 경우 dC/dt값이 0이 아닌경우)의 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙입니다.

38 FICK의 확산법칙을 설명하라 J_B값은 Fick의 제1법칙과 같이 표현되는데, 확산계수 D가 농도에 상관없이 일정한경우
위식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

39 FICK의 확산법칙을 설명하라 이 식의 의미는, 농도의 2차미분항이 양의 값을 가지는 경우에 그 위치에서는 시간에 따라 B원자의 농도가 높아짐을 의미합니다. (반대로 음의 값을 가지는 경우에는 시간에 따라 감소). 즉, 위치에 따른 농도를 그래프로 나타내었을 때, 위로 볼록한 부분(2차미분값이 0보다 작다)은 시간이 지남에 따라 농도가 감소하고, 아래로 볼록한 부분(2차미분값이 0보다 크다)은 시간이 지남에 따라 농도가 증가하여 전체적으로 농도가 일정하게 됨을 알 수 있습니다.

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41 수리학적 분산계수를 다상이론으로부터 유도하고 분자확산계수를 포함하는 분산계수를 설명하라.
확산계수 (diffusion coefficient) 단위면적을 통과하는 물질의 유속과 농도 기울기 사이의 비례상수. 확산계수는 Arrhenius형태의 식을 따르면 온도에 크게 의존한다. 확산계수는 고체상태에서 원자나 이온의 이동이 얼마나 용이하게 진행하는가를 나타낸다.

42 수리학적 분산계수를 다상이론으로부터 유도하고 분자확산계수를 포함하는 분산계수를 설명하라.
확산작용이란 공간적인 화학 성분의 농도 차이, 혹은 깁스 자유에너지 차이에 의해서 발생하는 작용을 말하며 이는 농도의 차이를 줄이는 방향 또는 local system의 자유에너지가 줄어드는 방향으로 일어난다.

43 11번

44 평면 오염원으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산에 대한 오염된 퇴적물의 fick의 제 2법칙을 풀어라.
제 2법칙은 비정상상태(시간에 따라 농도가 변화하는 경우 dC/dt값이 0이 아닌경우)의 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙입니다.

45 평면 오염원으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산에 대한 오염된 퇴적물의 fick의 제 2법칙을 풀어라.
J_B값은 Fick의 제1법칙과 같이 표현되는데, 확산계수 D가 농도에 상관없이 일정한경우 위식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

46 평면 오염원으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산에 대한 오염된 퇴적물의 fick의 제 2법칙을 풀어라.
이 식의 의미는, 농도의 2차미분항이 양의 값을 가지는 경우에 그 위치에서는 시간에 따라 B원자의 농도가 높아짐을 의미합니다. (반대로 음의 값을 가지는 경우에는 시간에 따라 감소). 즉, 위치에 따른 농도를 그래프로 나타내었을 때, 위로 볼록한 부분(2차미분값이 0보다 작다)은 시간이 지남에 따라 농도가 감소하고, 아래로 볼록한 부분(2차미분값이 0보다 크다)은 시간이 지남에 따라 농도가 증가하여 전체적으로 농도가 일정하게 됨을 알 수 있습니다.

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48 물질이동식을 해석하기 위한 BOX모형을 설명하라.
dx, dy, dz를 검사체적이라 하고 각 축 방향으로 그림에 단위면적당의 질량이 유입또는 유출된다고 가정한다.

49 x 방향의 이들의 차는 다음과 같다. y 방향의 이들의 차는 다음과 같다. z 방향의 이들의 차는 다음과 같다. 또한 정류이며 비압축성 유체의 흐름이면 다음과 같다. 3차원 연속정식에서의 1차원 부정류의 연속방정식은 다음과 같다.

50 운동방정식 단위 질량에 작용하는 질량력의 x,y,z 방향의 성분을 각각 X,Y,Z라고 하고 dydz평면에 작용하는 xqkdgid의 정압력을 p라 하면 dx만큼 떨어진 면에서는 반대방향으로 가 작용한다.

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52 속도 u=u(x,y,z,t)이며, 전미분으로부터
윗 식의 양변을 dt로 나누어서 다음 식을 유도하고, , , ,   Newton의 제 2의 법칙으로부터 다음 공식을 유도 할 수 있다. ∴

53 식을 조합하면

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55 CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor
호수내 질량 변화  유입 질량  유출 질량  호수내 질량 반응=-±      이것은 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

56 CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor
= 호수와 유출류의 화학물 농도, ML-3 = 유입유량, L3T-1 = 유출유량, L3T-1 = 호수의 체적, L3 = 반응율, ML-3L-1; 양성(+)과 음성(-)은 각각 형성반응과 감소반응을 지칭한다. = 시간, T

57 CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor
가Δt가 0으로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같다. (62) 호수의 체적 , 유량 및 , 그리고 유입농도 는 시간에 따라 변하는 변수가 될 수 있다. 완전혼합 가정에 덧붙여, 방정식을 더욱 단순화하기 위하여 가정들을 만들 수 있을 것이다:

58 CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor
1. 유입농도 는 일정하다. 2. 호수의 유입 유출 유량은 일정하고( = = = 상수), 호수의 체적 도 일정하다. ( ). 3. 호수내에서 일어나는 농도 C의 변화율은 1차반응에 의해 지배된다( ; 음성(-)기호는 감소반응을 표시한다). 이 모든 가정들을 종합하면 식 (62)는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

59 CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor
식 (63)는 완전 혼합계에 대한 일반적인 1차 감소반응 방정식이다. 예를 들면, 화학물의 배출이 비교적 짧은 기간동안 일어났다면, 호수내 화학물 누출에 의한 변화는 충격(또는 델타) 함수를 이용하여 수식화될 수 있을 것이다. 충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우, 식(63)은 다음과 같이 줄어든다.

60 플러그 유동 시스템(PFR) 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 5에 예제로서 강을 사용하여 나타내었다. 본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르고(플러그처럼), 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것이다. 이것은 일차원 모형이다. 물질수지는 증가 체적 V를 중심으로 다음과 같이 주어진다.

61 플러그 유동 시스템(PFR) 여기서, = 단면적, = 하천의 유한 증가 두께, = 시간간격, = 1차 감소율,

62 플러그 유동 시스템(PFR)

63 확산을 가지는 플러그 유동 하구의 예를 이용하여 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 6에 나타내었다. 플러그 유동 모형에서 기술했던 것처럼, 물질수지는 유한 체적이 아닌 기본적 검사 체적에 대해서 기술되었다.

64 확산을 가지는 플러그 유동

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66 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.
호수내 질량 변화  유입 질량  유출 질량  호수내 질량 반응=-±      이것은 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

67 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.
여기서 = 유입류의 화학물 농도, ML-3 = 호수와 유출류의 화학물 농도, ML-3 = 유입유량, L3T-1 = 유출유량, L3T-1 = 호수의 체적, L3 = 반응율, ML-3L-1; 양성(+)과 음성(-)은 각각 형성반응과 감소반응을 지칭한다. = 시간, T

68 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.
완전혼합 가정에 덧붙여, 방정식을 더욱 단순화하기 위하여 가정들을 만들 수 있을 것이다:   1. 유입농도 는 일정하다. 2. 호수의 유입 유출 유량은 일정하고( = = = 상수), 호수의 체적 도 일정하다. ( ). 3. 호수내에서 일어나는 농도 C의 변화율은 1차반응에 의해 지배된다( ; 음성(-)기호는 감소반응을 표시한다).

69 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.
식 (63)는 완전 혼합계에 대한 일반적인 1차 감소반응 방정식이다. 예를 들면, 화학물의 배출이 비교적 짧은 기간동안 일어났다면, 호수내 화학물 누출에 의한 변화는 충격(또는 델타) 함수를 이용하여 수식화될 수 있을 것이다. 충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우, 식(63)은 다음과 같이 줄어든다.

70 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.

71 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.

72 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.
A= 단면적

73 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라.
에서 인 경계조건으로, 식(93)을 변수분리법으로 적분하면 다음과 같은 식이 산출된다.

74 15번

75 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라
물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라.   유한차분법(FDM) 은 편미분방정식을 위한 대체 방법이다. 유한요소법(FEM)과 유한차분법(FDM)의 차이는 : • 유한차분법은 미분방정식에 대해 근사화한다 ; 유한요소법은 미분방정식의 해법에 대해 근사화한다 • 유한요소법의 가장 매력적인 특징은 복잡한 도형들(그리고 조건들)을 비교적 쉽게 다루는 능력이다. 반면에 유한차분법은 그것의 기본 형식에서 직사각형 모양들과 단순한 교차물(alterations)들을 다루는 것만으로 제한된다. 그러한 이유때문에, 유한요소법에서 도형들을 다루는 것은 이론적으로 간단하다. • 유한차분법의 가장 매력적인 특징은 사용하기 쉽다는 것이다.

76 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라
물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라. 해의 존재성과 유일성의 증명 우리는 이 (0,1)이 x = 0와 x = 1에서 0 인 절대연속함수라고 정의할 수 있다. 그와 같은 함수는 1회만 미분가능하며 대칭구조인 양선형함수로 볼 수 있다.() 내적을 실시하면 는 Hilbert space로 변경할 수 있다. (자명하다.) 반대로 좌항 역시 내적이며 이경우Lp space L2(0,1)에 존재한다. Riesz representation theorem을 Hilbert 공간에 적용시키면 P1에 대한 유일해u를 얻을 수 있다. P2의 변분법 만약 Green's theorem을 사용하여 부분적분을 실시하면, 어떠한 v에 대해서라도 P2는 u라는 해를 가짐을 알 수 있을 것이다. 는 gradient를 의미하고 는 2차원공간에서의 외적을 의미한다. 는 적당한 공간 에서 내적할 수 있고 Ω의 1차미분함수값은 0이된다.. 여기서 라고 가정하였다. 공간은 절대연속함수로 더이상 정의될 수 없게 된다.(Sobolev space를 참조.) 그러므로 존재성과 유일성이 증명되었다.

77 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라
물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라. 여기서는 유한요소법을 2개의 샘플문제를 가지고 나타내도록 하겠다. 이글을 읽는 사람이 미적분학, 선형대수에 익숙하다는 것을 가정하고 기술적 논의를 진행할 것이다. 1차식을 살펴보면 f는 주어진 값이고 u는 x의 미지함수이다. u''는 x에 대한 u의 2차 미분식이다. 2차식은 Dirichlet problem이라고도 한다. Ω는 (x,y) 평면에 연결되어 있고 경계부는 괜찮게표현되어 있다. uxx와 uyy는 각각 x와 y에 대한 2차 미분을 나타낸다. P1문제는 부정적분을 계산하여 직접결과를 얻을 수 있으나 경계조건문제를 풀기위해 부정적분이 통용되는 경우는 고차원문제로 바뀌지 않는 경우에만 해당된다. 이러한 이유로 인해 P1에서의 유한요소법을 정의하고 그것을 통해 P2의 유한요소법을 정의하겠다. 2개의 단계를 거쳐 설명을 하게 될 것인데, 경계조건문제(Boundary Value Problem:BVP)를 FEM을 사용하여 해결하도록 하겠다. 첫번째 단계에서는 기존 BVP를 변분법형태로 바꾼다. 이 단계에서는 계산이 거의 필요없으며 변환형은 수작업도 가능하다. 두번째 단계는 미분화이다. 두번째 단계까지 거치고 나면 유한한 범위를 지니는 선형문제를 도출할 수 있고 컴퓨터 계산을 통해 대략적인 값을 알 수 있을 것이다.