환경공학과 20051500 정도호 1. 하천에서의 오염현상을 해석하기 위한 지배방정식과 생화학적 반응에 관계된 파라미터를 실험실 및 현장에서의 자료를 바탕으로 추정하기 위한 통계적인 기법을 설명하라.

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1 환경공학과 정도호 1. 하천에서의 오염현상을 해석하기 위한 지배방정식과 생화학적 반응에 관계된 파라미터를 실험실 및 현장에서의 자료를 바탕으로 추정하기 위한 통계적인 기법을 설명하라.

2 지배방정식 공학 및 물리학 등 거의 모든 과학기술 분야에서 당면하게 되는 여러 복잡한 물리적인 현상들을 수학적 모형으로 바꾸어, 이 모형에 자연법칙을 적용함으로서 수학적 모델을 공식화하는데 이를 지배방정식이라 한다. 이러한 지배방정식은 대부분 복잡한 형태의 편미분방정식(PDE) 이다. 따라서, 우리가 필요로 하는 해를 구하기 위해서는 행렬식으로 표현되며 연립방정식 형태인 대수방정식(algebraic equation)으로 이를 변환시킬 필요가 있다. 이를 이산화(discretization)과정이라 한다.

3 지배방정식. 유한차분법(finite difference method, FDM), 유한체적법(finite volume method, FVM), 유한요소법(finite element method, FEM), 경계요소법(boundary element method, BEM), 그리고 유한해석법(finite alalytical method, FAM) 등을 이용한다.

4 지배방정식 . 다음과 같은 용존산소에 대한 물질이동식을 고려한다.
ka는 재폭기속도 상수(T-1), Cs 는 포화용존산소농도(ML-3), kd는 CBOD 탈산소속도상수(T-1), kn는 NBOD 탈산소속도상수(T-1), L(x)는 CBOD 농도(ML-3), N(x)는 NBOD 농도(ML-3), P(x,t)는 일차생산속도 (ML-3T-1), R(x)는 식물의 호흡작용(ML-3T-1), S(x)는 침전물산소요구량(ML-2T-1), H (L) 는 평균 수심이다.

5 지배방정식 . 물질이동식은 일차생산에 대한 함수를 필요로 한다. 광합성에 의한 산소생성속도 P(t)는 반주기 sine 곡선으로 표현된다. 하루 이상의 기간에 대하여 일차생산의 주기함수를 확장하기 위하여, Fourier급수를 사용함. n는 cycle number이다.

6 지배방정식. 산소농도의 주간변화량도 지배방정식이 편미분방정식이기 때문에 Fourier 급수를 이용하여 다음과 같이 표현된다. T는 반주기(0.5일)이다.

7 통계적 기법 대사모델을 구성하기 위해서는 모델의 형상화 단계, 모델링, 단순화 가정이 필요하며 반응속도에 영향을 미치는 주요 요소에 대한 이 해와 측정자료가 요구된다. 기본적인 형상화 작업은 먼저 대사 시스템을 단위 구획으로 나눈 다음 대사물질들의 화학적 변화 및 시스템에서의 이동 등을 개념적으로 정리하는 것이다. 이 단계에서는 대사물질의 양이 많다고 가정하고 가능성이 낮은 미세 변화를 무시하면 대사과정은 농도를 변수로 하는 시스템으로 형상화 할 수 있다. 형상화 작업이 끝나면 일반적인 모델링 방법으로 모델식을 만든다.

8 통계적 기법. 구획이 정해진 시스템 안에서 질량 보존 법칙과 에너지 보존과 같은 물리 법칙을 적용하고, 이 를 바탕으로 제공된 기질과 산물간의 양적관계의 변화를 계산하기 위한 일련의 양론식을 유도한다. 공식에 필요한 대사속도의 변수와 대사물질의 변수가 정해지면 일반적인 모델링이 이루어진다. 모델을 세밀하게 표기하기 위하여 유도된 양론식에서 대사속도는 대사물질 의 농도로 표현되는 시스템 변수로 표시한다.

9 통계적 기법. 모델링의 가장 중요한 요 소는 세포 내의 시스템에서 측정된 자료이며, 특히 복잡한 대사모델은 실제 세포 내에서 측 정된 자료를 통해서 검증이 가능하다. 생물학 적 시스템에서 실제적인 자료를 측정하기 위 하여 대사속도 분석(MFA), 급속시료채취(rapid sampling), 프로테옴 분석 및 DNA 칩 등의 기술이 연구 중에 있다.

10 통계적 기법과 검증. 모델의 검증은 모델링에 있어 가장 어려운 단계로, 개발된 모델이 적용하고자 하는 범위 안에서 모든 실험결과를 예측할 수 있어야 하기 때문에 수학적으로 정확히 검증하기는 어렵다. 그러나 실험계획 및 자료 분석과정에 통계적인 분석개념을 도입함으로써 모델 검증의 오류를 극복할 수 있다. 모델에서 요구하는 정확도가 낮으면 정성적인 모델 검증방식을 사 용하게 되는데, 이때는 시스템의 안정성, 예측 된 결과와의 차이와 변동 폭 등을 모델이 실제 시스템에 어느 정도만 유사하게 예측해도 충분하다.

11 2. Streeter-Phelps 모형을 물질평형 및 BOD, DO의 상호반응관계로부터 유도하고, 본 모형에 있어서 상미분방정식의 해를 구하기 위한 적분인자법에 대하여 설명하라. 본 모형에 있어서 임계용조산소결핍 농도 및 임계거리에 대한 식을 유도하라.

12 서론 1925년에, Streeter and Phelps는 오하이오강의 용존산소 “sag curve”에 관한 근본적인 연구를 발표하였다. 그들은 용존성 유기물의 생화학적 산소 요구량(BOD)의 분해 때문에 하류방향의 거리에 따라 용존 산소가 감소한다는 것을 설명할 수 있었으며, 그 현상을 설명하기 위하여 이후에 Streeter-Phelps 식으로 잘 알려진, 수학적인 식을 제안하였다.

13 유도식. 탄소성 산소요구량의 산화는 비록 BOD 농도뿐만 아니라 산소 농도에 의존한다는 연구가 있었지만, 보통 1차 반응으로 기술된다. 일정한 속도의 하천과 정상상태 조건에 대하여, 방정식을 적용할 수 있으며, 1차 감소 반응으로 다시 쓰면 아래와 같다.

14 유도식. 용존 산소의 경우에, 직접 물질수지식으로 표현이 가능하다.

15 유도식. 위의 식의 우변의 두 개 항은 하천에 있어서 서로 반대되는 과정,탄소성 BOD로 인한 탈산소율과 재포기율을 나타낸다. Cs - C는 공기-물상의 경계면에서 대기 산소로부터 수체를 재폭기하기 위한 농도 추진력이다.

16 유도식. Streeter-Phelps 식을 재현하기 위하여, 위의 식 두개의 연립해가 필요하다. 상미분 방정식으로 되어있지만, 거리에 따라 BOD 농도 (L)에 대해 직접 풀 수 있고, L의 식을 대입할 수 있기 때문에, 두 식은 분리되어 있다.

17 유도식. 대입하면, 변수분리법이나 적분인자법으로 D.O. 의 부족량을 구할 수 있다.

18 유도식. 앞 슬라이드를 이어 다음과 같이 나타난다.
종속변수(D)를 포함하는 모든 항은 좌변으로, 부하함수는 우변으로 재배열할 수 있다.

19 유도식. 적분인자법을 이용하면, 식은 다음의 형태이다. 0과 간격에 대하여 해를 구하면,

20 3. QUALKO 모형의 원리, 수치해석방법, 파라미터, 입력자료 등을 설명하고 프로그램을 예제문제를 이용하여 운영한 다음 결과를 분석하라.

21 QUALKO QUALKO 모델은 공 등이 QUAL2E 모델에 WASP5모델의 장점을 접목하여 개발한 것으로, bottle BOD의 반응기작, 조류활동에 의한 유기물 증가, 탈질화 반응 등 하천의 정체수역에서 일어나는 생물학적 반응을 반영한 수질모형이다. 즉QUAL2E모델에 조류 생산 및 사멸에 의하여 내부생산 유기물이 증가하는 것을 반영하고, 조류의 사멸과 호흡에 따른 인과 질소의 배출을 세분화한 bottle BOD개념이다.

22 QUALKO QUAL2E모델에서 제한된 오염원의 수, 하천 구간의 수, 사류경계조건, 계산요소 등이 확장되어 대형하천이나 지류가 많은 하천에도 적용할 수 있다. QUALKO 모델은 조류의 증식 및 사멸에 의한 내부 생산 유기물의 증가를 반영한 bottle BOD개념이다. 즉 하천에서 조류가 유기물을 분해하여 번식하며 과잉 번식된 조류는 사멸한다. 이와 같이 조류의 증식과 사멸이 반복됨에 따라 수체의 유기물이 증가하기 때문에 조류의 개체수도 증가하게 된다.

23 QUALKO 그리고 조류의 소실을 호흡과 사멸로 분리하여 수체내 호흡에 의한 산소소모와 CBOD증가를 고려하고, 조류 소실에 ekFMS 질소와 인의 배출형태를 유기태와 무기태로 구분하였으며, bottle BOD개념을 추가하였다. 또한 WASP5 모델에서는 실내에서 측정한 CBOD, Org-N 및 Org-P 농도에서 조류기인성 CBOD 및 조류에 포함되어 있는 Org-N 및 Org-P 함량을 빼고 입력하지만, QUALKO 모델에서는 비생물성 물질과 생물성 물질이 내부적으로 구분되어 모의된다.

24 QUALKO 그림

25 QUALKO 모델의 적용 경계조건 입력자료 - 상수원요소, 취수장, 농업취수, 지류하천, 하수 처리장의 유량 및 수질은 실측치를 사용하였다. 점 오염원으로 산출된 유역의 오염 부하량을 모델에 적용하여 입력 자료의 유량 및 수질을 나타내었다.

26 QUALKO 모델의 적용.

27 QUALKO 모델의 적용 QUALKO 모델의 보정
년 6월의 수질자료를 평균하여 모델에 적용, 보정하였으며 보정한 수질항목은 DO, BOD, T-N, T-P 및 Chl-a 등 총 5개 항목이다. 다음그림은 모델에 적용하여 산출한 결과를 예로 나타낸 그림이다.

28 QUALKO 모델의 적용 DO 적용

29 QUALKO 모델의 적용 BOD 적용

30 4. QULA2E, QUAL2E-PLUS, QUAL2K, QUALKO 모형의 장단점을 비교 분석하라.

31 QUAL2E QUAL2E 모델은 미국 EPA에서 QUAL-Ⅰ 모델에 예측수질항목을 추가하여 발전시킨 QUAL-Ⅱ 모델을 PC에서 사용가능하도록 만든 것. 이 모델은 이전의 모델에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계, 온도보정계수, 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3가지의 보존성 물질, 입․출력 방법개량 등을 보완시킨 1차원 수질 예측 모델로서 1차원 정상상태는 물론이고 가동적상태 에서도 예측할 수 있다.

32 QUAL2E 우리나라 한강종합개발사업 등에 적용된 바 있다. 이 모형은 여러 개의 부프로그램(subrutine)으로 구성되었으며 입력자료의 검사와 수정이 용이하고 출력결과에 대한 분석도 간편하다. 하천의 구조가 다른 많은 하천에 적용할 수 있도록 구성되어 있으며 DO, BOD, 수온, Algae의 엽록소-a, NH3-N, NO2-N, NO3-N, P, 대장균, 비보존성 물질 1종, 보존성 물질 3종 등 13종류의 수질인자를 동시에 고려할 수 있는 특징을 갖고 있다.

33 QUAL2e 모의가 가능한 수질 항목

34 qual2e QUAL2E Model의 수질모의 항목 및 상호관계

35 Qual2e- plus QUAL2E 프로그램을 보완하여 만들어진 것이 QUAL2E-PLUS이다.
이 모델은 이전의 모델에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계, 온도보정계수, 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3가지의 보존성 물질, 입․출력방법개량 등을 보완시킨 1차원 하천수질 예측 모델로서 1차원 정상상태(Stedy state)는 물론이고 가동적상태(Dynamic state)에서도 예측할 수 있다.

36 Qual2e - plus 모델에 적용 가능한 대구간(Reach)은 최대 50개 이며 대구간당 소구간(element)수는 20를 넘을 수 없고 소구간은 총 500개를 초과할 수 없다. 또한 합류점 소구간(Junction element)은 9개까지, 수원 소구간(Headwater element)은 10개까지, 점오염원 유입소구간(Input element)과 취수 소구간(Withdrawl element)은 50개까지 사용이 가능하다.

37 Qual2e - plus QUAL2E-PLUS는 기존 QUAL2E 모형의 입력파일을 그대로 활용할 수 있는 장점과 함께, NET기반으로 입출력 구조를 크게 개선한 모형으로 국내에서는 이미 한국수자원공사가 금강 및 낙동강 유역에서의 검정, 보정과 시험적용과정을 걸쳐 수량과 수질을 고려한 저수지시스템 운영계획 수립 실무용으로 활용 주에 있다.

38 Qual2e - plus QUAL2E-PLUS 모델의 화면 구성

39 QUAL2E-PLUS 모의가 가능한 수질 항목

40 QUAL2K 2003년 QUAL2E의 단점을 보완하고, MS Windows환경에서 Excel VBA(Visual Basic for applications)를 이용하여 사용자가 보다 쉽게 사용할 수 있도록 프로그래밍된 모델 이전의 모델에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계, 온도보정계수, 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3가지의 보존성 물질, 입․출력 방법개량 등을 보완시킨 1차원 수질 예측 모델로서 1차원 정상상태는 물론이고 가동적상태 에서도 예측할 수 있다.

41 qual2k QUAL2E와 QUAL2K의 유사점
1차원 모델 : 자연하천의 흐름과 오염물 확산 이송현상을 흐름의 임의 단면에 대해서 완전히 혼합되었다고 가정한 1차원 모델 정상상태의 부등류 흐름으로 가정. 열수지 : 열수지와 수온은 일간 기상상태에 따라 모의함. 수질 반응역학 : 모든 수질 변수들은 일간 모의로 진행됨. 열과 물질의 입력자료 : 점오염원, 비점오염원, 취수원(abstraction)을 모의함.

42 QUAL2K QUAL2E와 QUAL2K의 차이점
Q2K : 수치계산은 Fortran90, Excel을 이용한 GUI(Graphic User Interface). 서로간 의 상호작용은 Office의 VBA를 이용하는 것으로 프로그래밍됨. 모델구간 : QUAL2E - 각 구간별 계산요소를 일정한 길이로 구성. QUAL2K :각 구간들이 일정하지 않고, 그 특성에 맞게 각각 다른 길 이로 모의 가능. 오염원이나 취수원이 하나의 구간에만 유 입되는 것이 아니라, 각각 다른 구간에서 다중으로 유입될 수 있도록 모의 가능.

43 QUAL2k CBOD를 두가지 형태로 사용 – sCBOD(천천히 산화), fCBOD(빠르게 산화)
유기고형물(detritus) 모의 : 탄소, 질소, 인으로 구성되어 있기 때문에 화학양론비를 적용하여 모의 무산소 상태에서 일어나는 탈질화 반응 모의 용존산소와 영양염류의 퇴적층-수체 흐름(flux) : 입자성 유기물의 침전, 퇴적층의 반응 그리고, 수체에서 용존된 농도의 상관관계를 이용하여 모 의. 또한 부착 조류를 고려하여 모의.

44 qual2k 조류, 유기성 고형물 그리고 무기성 고형물 등은 빛 소멸(extinction)의 영향을 고려하여 계산
pH : 알칼리도와 총 무기탄소를 고려하여 모의 병원균 : 병원균 소멸은 수온, 빛, 침천의 상관관계를 이용하여 결정

45 QUALKO 기존의 QUAL2E Model(미국 EPA 개발)의 국내 적용성을 높인 모델로 Bottle BOD의 반응기작, 조류의 생산에 의한 유기물 증가, 탈질화 반응 등을 보완하여 오염원수, 하천구간수, 상류경계조건, 계산 요소 등을 확장하였다. 구조 및 특징. - 대상 수역을 구간(reach)로 나누고, 소구간 요소(element)로 나누어 계산하기 때문에 각각의 소구간은 완전 혼합형 반응조의 구조로 이루어지며, 국내의 BOD5 개념을 도입한 Bottle BOD 개념이 추가되었다.

46 qualko QUALKO Model의 수구간 구성요소
- 수원구간, 표준구간, 합류점상단, 합류점, 최하류부, 오염부하, 취수구간으로 분류된다. QUALKO 모델링 결과도식 - QUALKO시스템에서는 하천모델링의 결과를 조회하기 위해서는 하천이름, 수질 항목 그리고 원하는 월의 3가지의 조건을 입력하여야 한다. 그리고 원하는 검색 목록을 선택 후 확인을 하면 해당 검색하천이 보이면서 그래프가 나타나게 된다. 도형으로 검색을 원하는 경우도 사용자가 선택할 수 있도록 구성하였다.

47 qualko 하천 모델링 검색 조건

48 qualko 호소 모델링 검색 조건

49 5. 호수에서의 오염현상을 해석하기 위한 생태계 모형에 대하여 교과서 및 인터넷의 자료를 조사 분석하여 생태계 먹이 연쇄 관계를 중심으로 설명하라.

50 먹이사슬? 먹이사슬이란 영양단계가 하위에서부터 상위까지 먹고 먹히는 관계를 연결한 것이다. 우리가 쉽게 생각할 수 있는 예는, 초원의 풀 (1차 생산자)을 초식동물 (1차 소비자)이 뜯어먹고, 이를 잡아먹는 육식동물 (2차 소비자)이 있는 형태를 의미한다. 먹이사슬은 항상 고정된 상태가 아니라 계절이나 기후적인 변화, 외래종 유입 등등 다양한 원인에 의하여 그 구조가 변하게 된다. 먹이사슬이 복잡하게 얽혀있는 상태를 먹이망 (food web)이라고 칭한다.

51 먹이사슬? 먹이사슬과 먹이망의 차이는, 먹이사슬의 경우는 1차 생산자부터 최종 소비자까지 일렬로 연결된 상태를 의미하고, 먹이망은 먹이사슬이 2개 이상 교차할 경우 등 일렬이 아니라 여기저기로 분산되어 있는 형태를 의미한다. 먹이사슬은 피라미드 형태를 일반적으로 취하지만, 피라미드는 다양한 관점에서 만들 수 있으며, 우리가 잘 알고 있는 먹이사슬 피라미드 (개체수를 가지고 만듦) 역시 삼각형 모양이 아닌 경우도 있다.

52 먹이사슬? 우리가 먹이사슬 피라미드를 삼각형 모양이라고 생각하는 이유는 다음과 같은 두가지 이유 때문이다.
- 가장 일반적인 모형이며, 각 영양단계를 구성하는 생물들의 크기가 그리 틀리지 않는 경우가 많기 때문. - 먹이사슬 피라미드의 최초 모형이 초지에서 형성되었기 때문.

53 먹이사슬 이용의 예. 요즈음 생물조절(biomanipulation)이라는 것이 한참 각광받고 있다. 메리 파워와 그의 동료들이 1990년 과학잡지인 사이언스에 게재된 논문을 통해서 이 분야가 주목받기 시작하였으며 특히 수질 오염 부분에서는 이러한 것들이 많이 활용되고 있다. 수질 외에도 많은 생태 환경 분야에서 생물조절을 통한 환경 관리를 하고자 노력을 기울이고 있다. 간단히 말해서, 생물조절은 무언가 오염된 것이 있을 때 생물을 이용해서 오염을 줄이거나 하는 노력을 의미한다. 생물조절은 크게 ① top-down cascade나 ② bottom-up cascade (top-down과는 반대 개념) 두가지로 나눌 수 있다.

54 생물조절의 예 top-down의 경우는 우리나라 호수에서 매년 발생하는 녹조현상을 저감하기 위해서 이들을 먹는 물고기를 그 호수에 풀어 넣는 일을 예로 들 수 있다. 소위 초어나 백련어라고 불리우는 물고기들이 활용되고 있으며, 아직 연구의 여지가 많이 남아 있어 효율성에 대해서는 말하기 힘들다. 하지만 외국에서도 이러한 연구는 진행되고 있으며 실제로 우리나라에서 외래종이라고 문제 삼고 있는 틸라피아라는 물고기가 남조류를 먹기 때문에 남조류 조절 생물로 활용할 수 있다는 연구가 많이 진행되고 있다.

55 생물조절의 예 bottom-up의 경우는 호수나 하천, 바다 등에 유입되는 오염물질을 줄임으로써, 이를 이용하는 생물들의 수를 조절하는 방법을 의미한다. 매년 연안에서 발생하는 적조 현상을 조절하기 위해 황토를 뿌리고 있는데, 적조가 발생하기 직전에 큰 비가 와서 오염물질이 육지에서 바다로 이미 많이 빠져나갔을 경우에는 적조가 잘 발생하지 않거나 시간이 흐른 뒤에 발생하는 이유가 바로 이것 때문이다.

56 생태계 모델 생태계를 구성하고 있는 생물들 간의 생태학적 상호작용 그리고 해양 환경 변화를 고려하여 전반적인 생태계의 구조와 기능을 분석 하는 모델로 소프트웨어 생태계에 대한 고찰소프트웨어 생태계는 기본적으로 플랫폼과 이 위에서 새로운 가치를 추가하는 상생의유기적 네트워크로 구성된다. 해양생태계로 유입되는 화학물질의 총합적인 평가 및 관리를 위해서는 동 화합물의 해양환경중의 거동 및 운명, 생태계에의 영향, 관리방안에 따른 화학물질의 변화 예측 및 리스크 평가 등을 행할 필요가 있으며, 이를 위하는 화학물질에 대한 생태계 모델이 유용한 수단이 될 수 있다.

57 생태계 모형 대규모 호수 생태계의 이동 체제에 대한 도해

58 모형의 보증과 검증 절차 모형 보정 및 검증의 수용에 관한 적절한 표준은 연구 또는 수질관리에서모형의 사용에 의존하면서 우선적으로 결정되어야 한다. 모형의 결과/현장자료의 중앙 상대오차 10-20%는 수질모형에서는 일반적이다. 생태계 모형은 각 구획 내의 일련의 물질수지 방정식으로 구성되어 있다. 구획수는 사용 가능한 수질자료의 공간적 크기와 모형이 요구하는 해석능력에 따라 변할 것이다.

59 생태계 모형 생태계 모형의 구성도

60 생태계 모형. 네모상자는 상태변수를 나타낸다. 실선 화살표는 물질 유동이고 점선은 외부 에너지의 역할을 나타낸다.
모형은 식물성 플랑크톤의 성장률과 가수분해 및 식물성 플랑크톤, 동물성 플랑크톤 및 물고기의 사멸률에 근거한 선형 동역학(1차분해)에 대한 Michaelis-Trenton 증가식을 사용한다

61 6. WASP 및 MFEMWASP 모형의 원리, 수치해석방법, 파라미터, 입력자료 등을 설명하고 프로그램을 예제 문제를 이용하여 운영한 다음 결과를 분석하라.

62 WASP USEPA(U.S Environmental Protection Agency)에서 개발한 모델로 하천, 저수지, 하구, 해안 등 광범위한 수계에 적용 수 있어 수질예측과 관리에 널리 사용되고 있는 모델이며, 공간적 시간적 수질모의가 가능하다. Di Toro등에 의해서 1983년 처음으로 개발되었으며 1988년에는 WASP4로 발전하였고, 1993년 WASP5가 만들어지면서 하천, 호수, 하천의 하구 및 해안에서 광범위하게 적용되고 있다. 2001년에는 기존의 DOS 환경의 WASP5를 Window 환경에서 사용할 수 있도록 한 WASP6가 개발되었다.

63 WASP WASP5 모델은 자연현상과 인간의 활동으로 발생하는 다양한 오염물질에 대한 수질의 예측 및 해석이 가능하며, 수체와 저니층의 수질을 모의할 수 있는 유동구획모형이며 유동, 확산, 점오염원과 경계조건의 시간에 따른 변화를 고려할 수 있다. WASP5는 두 개의 독자적인 프로그램인 DYNHYD5와 WASP5로 이루어져 있으며 두 개의 프로그램을 연결하거나 분리해서 모의를 할 수 있다.

64 WASP WASP5는 다시 부영양화를 모의할 수 있는 EUTRO5와 독성물질 등 보존성 물질을 모의하는 TOXI5로 구성되어 있다. EUTRO5 모델에서 고려되는 수질인자는 총 모두 8개 항목으로 NH3-N, NO3-N, PO4-P, Chl-a, CBOD, DO, Organic-N, Organic-P 등으로 구성되어 있다. WASP5는 수체를 4개의 종류, 즉 표층(Epilimnion;1), 저층(Hypolimnion;2), 저니상층(Upper Benthic Layer;3), 저니하층(Lower Benthic Layer;4)으로 나누어 모의한다.

65 WASP 수체내의 수질항목에 대한 물질수지식은 확산, 유동, 생화학적 변환, 외부로부터의 부하 등이 고려되어진다. 3차원에 대한 물질수지식은 다음과 같다.

66 WASP

67 WASP

68 MFEMWASP MFEMWASP(Multidimensional FEMWASP) 모형은 성층화 현상을 해석할 수 있는 기능이 추가되었으며, 필요에 따라 1․2․3차원으로 선택하여 해석할 수 있는 3차원 모형으로 개발되었다. 3차원으로 해석할 수 있도록 개발된 FEMWASP 모형은 여러 기종의 컴퓨터에서 전산모형의 효용성 및 운반성을 증대하기 위하여, 프로그램의 구성은 다음과 같은 점을 고려하여 유한요소법을 채택하였으며, 프로그램의 구조를 고도로 모듈화하여 시스템간 이식성을 높였다.

69 MFEMWASP 프로그램 구성에 있어서, 알고리즘이 너무 복잡해 지면 계산시간이 매우 길어지게 되고, 상황이 다른 여러 문제에 대하여 프로그램을 적용하는 것이 어려워질 것이다. 따라서, 간단하고 효과적인 수치해석상의 논리가 필수적이다. 이러한 측면에서 유한요소법을 사용하면 지배방정식의 각 공간적 미분항에 대하여 적분을 수행하여, 각 항의 물질수지를 잘 유지할 수 있고, 격자점에 의한 공간적 표현을 전체의 편미분식으로부터 분리할 수 있어서, 지배방정식이 문제 상황에 따라 달라진다 하여도 프로그램을 크게 수정할 필요없이 적용할 수 있다.

70 MFEMWASP 근래에 이러한 범용적인 모형을 개발하기 위하여 유한체적법(Finite Volume Method) 등이 사용되기도 한다. 따라서, 파라미터만 조정하면 적용이 가능하도록 프로그램을 고도로 범용화할 수 있다. 이러한 점을 고려하여, 본 모형의 개발에 있어서 다음과 같이 프로그램의 구조를 고도로 모듈화하였다. ․입, 출력 모듈 ․공간 영역에 관련된 모듈 - 기저 및 가중함수를 위한 모듈 - 절점별 계수의 요소별 평가를 위한 모듈

71 MFEMWASP ․요소 행렬 계산 모듈 ․요소 행렬 조립 모듈 ․비선형 시스템 해석 모듈 ․계수 및 생성항의 구성식을 위한 모듈 ․경계유입농도 및 유출율을 위한 모듈

72 MFEMWASP 부영양화에 관련된 주요 8개 수질 항목의 이동 및 변환 방정식은 다음과 같다.
위의 식의 주 변수는 오염물의 농도이고, 파라미터는 유속, 확산계수, 생화학적반응계수, 생성원 등이다.

73 MFEMWASP 온도 변화에 관련된 지배방정식은 다음과 같다.
위의 식에서 주변수는 온도이고, 파라미터는 유속, 확산계수, 공기와의 온도교환을 해석하기 위한 공기의 온도, 온도 교환 계수, 밀도, 물의 비열, 온도의 부하원 등이다. 물질이동방정식과 온도전달방정식은 매우 흡사한 형태를 가진다. 따라서, 다음과 같이 반응계수 및 부하원을 대칭시키면, 물질이동식의 전산모형을 크게 수정하지 않고, 반응계수 및 부하원에 대한 부프로그램만 수정함으로서 온도 변화를 해석할 수 있다.

74 MFEMWASP 수질 모델링 결과 < DO >

75 MFEMWASP 수질 모델링 결과 < NO3 – N >

76 7. 교과서에 나타난 바와 같이 Monod식을 유도한 후, 그림등을 이용하여 설명한 후, Monod식의 적용 예(특히 지배방정식 포함)에 대하여 서술하라.

77 Monod 식의 서론 세포 배양시 비성장 속도와 기질 농도 간의 관계는 종종 포화 현상을 갖는 형태를 취하게 된다. 이 때 단 하나의 화학물질 S가 생장을 제한하는 것으로 사정할 때(즉, S의 증가는 생장 속도에 영향을 미치는 반면 다른 영양소들의 농도 변화는 영향을 미치지 않는다.) 이 반응과정은 효소반응 과정과 비슷하다. 세포를 다루는 시스템에 적용될 경우 이 반응과정은 Monod 식으로 설명될 수 있다.

78 Monod 식의 서론. μg = μmS / Ks + S
μnet = μg이다. 상수 Ks는 포화 상수 또는 반속도 상수로 알려져 있으며 비성장 속도가 최대값의 반이 될 때의 제한 기질의 농도와 같다. Monod 식은 반실험적이다. 이는 Michaelis-Menten 반응과정을 따르는 하나의 효소 시스템이 S의 섭취에 관여하고 해당 효소의 양 또는 활성이 생장을 제한할 정도로 충분히 낮다는 전제 조건으로부터 유도된다.

79 Monod 식의 유도. Monod식의 기본적인 표현은 다음과 같다.
또한, 미생물의 비성장속도는 Michaelis-Menten식으로 주어진다.

80 MONOD 식의 유도. 따라서 단위 시간당 미생물 성장률은 다음 식으로 표시된다.
미생물은 증식하면서 내호흡을 하게되며 내호흡율에 대해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

81 Monod 식의 유도. 따라서, 미생물의 내호흡 영향을 고려한 순미생물 성장율은 다음 식으로 표현된다.
유기물 제거율은 미생물 성장율과 상관관계로 식 2.20와 같이 나타내어진다.

82 Monod 식의 유도. 식 2.16을 식 2.20에 대입하면 식 2.21에 따르면 유기물 이용율과 유기물 농도간의 관계는 전유기물농도에 대해 연속적이며, 이를 Fig. 2.5에 나타내었다.

83 Monod 식의 유도.

84 Monod 식의 유도. 한편 Fig. 2.5에서와 같은 완전혼합 반응조에서 슬러지를 반송시키지 않은 경우의 물질수지식은 다음과 같이 표현된다. 반응조 내의 유기물 농도 변화가 정상상태에 있으면, 즉 ds/dt=0이면,

85 Monod 식의 유도. 식 2.23을 이용하여 동력학적 계수를 구하기 위해 선형방정식으로 고치면 식 2.24와 같이 된다.
한편, 슬러지를 반송하는 활성슬러지공법에서 고형물질 체류시간은 다음과 같이 표현된다.

86 Monod 식의 유도. 폭기조 내의 미생물에 대해서 물질수지식을 취하면 다음 식으로 나타낼 수 있다.
유입수와 유출수의 미생물 농도를 무시하면, 반응조 내에 미생물 농도가 변하지 않는 정상상태(steady state)의 조건에서 식 2.26는 식 2.27로 표현된다.

87 Monod 식의 유도. 식 2.21, 식 2.23과 식 2.27로부터 동력학적 계수를 산출하기 위한 선형방정식인 식 2.28을 얻을 수 있다.

88 8. 시계열 자료 분석 기법의 1장의 1절부터 6절에 대한 내용을 요약하고, 예제 및 표에 대한 문제를 Excel을 이용하여 풀어서 제출하라.

89 시계열 자료 분석. 1.1 예측 어떤 자료에 대해 장래의 값을 예측한다는 것은 간단한 일이 아니고, 또 정확히 예측을 하기도 어렵다. 그러나, 현재까지의 자료를 가지고 합리적인 근거에 따른 예측의 필요성은 여러 분야에서 요구되고 있는 실정이다. 판매량, 재고량, 인력 또는 중요한 경제 및 경영 자료들에 대해 예측함으로써 사업의 전망에 대한 의사결정을 할 수 있기 때문이다. 예측의 방법은 여러 가지가 있을 수 있겠지만 여기서는 과거의 시점들에서 관찰된 값들(시계열)로써 예측하는 기법(시계열 분석)을 중심으로 예측의 방법들을 설명해 나가고자 한다.

90 시계열 자료 분석. 1.2 시계열 자료 분석 시계열 자료를 분석한다는 것은 어떤 자료가 과거 관찰값들의 변화패턴과 비슷하게 현재 시점이후에도 변화될 것이라는 전제하에서 향후 시점의 값을 예측하는 기법이다. 정확한 예측을 위하여 보다 중요한 것은 시계열 자료의 성격과 특징을 파악하고, 그 자료와 관련된 주변 환경 변수들은 어떤 것들이 있는지, 그 자료 자체를 분석할 것인지 변환 또는 조정이 필요한지 등을 고려해 보아야만 할 것이다. 여기서, 주변 환경 변수들이란 인구통계변수, 경제지표변수, 경쟁관계변수, 정부정책, 기술변화 등을 말한다.

91 시계열 자료 분석. 시계열 자료는 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 정상적시계열과 비정상적시계열이 그 두 가지인데 우리들이 접하게 되는 시계열은 대부분 비정상적시계열이지만 정상적시계열로부터 시계열의 모습을 파악하는 것이 필요하다. < 정상적 시계열 >

92 시계열 자료 분석. 예측의 정확도 측정 예측은 과거 시점들에서 얻어진 시계열자료들을 이용하여 장래시점에서의 그 시계열 변수 값들을 알아내는 것인데, 그 예측값들이 얼마나 정확하다고 할 수 있는가를 측정해야만 할 것이다. 더욱이, 앞으로 설명하겠지만, 어느 시계열자료에 대해 예측을 하는 방법으로 여러 가지 방법들이 가능한 데 어느 방법으로 예측한 결과가 가장 적당한가를 알기 위해서는 예측값들의 정확도를 측정하여 비교해 볼 수 있을 것이다

93 시계열 분석. 1.4 평활법 (Smoothing Method)
다시 말하면, 어떤 부드러운 곡선을 기준으로 임의로(Random) 이탈하여 시계열자료 값들이 얻어진 것이라는 전제하에서 그 부드러운 곡선의 패턴을 찾아내자는 방법이다.

94 시계열 분석. 따라서, Smoothing 방법은 과거 시계열자료들에 어떤 방법으로 가중치를 부여하여 예측하느냐에 따라 크게 이동평균(Moving Average)방법과 지수평활법(Exponential Smoothing) 방법의 두 가지로 나누어 생각할 수 있다. 이동평균방법이란 어느 시계열 자료가 일정한 주기를 갖고 비슷한 패턴으로 움직이고 있을 경우에 적용시킬 수 있는 방법이다. 주기가 길어질수록 직선에 가까운 부드러운 선이 얻어질 것임을 쉽게 알 수 있다. 단순이동평균이란 시계열자료가 충분히 확보되어 있을 경우, 평균의 방법을 개선하여 일정한 개수의 자료들을 평균하여 예측값으로 사용하는 방법이다.

95 시계열 분석. 1.5 시계열 요소 분해법 시계열 요소분해법이란 시계열자료는 변동들의 혼합(결합)으로 이루어지는 것이므로 시계열자료를 형성하고 있는 변동요소를 찾아내고 시계열자료를 그 요소들로 표현하여 예측해 보자는 것이다. 추세 : 추세란 자료가 장기적으로 변화해 가는 큰 흐름을 나타내는 것이다. 자료가 장기적으로(Long-run) 커지는지, 작아지는지, 변화가 없는지를 나타내 주는 요소를 추세라고 한다. 보다 구체적으로는 장기적으로 커지는 모습일 때 그것이 선형인지, 지수적으로(Exponentially) 증가하는 것인지를 함수관계로 나타내 줄 수도 있을 것이다.

96 시계열 분석 순환변동 : 순환변동은 경제전반의 또는 특정 산업의 부침(Ups and Downs)를 나타내 주는 것을 말한다. 예를 들면, GNP(국민총생산), 산업생산지수, 주택수요, 자동차 판매대수, 주식가격, 통화공급량, 이자율 등도 순환변동 계절변동 : 계절변동은 일정한 주기를 갖고 반복적으로 같은 패턴으로 변화하는 것을 말한다. 예를 들면, 온도(1일 주기), 강우량(1년 주기), 전력소비량(1일 주기) 등 순환변동과 계절변동의 차이점은 계절변동은 주기가 일정(1년, 1달, 1주 등)하게 정해진 반면 순환변동은 정해지지 않은 기간 동안에 사이클(Cycle)을 보여주는 것이라 할 수 있다.

97 시계열 분석. 1.6 Box-Jenkins 모형 소위 ARIMA(Auto Regressive Integrated Moving Average) 모형으로 일컬어지는 Box-Jenkis 모형은 시계열자료의 예측에 널리 사용되고 있다. Box-Jenkins 모형에 의하여 시계열자료를 다루고자 할 때는 다음의 세 가지 단계를 거치게 된다. 모형식별 (model identification) 식별된 모형의 파라미터 추정 및 진단 (testing) 예측 (forecasting)

98 시계열 분석. 일단 시계열자료가 정상적인 경우, Box-Jenkins 모형은 다음의 세 가지로 나누어진다. 자기회귀모형
이동평균모형 자기회귀이동평균모형

99 시계열 분석 자기회귀모형 (Autoregressive Model)
자기회귀모형이란 시계열자료가 과거 값들로써 설명된다는 모형이다. 다시 말하면, 회귀모형과 같이 라고 할 때, 현재(t) 시점의 시계열값은 바로 전기 (t-1)값으로부터 만큼, 2기전 (t-2)의 값으로부터 만큼 등으로 영향을 받는다고 할 수 있을 것이다.

100 시계열 분석 이동평균모형 (Moving Average Model)
이동평균모형이란 시계열자료가 연속적인 오차항 들의 영향을 받는다는 것으로서 으로 표현되는데 식을 q차 이동평균모형이라고 부르며, MA(q)로 나타낸다. 물론, 바로 이전 시점 (t-1)의 오차항만이 포함되는 경우라면 1차 이동평균모형이 되며, 으로 표현된다.

101 시계열 분석. 자기회귀이동평균모형 (Autoregressive Moving Average Model)
앞에서의 두 가지 모형은 시계열자료가 과거의 시계열자료 값들로 표현될 수 있다는 것과 과거의 오차값들로 표현될 수 있다는 것을 나타내고 있는데, 경우에 따라서는 과거의 시계열자료 값들과 과거의 오차값들 모두의 영향을 받는다고 할 수도 있을 것이다. 그러므로 AR과 MA가 혼합된 자기회귀이동평균모형을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 즉, 이다. 이러한 자기회귀이동평균모형은 ARMA(p,q)로 표현될 수 있다.

102 시계열 분석. 가장 단순한 ARMA모형은 으로서 ARMA(1,1)으로 표현하면 된다.

103 시계열 분석. 모형의 규명 정상적시계열에 대한 AR, MA, ARMA 모형은 세 가지가 있다는 설명을 하였다. 물론 차수(order)를 고려할 때 그 종류는 훨씬 많아지는 것을 알 수 있다. 그러면, 주어진 시계열을 어떤 모형에 적합시키는 것이 바람직한가를 찾아야 하는데 이를 규명이라고 한다. 즉, 주어진 시계열자료로 부터 얻어지는 정보를 수단으로 하여 주어진 시계열은 어떤 모형일 것이라는 규명을 하게 되는데, 규명의 중요 수단으로 자기상관계수(autocorrelation : AC)와 부분자기상관계수(partial autocorrelation : PAC)가 있다.

104 시계열 분석. 자기상관계수 (Autocorrelation Coefficient)
자기상관계수란 시계열자료에서 시차 (lag)를 일정하게 줄 경우의 상관계수이다. 예를 들면, 시차1의 자기상관계수란 상관계수를 말하는데, 이웃 시점 간에 상관계수가 얼마나 되는가를 찾고자 하는 것이다. 시차1의 자기상관계수를 계산하려면 을 이용하면 된다.

105 시계열 분석. 여기서, 시계열자료가 정상적인 경우, 이므로 위 식은 와 같다.

106 시계열 분석. 부분자기상관계수 (Partial Autocorrelation Coefficient)
회귀분석에서 반응변수 Y를 X1 과 X2 를 회귀시킬 경우, 즉, 의 모형에서, X1 이 Y에 미치는 영향을 제외시킨 후 이 에 미치는 영향을 얻고자 할 때 부분결정계수라는 개념을 이용하는데 시계열분석에서도 이와 같은 개념에서 부분자기상관계수를 이해하면 된다.

107 시계열 분석. 즉, 시차 (lag)가 주어져 있을 때, 주어진 시차에 대한 시계열간의 상관계수를 얻음에 있어, 먼저 다른 시차들의 시계열자료 값들이 미치는 영향을 제거한 후에 주어진 시차에 대한 시계열간의 상관계수를 부분자기상관계수(Partial Autocorrelation : PAC)라고 한다.

108 예제 문제.

109 예제문제.

110 예제문제.

111 예제문제