CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor 모형의 원리에 대하여 설명하라

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1 CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor 모형의 원리에 대하여 설명하라

2 그림 2.9 유입 및 유출 응답을 가진 완전 혼합 호수의 체계
CSTR 이상적인 완전 혼합 시스템은 그림 2.9에 예제와 같은 호수를 이용하여 설명 모형에 포함된 주 가정은 호수에서 화학물의 농도는 일정하고(완전혼합) 배출구의 농도는 C이며, 이 농도는 호수 내의 어느 곳에서도 같고 물질수지는 다음과 같음 그림 2.9 유입 및 유출 응답을 가진 완전 혼합 호수의 체계

3 CSTR 호수내 질량 변화=유입 질량-유출 질량±호수내 질량 반응 이것은 수학적으로 다음과 같이 표현됨
여기서 = 유입류의 화학물 농도, ML-3 = 호수와 유출류의 화학물 농도, ML-3 = 유입유량, L3T-1 = 유출유량, L3T-1 = 호수의 체적, L3 = 반응율, ML-3L-1; 양성(+)과 음성(-)은 각각 형성반응과 감소반응을 지칭한다. = 시간, T

4 CSTR 가 0로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같음 (62)
호수의 체적 , 유량 및 , 그리고 유입농도 는 시간에 따라 변하는 변수가 될 수 있으며 완전혼합 가정에 덧붙여, 방정식을 더욱 단순화하기 위하여 가정들을 만들 수 있을 것임

5 CSTR 유입농도 는 일정하다. 호수의 유입 유출 유량은 일정하고(( )=( )=( )=상수), 호수의 체적도 일정 ( )
호수의 유입 유출 유량은 일정하고(( )=( )=( )=상수), 호수의 체적도 일정 ( ) 호수내에서 일어나는 농도 C의 변화율은 1차반응에 의해 지배되며(( )음성(-)기호는 감소반응을 표시함)

6 CSTR 이 모든 가정들을 종합하면 식 (62)는 다음과 같이 쓰여질 수 있음 (63)
식 (63)는 완전 혼합계에 대한 일반적인 1차 감소반응 방정식

7 CSTR 예를 들면, 화학물의 배출이 비교적 짧은 기간동안 일어났다면, 호수내 화학물 누출에 의한 변화는 충격(또는 델타) 함수를 이용하여 수식화될 수 있을 것임 충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우, 식(63)은 다음과 같이 줄어듬

8 CSTR (64) V로 나누면 (65) 여기서, ( )= 평균 수리학적 체류 시간( ).( ) 에서 초기조건( )으로 식(65)는 다음과 같이 적분될 수 있음

9 CSTR (66) 시간간격 0에서 t까지 방정식(66)을 적분하면 다음과 같다. (67)
식 (67)은 보존성 추적자의 충격 유입에 대한 해석해(정확해)임

10 CSTR 반응성 화학물이 호수로 누출된 경우, 식(63)은 다음과 같이 줄어들 수 있음 (68)
위 식은 유사하게 풀릴 수 있음 (69) 식(69)는 반응성 물질의 충격 유입의 해석해이며 반응성 및 비반응성 화학물의 충격 유입에 대한 반응의 도시적 그림을 그림 2.9에 나타냄

11 CSTR 도시 또는 산업시설에서 호수로의 폐수 방류 같은 연속 부하에 대한 변화 역시 식(63)에 의해 표현. 이 식은 다음과 같이 다시 기술됨 (70)

12 CSTR 식 (70)은 1차 선형 비제차 미분 방정식의 형태
정상상태 농도만을 원한다면, 농도의 변화가 0( )라는 것을 기술하면서 식(70)의 해를 구할 수 있으며 식 (70)의 정상상태 해는 다음과 같음 (71)

13 CSTR 시간에 대한 농도의 변화를 보고자 한다면, 일반적인 형태를 가지는 1차 선형 미분 방정식 식 (70)의 비정상상태 해를 얻을 수 있음 (72)  일반해로서 (73)

14 CSTR 여기서, 이 해법은 적분계수법의 형태이며 식 (70)의 해는 적분식으로 얻어질 수 있음 (74)
(75)

15 Figure 2.10 연속된 완전 혼합 호수 및 반응 감소에 의한 유출 반응의 구조도
CSTR 이 해는 두 가지 농도변화로 구성되어 있다는 것을 주목하고, 우변의 첫째 항은 초기농도의 감소를 나타내고, 둘째 항은 연속적인 유입에 기인한 농도의 증가를 나타냄 t가 무한대로 접근할 때, 식 (75)는 정상상태 방정식인 식(71)로 정리 다수의 호수가 연속적으로 존재한다면, 이러한 수체는 총괄적으로 분석될 수 있고 그림 2.10은 n개의 같은 부피의 완전혼합 호수들로 구성된 일련의 호수를 나타냄 Figure 2.10 연속된 완전 혼합 호수 및 반응 감소에 의한 유출 반응의 구조도

16 CSTR 단일 호수에 대해서 했던 것처럼, 해석 방법은 연속된 각각의 호수 주의의 물질수지에 기초하며 시간에 따라 변하는 해를 유도하기 이전에, 정상상태 해를 유도 첫 번째 호수에 대한 물질수지는 다음과 같이 주어짐

17 CSTR 해는 (76) 두 번째 호수의 경우 풀이하면 (77)

18 CSTR 식(76)을 식(77)에 대입하면 다음의 식이 산출된다. (78)
여기서 은 각각의 단일 호수의 체류시간이고, 전체 체류시간은 아님

19 CSTR n번째 호수에 대한 물질수지는 풀이하면 (79)
여기서 n은 문제의 호수의 번호이고 n-1은 상류 호수를 가리키며 n번째 호수에 대한 해석해는 다음과 같음 (80)

20 CSTR 보존성 물질의 충격 유입에 대한 시간 변동 해를 구할 수 있다. 첫 번째 호수에 대한 물질수지는 다음과 같이 주어진다. (81) 식 (81)을 시간 t=0일 때 초기조건 ( )으로 시간간격 0에서 t까지에 적분하면 다음과 같은 식이 산출 (82)

21 CSTR 두번째 호수에 대한 물질수지는 다음과 같다. (83)
식 (82)를 식 (83)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식이 산출된다 (84)

22 CSTR 식 (84)를 적분계수법을 이용하여 풀면 (85) 3번째 호수에 대해 물질 수지는 다음과 같은 식이 산출 (86)
식 (85)를 식 (86)에 대입하여 적분계수를 이용하여 풀면 다음과 같은 식이 산출 (87)

23 CSTR 따라서 보존성 추적자의 충격입력을 받는 일련의 호수에서 n번 호수에 대한 일반식은 다음과 같이 주어짐 (88)
여기서, 는 단일 호수의 체류시간 그림 2.11에 나타난 바와 같이 호수나 반응조가 n개의 구획으로 구분되는 경우에, 비반응성 화학물의 충격유입에 대한 유출반응은 다음과 같을 것임

24 Figure 2.11 구획된 호수와 보존성물질의 충격유입에 대한 유출반응
CSTR (89) 여기서, 는 전체 반응조의 체류시간( )을 나타내고, 는 충격입력이 전체 반응조로 전달될 때 초기농도( )임 구획수와 관련된 유출반응을 그림 2.11에 기술하였고 구획수가 많아질수록, 플러그 유동 조건으로 가려는 경향이 커짐 Figure 2.11 구획된 호수와 보존성물질의 충격유입에 대한 유출반응

25 CSTR 식 (89)는 이상적인 플러그 유동 모형과 이상적 완전혼합모형의 중간상태에서의 유출반응을 제공하기 때문에 유력(그림 2.11에서 ( )and( ) ) 플러그 유동과 확산이 있는 호수와 저수지의 경우, 식 (89)는 가정된 구획수(n)에 대하여 추적자의 충격주입의 최적조건을 얻는데 이용될 수 있으며, 따라서 다른 오염물의 모델링에 대한 시스템의 혼합특성을 얻을 수 있음

26 플러그 유동 시스템 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 2.12에 예제로서 강을 사용하여 나타내었으며 본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르고(플러그처럼), 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것인대 이것은 일차원 모형임 물질수지는 증가 체적 V를 중심으로 다음과 같이 주어짐

27 플러그 유동 시스템 (90) 여기서, = 단면적, = 하천의 유한 증가 두께, = 시간간격, = 1차 감소율,

28 Figure 2.12 유입과 반응의 변화도에 대한 플러그 유동 시스템의 체계도

29 플러그 유동 시스템 식 (90)을 V로 나누어 단순화하면 다음과 같다. (91) ( )일 때, 식 (91)의 극한값은 (92)
( )일 때, 식 (91)의 극한값은 (92) 여기서,( ) = 평균유속임, 이것은 플러그 유동 시스템에 대한 일반식

30 플러그 유동 시스템 정상상태에서( ), 식 (92)는 다음과 같이 정리됨 (93)
정상상태에서( ), 식 (92)는 다음과 같이 정리됨 (93) ( )에서 ( )인 경계조건으로, 식(93)을 변수분리법으로 적분하면 다음과 같은 식이 산출된다. (94) 이것이 플러그 유동 방정식의 정상상태 해

31 Dispersive Flow Reactor
하구의 예를 이용하여 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 2.13에 나타내고 플러그 유동 모형에서 기술했던 것처럼, 물질수지는 유한 체적이 아닌 기본적 검사 체적에 대해서 기술되었음 Figure 2.13 이류 확산 시스템의 체계도 및 반응성 화학물의 유입 및 정상상태 변화도.

32 Dispersive Flow Reactor
축 적=이류 이동유입+확산 이동유입-이 류 이동유출-확산 이동유출±반응 무한한 시간 간격에 대한 물질수지는 다음과 같이 미분체적 에 대해 다시 기술될 수 있음 (95)

33 Dispersive Flow Reactor
여기서, = 확산 계수, k = 일차 반응 계수, 식 (95)을 간단히 정리하면 (96) 로 나누면,

34 Dispersive Flow Reactor
또는 (97) 식 (97)은 일정한 계수( Q, Z, E 및 k)를 사용한 이류확산 시스템에 대한 시간 변동 방정식임 하구 시스템에 대한 정상상태의 방정식은 식 (97)의 좌변을 0으로 놓으면( ) 얻을 수 있다. (98)

35 Dispersive Flow Reactor
식 (98)은 2차 선형제차상 미분방정식이고 일반형은 다음과 같음 여기서, ( )이고, 해의 일반적 형태는 다음과 같이 주어짐

36 Dispersive Flow Reactor
여기서, 2차 계수방정식의 근은 ( )와 ( )를 나타냄 그리고 ( )와 ( )는 경계조건으로부터 얻어지는 적분상수이고 식 (98)의 해는 다음과 같이 얻어짐 (99)

37 Dispersive Flow Reactor
여기서 식 (99)을 풀기 위해서는 경계조건이 사용되어야 하며 경계조건을 정하기 위해서, 문제의 하구 시스템을 화학물 방류지점의 상류와 하류 구획으로 나눌 수 있음(그림 2.13)

38 Dispersive Flow Reactor
상류 구획에서, 다음과 같은 두 가지 경계조건을 정할 수 있다(BC 1 및 BC 2) BC 1: 방류지점의 상류 구획에서, 농도는 0으로 접근한다. 즉, ( )에서 ( )이며 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구할수 있음 And (100)

39 Dispersive Flow Reactor
BC 2: 방류지점의 농도는 ( ), 즉, ( )에서 ( )이고 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구함 따라서 상류 구획의 농도는 다음과 같이 주어짐 (101)

40 Dispersive Flow Reactor
하류 구획에서, 2개의 추가적인 경계조건을 정할 수 있음 BC 1: 방류지점 하류에서의 농도는 0에 접근한다. 즉, ( )일 때 ( ). 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구할 수 있음 and (102)

41 Dispersive Flow Reactor
BC 2: 방류지점에서 농도는 즉, ( )이고 이 조건으로 다음과 같은 식을 구할 수 있음 따라서 하류구획의 농도는 다음과 같이 주어짐 (103)

42 Dispersive Flow Reactor
방류지점에서 경계농도( )는 일 때 물질수지를 세워 구할 수 있다(그림 2.13) 질량유입 = 질량유출 (104) 각 극소하게 작기 때문에 반응은 무시할 수 있다. 식 (100)으로부터 (105)

43 Dispersive Flow Reactor
식 (102)으로부터, (106) 식 (105) 및 식 (101)을 식(104)에 대입하면 다음과 같은 식이 산출 이므로, 다음을 구할 수 있다. (107)

44 Dispersive Flow Reactor
식 (99)의 g•j을 식 (107)에 대입하여 간단히 정리하면 (108) 최종적인 해는 다음과 같이 요약된다 at