-9장- 디지털 제어시스템.

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1 -9장- 디지털 제어시스템

2 Contents 9.1 서론 9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 9.3 z-변환 9.4 펄스 전달함수
9.1 서론 9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 9.3 z-변환 9.4 펄스 전달함수 9.5 이산시간 시스템의 상태공간 모델 9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화 9.8 직접 디지털 제어시스템 설계 9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어

3 9.1 서론 연속시간 제어시스템 디지털 제어시스템 - 시간의 연속함수로 표시되는 연속 전달 신호로 동작
- 해석 및 설계방법이 조직적, 간결 - 일반적으로 연속시간 시스템인 플랜트에 연속시간 제어기법 적용 디지털 제어시스템 - 시간의 이산함수로 표시되는 이산 전달 신호로 동작 제어 알고리즘인 프로그램만을 조작하여 쉽게 새로운 제어기 설계 가능 복잡한 연산과정을 신속 정확하게 수행

4 9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 디지털 제어기의 구성 - 입력 변환기 - 디지털 컴퓨터 - 출력 변환기
9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 디지털 제어기의 구성 - 입력 변환기 - 디지털 컴퓨터 - 출력 변환기 그림 9.1 디지털 제어시스템

5 (1) 입력 변환기 입력 변환기의 구성 저주파통과필터 임펄스 샘플링장치(A/D 변환기)
그림 9.2 입력 변환기의 개략도 그림 9.3 단위임펄스의 열과 샘플링 장치 - 연속신호 가 주기적으로 샘플링 될 경우 : (9.3)

6 그림 그리고 신호의 모양

7 샘플링주기 T 선정 Shannon의 샘플링 이론
- 연속신호에서 가장 큰 주파수 보다 적어도 2배 이상 큰 주파수 로 샘플링 (9.7) - 식 (9.7)이 만족되지 않으면  엘리어싱(aliasing) 발생 - 샘플링 주파수 는 일반적으로 시스템 대역폭 의 20배 이상 되도록 선정

8  엘리어싱 발생 안 함 원신호 복원 가능  엘리어싱 발생 함 원신호 복원 불가능 그림 의 주파수 스펙트럼

9 - 경제적인 샘플링주기 선정을 위하여 샘플링장치 앞에 저주파통과필터 첨가
이유 : 센서잡음(고주파)를 제거하여 샘플링장치의 입력신호의 최대주파수 를 작게 하기 위함 일반적으로 사용되는 저주파통과필터 : 1차 또는 2차의 뒤짐(lag) 필터 1차 뒤짐 필터의 경우 : (9.24) 여기서 필터의 대역폭 a 를 너무 작게 선정하면 제어기의 대역폭을 제한함

10 (2) 출력 변환기 출력 변환기의 구성 - 디지털 제어기의 출력 변환기‘홀딩장치’: 이산신호  연속신호
- 디지털 제어기의 출력 변환기‘홀딩장치’: 이산신호  연속신호 일반적으로 사용되는 0차 홀딩장치(ZOH : zero-order holder) - ZOH의 전달함수 : (9.26) 그림 9.8 ZOH의 입력 및 출력 신호의 모양 그림 9.9 ZOH의 주파수 응답

11 9.3 z-변환 z-변환식 - z-변환 : 선형 시불변 연속시간 시스템에서의 Laplace변환에 대응되는
선형 시불변 이산시간 시스템에서의 변환 - z-변환 목적 : 이산시간 시스템의 모델링 및 해석을 쉽게 하기 위하여 z-변환식 - 이산신호 의 일반적 표현 : (9.29) - 이산신호 의 Laplace 변환함수 : (9.30) 또는 로 정의하면, - z-변환 식 : (9.32) 또는 (9.33)

12 예제 9.1 단위스텝함수 1(t)의 z-변환함수 구하기 예제 9.2 지수함수 x(t)의 z-변환함수 구하기

13 예제 9.3 사인파함수 x(t)의 z-변환함수 구하기

14 예제 9.4 다음 Laplace 변환함수 X(s)에 대한 z-변환함수 구하기 - Laplace 변환함수 X(s)를 부분분수로 전개 1/s 또는 1(t)에 대한 z-변환함수 = z/(z-1) 1/(s+1) 또는 에 대한 z-변환함수 = z/(z )

15 표 9.1 대표적인 시간함수에 대한 z-변환표 X(s) x(t) 또는 x(k) X(z)

16 표 9.2 z-변환에 관한 유용한 특성 x(t) 또는 x(k) Z{x(t)} 또는 Z{x(k)}

17 z-변환을 이용하여 차분방정식의 해를 구하는 방법
- 연속시간 시스템에서 Laplace 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구하는 방법과 유사 (9.34) (9.35) 일반적으로 (9.36)

18 예제 9.5 다음 시스템에 대한 응답 x(k) 구하기 (9.37) 여기서 - k = -1을 식 (9.37)에 대입  - 식 (9.37)에 z-변환을 수행하고 x(0) = x(1) = 0을 대입  여기서  - 식 (9.34) 이용 : - 역 z-변환 수행 :

19 z-변환을 이용한 시스템의 초깃값 및 최종값 - 초깃값 정리 : (9.38) - 최종값 정리 : (9.45)
그리고 단위원 밖에 극점이 존재하지 않은 경우에만 사용할 수 있음

20 역 z-변환법을 이용한 차분방정식의 해 x(k) 유도방법
- 무한급수 전개법 - 부분분수 전개법 - 역적분(inverse integral)법 (1) 무한급수 전개법 (9.46)  z-k 항의 계수들이 x(k)의 값 예제 9.6 다음과 같은 X(z)에 대한 x(k) 구하기 - X(z)의 분자와 분모를 z-1 의 급수 형태로 변환 :  

21 (2) 부분분수 전개법 - X(z)를 부분분수로 전개하고 표 9.1의 z-변환표 이용 예제 9.7
다음의 X(z)에 대하여 부분분수 전개법을 이용하여 x(k) 구하기 를 부분분수로 전개 : - 표 9.1을 이용하여 역 z-변환 :  

22 (3) 역적분법 - z-변환식 (9.48) - 양변에 zk-1 을 곱함 (9.49)
- 식 (9.49)의 양변을 원(모든 극점을 포함하는 반지름 )을 따라 반시계 방향으로 적분 (9.50) - Cauchy 이론 적용  (9.53) - 역적분법에 의한 x(k) (9.54)

23 예제 9.8 다음의 X(z)에 대하여 역적분법을 이용하여 x(k)를 구하기 - Cauchy 이론을 적용한 역적분법에 의한 해 x(k)

24 9.4 펄스 전달함수 - 펄스의 열 u*(t ) : 연속시간 플랜트 G(s)의 입력 - 플랜트 출력 y(t) : (9.55)
9.4 펄스 전달함수 그림 9.10 이산시간 시스템 - 펄스의 열 u*(t ) : 연속시간 플랜트 G(s)의 입력 - 플랜트 출력 y(t) : (9.55) - 플랜트 출력 y(t) 응답 = 각 펄스의 열 u*(t)에 대한 응답의 합(0 ≤ t ≤ kT) (9.56) - 샘플링 순간 t = kT 에서의 출력 y(k) (9.59)

25 펄스 전달함수 또는 z-전달함수 G(z) - 식 (9.57)을 다음과 같이 표현 할 수 있다. (9.60) 일 때, 이므로
그림 9.11 펄스 전달함수에 대한 블록선도 - 식 (9.57)을 다음과 같이 표현 할 수 있다. (9.60) 일 때, 이므로 (9.61) 여기서 G(z)는 펄스 전달함수 또는 z-전달함수 (9.62)

26 펄스 전달함수 G(z) 유도 절차 (방법 1) ZOH를 포함하는 시스템의 전달함수 G(s)를 구한다.
인 임펄스 응답함수 g(t)를 구한다. 펄스 전달함수 G(z)를 계산한다. (9.63) 여기서 g(k)는 t = kT 일 때의 임펄스응답함수 g(t)의 값 (방법 2) ZOH를 포함하지 않은 시스템의 전달함수 Gp(s)를 s로 나눈 Gp(s)/s에 대한 역 Laplace 변환함수를 구한다. 의 z-변환함수에 (1-z-1)를 곱하여 G(z)를 유도한다. (9.64)

27 다음 그림과 같은 이산시간에 대한 펄스 전달함수 G(z) 구하기
예제 9.9 다음 그림과 같은 이산시간에 대한 펄스 전달함수 G(z) 구하기 그림 9.12 이산시간 시스템 (방법 1) - ZOH를 포함한 플랜트 전달함수  - 샘플링주기 T = 1이므로

28 - 펄스 전달함수 (9.65) (방법 2) - 역 Laplace 변환함수 를 구한다. (9.66) - 표 9.1을 이용하여 식 (9.66)의 z-변환함수를 구한다. - 샘플링주기 T = 1일 때, G(z)는 식 (9.65)와 동일함

29 표 9.3 ZOH를 포함하는 연속시간 시스템에 대한 펄스 전달함수 G(z)

30 폐루프 이산시간 시스템의 펄스 전달함수 T(z) 구하기
그림 9.13 폐루프 이산시간 시스템  (9.71) 그리고  (9.73) 식 (9.73)에 대한 z-변환 (9.74)  (9.75)

31 샘플링주기 T값에 따른 폐루프 이산시간 시스템과 폐루프 연속시간 시스템의 단위스텝응답 비교 예제 9.10
그림 9.14 폐루프 이산시간 시스템 - 폐루프 시스템의 펄스 전달함수 여기서 

32 - 샘플링주기 값에 따른 이산시간 시스템의 폐루프 전달함수
- 단위스텝응답( 일 때) 

33 그림 9.15 그림 9.14에 표시된 폐루프 이산시간 시스템 및 연속시간 시스템의 단위스텝응답
그림 그림 9.14에 표시된 폐루프 이산시간 시스템 및 연속시간 시스템의 단위스텝응답

34 표 9.4 폐루프 이산시간 시스템의 샘플링주기 T 값에 따른 과도응답 성능

35 9.5 이산시간 시스템의 상태공간 모델 - 이산시간 선형 시변 시스템의 상태공간 모델식 (9.76)
9.5 이산시간 시스템의 상태공간 모델 - 이산시간 선형 시변 시스템의 상태공간 모델식 (9.76) 그림 선형 시변 이산시간 시스템 - 이산시간 선형 시불변 시스템의 상태공간 모델식 (9.77)

36 9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 - s-평면과 z-평면 사이의 상관관계
9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 - s-평면과 z-평면 사이의 상관관계 연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 특성의 상관관계 파악 - 좌반 s-평면  z-평면에서 원점을 중심으로 한 단위원의 내부로의 사상 (9.91) 여기서 (9.93) - 복소변수 z의 크기 및 편각 (9.94) (9.95) (9.96)

37 그림 s-평면과 z-평면 사이의 대응관계

38 s-평면과 z-평면과의 사상관계로부터 알 수 있는 특성
- 안정도 경계는 단위원 이다. - Z = 1 주위의 작은 영역은 근본적으로 주위의 영역과 동일하다. - z-평면 위치는 -평면과 같이 시간에 대한 것이 아니라 샘플링주파수에 대하여 정규화된 응답정보를 준다. - 음의 실수 z 축은 항상 의 주파수를 나타낸다. - 좌반 -평면에 있는 수직선들(일정한 실수부 또는 시정수)은 z-평면의 단위원 내에 있는 원들로 사상된다. -평면에서 수평선들(일정한 허수부 또는 주파수)은 z-평면에서 방사선들로 사상된다. - z-평면에 보다 더 큰 주파수들을 표시할 수 없다.

39 단순 2차 시스템 에서 극점에 따른 응답특성 - s-평면 극점 (9.97) - z-평면 극점 (9.98) (9.99)
단순 2차 시스템 에서 극점에 따른 응답특성 - s-평면 극점 (9.97) - z-평면 극점 (9.98) 여기서 (9.99) (9.100) - 감쇠비 : (9.102) - 고유주파수 : (9.103) - 시정수 : (9.104)

40 그림 9.19 -평면에서 실수 및 복소 극점위치에 따른 과도응답
(a) 실수 극점위치에 따른 과도응답 (b) 복소 극점위치에 따른 과도응답 그림 평면에서 실수 및 복소 극점위치에 따른 과도응답

41 그림 9.20 -평면에서 일정한 감쇠비 와 고유주파수 을 나타낸 궤적
(표시 안 된 반쪽은 도시된 부분의 거울상임)

42 - 개루프 이산시간 시스템 G(z)의 일반형태
이산시간 시스템의 정상상태오차 그림 폐루프 이산시간 시스템 - 개루프 이산시간 시스템 G(z)의 일반형태 (9.105) - DC 게인 (9.106)

43 - 시스템 오차 (9.107) - 최종값 정리에 의한 정상상태오차 (9.108) - 단위스텝기준입력에 대한 정상상태오차 (9.109) - N = 0 이면, 즉 에 극점이 존재하지 않는다면 (9.110) 여기서 는 위치오차상수 ≥ - N 이면, 이므로

44 - 단위램프기준입력에 대한 정상상태오차 (9.111) - 속도오차상수 (9.112) 이면, 그리고 이면, 그리고 이면, 그리고

45 Routh 안정도 판별법을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 판별법
- z → r 로의 변환식 (9.113) - z-평면에서의 단위원 내부가 좌반 r-평면으로 사상된다.  연속시간 시스템과 동일 방법으로 r 에 관한 다항식에 대해 Routh 안정도 판별법 적용가능 상태공간 모델을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 해석 - 이산시간 시스템의 상태방정식 및 제어법칙 (9.114) (9.115) - 폐루프 이산시간 시스템의 상태방정식 (9.116) 여기서 - 이산시간 시스템의 안정도 조건 : (9.117)

46 Routh 안정도 판별법을 이용한 폐루프 이산시간 시스템의 안정도 해석
예제 9.13 Routh 안정도 판별법을 이용한 폐루프 이산시간 시스템의 안정도 해석 그림 폐루프 이산시간 시스템 - ZOH를 포함한 플랜트의 펄스 전달함수 - 특성방정식 또는 로의 변환식 (9.113) 대입

47  z -평면에서 단위원 외부에 두 개의 극점 존재
- Routh 배열 : Routh 배열의 첫 번째 열에 부호 변화 두 번  z -평면에서 단위원 외부에 두 개의 극점 존재 (a) T = 1초일 때 (b) T = 0.207초일 때 그림 그림 9.22에 표시된 시스템에 대한 근궤적선도

48 9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화 디지털 제어 알고리즘을 만드는 방법 디지털화 근사법
9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화 디지털 제어 알고리즘을 만드는 방법 - 플랜트 모델 이산화  이산적 접근법 이용  직접 디지털 제어기 설계 - 아날로그 제어기  디지털 제어기로 근사화 그림 연속시간 제어시스템 그림 디지털 제어의 적용 디지털화 근사법 전향-직사각형(forward-rectangular) 방법 후방-직사각형(backward-rectangular) 방법 Tustin 방법 극점-영점 대응법(MPZ : matched pole-zero method)

49 (1) 전향-직사각형 방법 또는 u(k)=u(k-1) + [바로 이전 시간구간 T 동안의 e(t) 아래의 적분면적]
- 아날로그 제어기 : (9.118) (9.119) 또는 u(k)=u(k-1) + [바로 이전 시간구간 T 동안의 e(t) 아래의 적분면적] (9.120) - 식 (9.120)에서 그림 9.26의 전향-직사각형 면적 이용 (9.121) - 식 (9.121)을 -변환  디지털 제어기 : (9.122) - 식 (9.118)과 식 (9.122)로부터 근사화 식 : (9.123) 그림 전향-직사각형 적분

50 - 식 (9.120)에서 그림 9.27의 후향-직사각형의 면적 이용
(2) 후향-직사각형 방법 - 식 (9.120)에서 그림 9.27의 후향-직사각형의 면적 이용 (9.124) - 식 (9.124)를 z-변환  디지털 제어기 (9.125) - 식 (9.118)과 식 (9.125)로부터 s  z 로의 변환식 (9.126) 그림 후향-직사각형 적분

51 (3) Tustin 방법 - 식 (9.120)에서 그림 9.28의 사다리꼴 면적 이용 (9.127)
- 식 (9.127)을 z-변환  디지털 제어기 (9.128) - 식 (9.118)과 식 (9.128)로부터 s  z 로의 변환식 (9.129) 그림 사다리꼴 적분

52  Tustin 방법과 같이 현재와 과거의 입력 값을 평균화할 수 있다.
(4) 극점-영점 대응법 - s-평면에서의 극점 및 영점을 z-평면으로 변환 했을 때 z-평면에서의 극점 및 영점과 일치되도록 하는 방법 - 연속시간 함수 : (9.130) - 식 (9.130)에 대한 Laplace 변환함수 : (9.131) - 식 (9.130)에 대한 z-변환함수 : (9.132) - 식 (9.131)과 식 (9.132)에서 극점이 일치하도록 실제 시스템에서는 D(z)에서 z = -1에 영점, 즉 항을 임의로 첨가하는 것이 유익할 때도 있다.  Tustin 방법과 같이 현재와 과거의 입력 값을 평균화할 수 있다.

53 극점-영점 대응법에 대한 요약 - 아날로그 제어기 K(s)에서 극점이나 영점을 나타내는 요소를 라고 하면,
디지털 제어기 D(z) 설계를 위하여 s-평면에서의 요소를 z-평면에서 로 대응시킨다. - 디지털 제어기 D(z)에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 작을 때는, 분자에 또는 등의 항을 추가한다. - DC 또는 저주파에서 아날로그 제어기 K(s)와 디지털 제어기 D(z)의 시스템 게인을 일치시킨다.

54 디지털화 근사법의 비교 결과 표 9.5 디지털 근사화 : 에 대한 그림 이산 근산화 기법에 따른 주파수응답

55 연속 상태방정식을 이산 상태방정식으로 변환 예제 9.14 여기서 - 이산 상태방정식의 일반형태 여기서 - Sylvester 전개이론 식 (8.32)를 이용하여 계산  이산 상태방정식 - T = 1일 때 이산 상태방정식

56 그림 9.32 혼합 제어시스템 및 순수한 이산 등가시스템
9.8 직접 디지털 제어시스템 설계 - 직접 디지털 제어시스템 설계의 첫 단계 : 연속시간 시스템에 대한 펄스 전달함수 유도 - ZOH를 포함하는 플랜트에 대한 펄스 전달함수 : (9.159) (a) 혼합 제어시스템 (대체) (b) 순수한 이산 등가시스템 그림 혼합 제어시스템 및 순수한 이산 등가시스템 - 이산시간 시스템에 대한 해석 및 설계방법 : 연속시간 시스템의 경우와 매우 유사, 동일한 법칙들이 적용 가능

57 직접 디지털 제어시스템 설계절차 - 플랜트 전달함수 (9.162) - 플랜트의 펄스 전달함수 (9.163) 여기서
비례 제어기를 사용하는 경우, 즉 D(z) = K 일 때 K 값에 따른 근궤적 그림 z -평면에서의 근궤적

58 비례-적분-미분(PID) 디지털 제어기의 제어법칙
- 비례제어 : (9.164) 또는 (9.165) - 적분제어 : (9.166) 또는 (9.167) - 미분제어 : (9.168) 또는 (9.169)

59 플랜트 에 대한 직접 디지털 제어기 설계 예 - 식 (9.159)를 이용한 펄스 전달함수 : (9.170)
플랜트 에 대한 직접 디지털 제어기 설계 예 - 식 (9.159)를 이용한 펄스 전달함수 : (9.170) - 샘플링주기 T = 1이면 (9.171) - 비례 제어기를 사용하는 경우, 폐루프 시스템 불안정 그림 z -평면에서의 근궤적

60 - 불안정 시스템  안정한 시스템 : 미분제어기 첨가
- 불안정 시스템  안정한 시스템 : 미분제어기 첨가 (9.172) - 바람직한 성능을 위한 제어기 설계 파라미터 a와 K 값 선정 , 대표극점 그림 비례-미분 제어로 보상된 플랜트 에 대한 z-평면에서의 근궤적 - a = 4이고 K = 0.08일 때, PD 디지털 제어기 : (9.174) - 최종 제어법칙 : (9.175)

61 간접 설계방법과 직접 설계방법의 비교 - 제어법칙 (9.175)는 간접 설계방법 (9.145)에 포함된 항이 존재하지 않음
- 제어법칙 (9.175)는 간접 설계방법 (9.145)에 포함된 항이 존재하지 않음 항이 존재하는 이유 : 잡음감소 및 순수 아날로그 미분 제어기 구성의 어려움 때문 항을 제외한 식 (9.145)와 식 (9.175)가 유사함 : 샘플링주파수 가 고유주파수 에 비하여 매우 크기 때문( ) - 직접 설계 : 실제 시스템 응답이 z-평면에서의 극점 위치들에 의해 결정됨 - 간접 설계 : 샘플링주파수가 작아지면 s-평면에서 불안정한 극점들이 존재하게 됨 - 일반적으로 샘플링주파수 일 때, 직접 설계하는 것이 바람직함 - 샘플링이 느린 연속설계 : 이산 해석 또는 시뮬레이션으로 확인해야 함

62 9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어 MATLAB 명령어: [numz, denz] = c2dm(num, den, tz, 'method') 여기서 tz는 샘플링주기, 'method'는 MATLAB에서 제공하는 이산화 방법 중의 하나, 이산화 방법은 'zoh', 'foh', 'matched', 'tustin', 'prewarp' 등 5 가지가 있다.

63 9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어 - 연속 상태공간 모델식을 이산 상태공간 모델식으로 변환하기
⇒ - 연속 상태공간 모델식을 이산 상태공간 모델식으로 변환하는 MATLAB 명령어 : [Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dm(A, B, C, D, tz, 'method') - 만일 입력변수에 순수 시간지연 요소가 'lambda'만큼 존재하면, 이 경우에는 명령어 'c2dt'를 사용한다. [Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dt(A, B, C, P, tz, lambda)

64 그림 9.37 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 선도
연속시간 시스템 G(s) = 10/(s2+7s+10)에 대한 펄스 전달함수 G(z)를 구하고 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 비교 예제 9.18 MATLAB 프로그램 9.4 그림 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 선도