Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

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1 Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
§2. 변분유한요소법 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2 2.1 Ritz 법과 유한요소법 ⊙ 유한요소법의 이론적 배경: 미분방정식의 근사해법, Ritz 법과 Galerkin 법
⊙ 변분유한요소법(variational approach to finite element method) ○ Ritz 법 ○ 유한요소 보간법(finite element interpolation)        ○ 기초함수(근사해법)  ⇒  보간함수(유한요소법) ⊙ 유한요소이산화(FE discretization)     ○ 해석영역을 요소(element)로 분할함     ○ 요소는 절점(node)에 의하여 정의됨 ○ 선분요소, 삼각형요소, 사각형요소, 사면체요소, 육면체요소, 등등 

3 2.1 Ritz 법과 유한요소법 a) 1차원 선분 b) 2차원 평면 d) 3차원 연속체 c) 3차원 곡면
그림 2.1 유한요소 해석모델

4 2.1 Ritz 법과 유한요소법 ⊙ 보간함수 ○ 근사해법에서 기초함수와 동일함 ○ 절점당 하나의 보간함수를 정의함 ○ :
○ :       ▷1차원 해석영역에서 절점 I에서 정의된 보간함수       ▷절점 I 에서 1의 값을 갖고 다른 절점에서는 0의 값을 갖는 구간연속함수       ▷절점 I 와 무관한 요소에서 0의 값 (a) (b) ○ 적분영역을 요소별로 나누어서 적분을 실시할 수 있고, ○ 하나의 요소에 대한 적분시 그 요소의 정의에 사용된 보간함수만 고려하면 됨 (c) ⊙ 수계산 문제의 정의 그림 2.2 보간함수 후보 ○ 문제 1 ○ 문제 2

5 2.2 이산화 및 번호매김 ⊙ 이산화 요구조건 및 목적 ○ 요소 관점에서의 적분 ○ 매우 자유로운 시도함수의 선정
○ 보간함수가 그 역할을 수행함 ⊙ 보간함수 ○ 사고력이 전혀 없는 컴퓨터가 인식하거나 생성할 수 있는 매우 단순한 함수 ⊙ 이산화와 번호매김 체계 ○ 이산화: 해석영역을 유한요소로 분할, 유한요소는 절점에 의해 정의됨 ⊙ 절점 및 요소 번호 매김 ○ 전체번호매김(global numbering)            ▷ 절점과 요소에 중복되지 않도록 순차적으로 번호를 부여함       ▷ 결과에 영향을 주지 못함 ▷ 선형방정식의 해법에 따라 계산시간 및 사용 메모리의 크기에 영향을 줄 수 있음     

6 2.2 이산화 및 번호매김 ○ 최적절점매김: 계산시간과 소요 메모리의 최소화
      ▷띠형행렬법(banded matrix metod), 벤드폭(bandwidth)       ▷스카이라인법(skyline method), 스카이라인 아래의 성분 수 a) banded matrix b) skyline 그림 2.3 유한요소법에서의 강성행렬 ○ 적절점매김 불필요 선형방정식 해법: 각종 반복법,       저밀도행렬기법(sparse matrix technique), 전선해법(frontal solution method)

7 2.2 이산화 및 번호매김 ⊙ 이산화 관련 부호 규약 ○ 절점번호: 대문자 (I,J,K,L)
그림 2.4 해석영역 이산화 ○ 절점번호: 대문자 (I,J,K,L) ○ 요소번호: ○가 씌워진 소문자 또는 대문자로 표시 ○ 요소 수: M ○ 절점 수: N ○ 유한요소 해석모델:       ▷절점과 요소로 구성된 해석 대상 형상 정보(협의의 유한요소 해석모델)       ▷경계조건(하중 포함) 관련 정보       ▷절점의 수, 요소의 수, 절점의 좌표, 요소의 연결정보, 경계조건, 소재정보 ○ : 절점 I의 좌표 그림 2.5 유한요소 해석모델

8 2.3 보간함수와 절점치 ⊙ 유한요소기교(finite element technique)의 핵심: 보간함수
    ○ 보간함수 = Ritz 법에서 기초함수와 동일한 역할 수행     ○ 보간함수에 대한 적합성 조건(compatibility condition): 연속함수     ○ 보간함수에 대한 완전성 조건(completeness condition): 보간함수의 선형조합인 시도 함수가 각 요소에서 임의의 p차 이하의 다항식을 정확하게 표현할 수 있어야 함 ⊙ 보간함수(shape function, SF) ○ 표준보간함수(standard SF): 대부분 이 보간함수를 사용함     ○ 계층보간함수(hierarchical SF): 요소망 조밀화시 유리, 무한영역 문제에 유리 ⊙ 선형요소     ○ 2차 미분방정식의 경우, 적합성조건과 완전성조건을 만족하는 최소 차수의 요소     ○ 보간함수가 선형(2중선형, 3중선형 포함)임

9 2.3 보간함수와 절점치 ⊙ ○ 1차원 선형요소의 절점 에 정의된 보간함수
○ 1차원 선형요소의 절점 에 정의된 보간함수 ○ ① 절점에서: 절점 에서 1의 값을 갖고 나머지 절점에서 0의 값을 가진다. 즉, 또는 ② 요소내부에서: 절점에서 0 또는 1로 주어진 보간함수의 값을 선형적으로 연결한다. ○ 함수의 구체적 표현 그림 2.6 보간함수

10 2.3 보간함수와 절점치 ☞ 해석모델의 형상정보 ○보간함수 ○ ○ 예제 2.1 보간함수의 계산 요소 ① 에서 요소 ② 에서
요소 ③ 에서 ③ 요소 ④ 에서 ④ ○ ③ ③ ③ ③ ③ ③

11 2.3 보간함수와 절점치 ⊙ ○ 정의구역을 요소 ⓙ로 하는 ○ ○ ○ ⊙ 절점치 ○
ⓔ ○ ○ ○ ⊙ 절점치 ○ ○ 가 온도 분포라면, 는 절점 I의 온도를 의미함

12 2.3 보간함수와 절점치 ⊙ 필수 경계조건의 부과 ○ 예: ○ ○ ⊙ 자유도 ○ 절점당 자유도: 절점당 미지수의 수
○ 요소당 자유도: 절점당 자유도 × 요소당 절점의 수       ○ 문제 전체의 자유도: 절점당 자유도 × 전체 절점의 수 - 기지의 변수 수

13 2.4 유한요소방정식의 유도 ⊙ 유한요소 이산화 ⊙ 시도함수: ○ ○ 그림 2.7 이산화 및 보간함수 ① ② ③ ① ② ③ ①

14 2.4 유한요소방정식의 유도 ⊙ 경계조건 ○ ○ 유한요소방정식의 유도 이후에 대입함 ⊙ 범함수에 시도함수의 대입
⊙ 함수 가 극값을 가질 조건:

15 2.4 유한요소방정식의 유도

16 2.4 유한요소방정식의 유도 ⊙ 유한요소방정식:

17 2.5 요소방정식 ⊙ <기호규약>     ○ 전체번호매김(global numbering); 해석모델 전체를 대상으로 절점번호를 매김     ○ 국부번호매김(local numbering); 하나의 요소를 대상으로 절점번호를 매김 그림 2.8  국부번호매김 및 첨자규약 ① 전체절점번호: I,J,K,L 등을, 국부절점번호: 등을 ② 〇 내의 숫자 또는 문자는 요소의 번호를 의미함  ③ 상첨자 ⓘ 등을 수반하는 좌표와 절점치(예: , )의 하첨자는 해당 요소  ⓘ의 국부절점번호임 ④ 상첨자가 없거나 상첨자 ⓘ 등을 수반하는 보간함수(예: )의 하첨자는 전체절점번호임 ⑤ (～) 기호를 수반하는 보간함수(예: )의 하첨자는 국부절점 번호임  ⑥ 요소 Ⓜ에서 정의되는 요소치는 하첨자 Ⓜ를 이용하여 로 표시함』 ③ ②

18 2.5 요소방정식 ⊙ 요소 ②의 요소방정식(element equation) ⊙ 기호규약에 따른 요소 ②의 요소방정식
예제 2.3 의 표준형: 적분구간 [-1,1] ☞ ○

19 2.5 요소방정식 ⊙ 요소 ②의 요소방정식의 표준형(standard form)을 위한 좌표변환 ○ ○
자연좌표(natural coordinate) ○ 보간함수: ○ ② ○ ① ③ ○ ② ○ 자코비안(Jacobian): ② ○ 보간함수의 미분: ②

20 2.5 요소방정식 ⊙ 요소 ②의 요소방정식의 일반형 ② ② ② ○ ② ② ② ○ 요소 ②와 관련된 것은 모두 ②를 수반함

21 2.5 요소방정식 ⊙ <요소 ①의 요소방정식> ○

22 2.5 요소방정식 ⊙ <요소 ③의 요소방정식> ○

23 2.5 요소방정식 ⊙ 요소방정식의 계산 ○` ○ 요소 ① ○ 요소 ② ○ 요소 ② ⊙ 요소방정식의 일반형 ○ 요소강성행렬,
○ 요소강성행렬, ○ 하중요소벡터,

24 2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분
⊙ 수치적분 ○ ⊙ 2적분점 Gauss quadrature 법: ○ 가 3차 함수이면, 는 정해와 일치함 ⊙ 예제 ○ 수계산: ○ 피적분함수: ○ Gauss quadrature 법에 근거한 2점 수치적분:

25 2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분
예제 2.4 2점, 3점 수치적분공식 ○ ○ 좌변 ○ 우변 ○ 좌변=우변 ○ 3차 수치적분공식: 예제 2.4 의 2, 3점 수치적분, ☞ 오차 4.8% ○ 오차 0.0% ○ 정답:

26 2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분

27 2.7 요소방정식의 조합 ⊙ 요소방정식 ○ 불완전 방정식, 자체로서는 아무 의미없는 방정식임
○ 전체 문제에 조합될 때 효력을 가짐 ○ 요소방정식이 일반형: ⊙ 요소방정식의 조합 ○ 가정: ○ 조합에 앞서 전체강성행렬 성분 와 전체하중벡터 성분 를 0으로 둠 ○ ○

28 2.7 요소방정식의 조합 ☞ ○ ○ ○ 밴드폭 = 2, 스카이라인 내의 행렬요소 수 = 7 개
○ 강성행렬: 대칭, 상삼각행렬(upper triangular matrix)에서 0의 행렬 요소는 총 3 개 예제 2.4 전체번호매김의 영향 ☞

29 2.8 경계조건의 부과 ⊙ 경계조건 대입이전의 방정식 ○ 경계조건 대입 이전의 유한요소방정식: ○ ○
: 불능 ∵경계조건 미대입 ⊙ 경계조건 의 대입 <방법 1: 소거법> ○ ○ 유한요소방정식:

30 2.8 경계조건의 부과 ☞ <방법 2: 벌칙기법> ○ 유한요소방정식: ○ β: 벌칙상수, 매우 큰 양의 상수
예제 2.7 경계조건 의 대입 ☞ ○ ○

31 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소방정식 ○ 유도 수와 동일한 방정식(미지수)의 수
○ 선형미분방정식 ⇒ 선형방정식, 비선형미분방정식 ⇒ 비선형방정식 ○ 유한요소방정식의 해 = 1차결과치: 온도, 변위, 속도, 압력 ⊙ 파생결과치의 계산: ○ 열전달율, 변형률, 응력, 반력 등등 ○ 미지함수의 미분⇒ 보간함수의 미분 ⇒ 파생변수의 계산 ⊙ 요소치 ○ 선형요소의 경우, 미분값이 요소에서 일정하거나, 요소경계에서 불연속임 ○ 이 경우, 일반적으로 요소 내의 중심점에서 요소치가 계산됨 ○ 절점치를 구하고자 할 경우, 최소자승법으로 요소치를 순화시켜 계산함 ○ 응력, 변형률, 변형률속도, 열전달율

32 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 온도의 절점치 ○ 예제 2.8 벌칙기법에서 일 경우 ☞
벌칙기법에서 일 경우 ☞ ⊙절점에서 정해와 절점치의 비교 ○ ○ ← 초수렴(superconvergence)

33 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소해와 정해의 비교 그림2.9 정해와 유한요소해의 비교
○ 전체적으로 정해를 비교적 잘 반영하고 있음 ○ 기울기(열전도율과 비례함)는 비교적 큰 차이를 보이고 있음 ○ 탄성역학에서 변위구배(displacement gradient, )는 변형률 및 응력과 직결 ○ 도 및 변위 등의 1차결과치가 상당히 정확하더라도 해석결과를 미분하여 구한 파생 결과치들에는 비교적 큰 오차가 개입될 수 있음

34 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ≒ 41% ⊙ 기울기 오차의 정량화 ○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의
○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의 1차원 열전도방정식 ○ 총 열생성율: 그림 2.10 열생성율과 열전도율 ○ 유한요소해석결과 외부로 전달되는 열전달율 ○ 절점의 수를 증가시킨다면, ▷ ▷ ○ ≒ 41% 그림 2.11 요소밀도 증가와 정확도 개선

35 그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1]
2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 경계에서 불균형 항(외부로 전달되는 열유동량)의 계산 ○ 요소방정식을 이용한 경계에서 열전달율의 계산 그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1] ○ 불균형항의 계산: ○ 경계조건 부과 이전의 유한요소방정식으로부터 경계에서 열전달율의 계산

36 2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ⊙ 경계조건 부과 시점에 따른 유한요소방정식의 표현 차이
○ 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 ○ 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 예제: 경계조건 <방법 1> 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 ⊙ 시도함수: ○ 경계조건(B.C.)을 반영하지 않았음 ⊙ 유한요소방정식의 유도 ○ ○ ○ ○

37 2.10 유한요소방정식의 일반형유도 <방법 2> 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 절점의 분류 ○
{ 는 모든 절점번호} ○ { 는 필수경계조건이 부과된 절점 번호} ○ { 는 자유도가 구속되지 않은 절점 번호} ○ ⊙ 예제:

38 2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ○ ○ ○ ○ ○ 또는