오늘의 주제 : 수학과 문명의 발달.

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1 오늘의 주제 : 수학과 문명의 발달

2 CONTENTS 1교시. 유한산술과 손자산경 2교시. 전략과 게임 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬
4교시. 아름다운 수학-프랙털 By. Angrymomo

3 1교시. 유한산술과 손자상경 <유한산술과 손자상경> 10411 이규정

4 1교시. 유한산술과 손자상경 공통점 : 합동(congruent) 설명
1교시. 유한산술과 손자상경 유클리드 - 원론 가우스 - 정수론 공통점 : 합동(congruent) 설명 정수 Z를 어떤 기준을 통해 유한개의 부류로 분할하는 일에서 시작.

5 EX – 정수를 2로 나누어 나머지가 0인 경우와 나머지가 1이 되는 경우로 분류하는 경우
1교시. 유한산술과 손자상경 EX – 정수를 2로 나누어 나머지가 0인 경우와 나머지가 1이 되는 경우로 분류하는 경우 짝수 대표 정수 – 0, 홀수 대표 정수 + 1 . 1 유한산술(finite arithmetic), 법산술(modular arithmetic) 1+1= 0 (mod2) 2가 법으로는 0과 합동인 관계!

6 EX – 정수를 2로 나누어 나머지가 0인 경우와 나머지가 1이 되는 경우로 분류하는 경우
1교시. 유한산술과 손자상경 EX – 정수를 2로 나누어 나머지가 0인 경우와 나머지가 1이 되는 경우로 분류하는 경우 + 1 2 . 1 2 1+2 = 3 =0 (mod3) = 4 = 1 (mod3)

7 ‘중국인의 잉여정리＇라는 중요한 정리로 정수론에 큰 기여를 하였다.
1교시. 유한산술과 손자상경 이미 이러한 산술은 1500년 전 중국의 저술 <손자산경>에 등장하고 있었다. ‘중국인의 잉여정리＇라는 중요한 정리로 정수론에 큰 기여를 하였다.

8 1교시. 유한산술과 손자상경 간단한 설명으로 말하자면…
1교시. 유한산술과 손자상경 간단한 설명으로 말하자면… 3으로 나누면 나머지가 1이 되고 4로 나누면 나머지가 2가 되는 정수를 모두 구하면 K (K는 정수) 가우스의 형식으로 쓰면 * X = 1 (mod3) * X = 2 (mod4) 를 풀면 X = 10 (mod12) (단, 3과 4는 서로소) 따라서 3a + 4b = 1 이 되는 정수 a= 3, b= -2 이때 1x4b + 2x3a = 10 -> 10, 22, 34, … 가 그 양수해가 됨.

9 11 + 4 = 14 = 2 (mod12) * 우리가 사용하는 시계의 산술
1교시. 유한산술과 손자상경 = 14 = 2 (mod12) * 우리가 사용하는 시계의 산술 유한산술 개념 -> 이데알 이론 -> 추상 대수학의 발전

10 2교시. 전략과 게임 <전략과 게임> 11105 김지수

11 2교시. 전략과 게임 게임이론이란? What is game theory?
경쟁 상대의 반응을 고려해 자신의 최적 행위를 결정해야 하는 상황에서 의사결정 형태를 연구하는 경제학 및 수학 이론이다.

12 2교시. 전략과 게임 수학자인 ‘폰 노이만’과 경제학자인 ‘모르겐슈테른＇의 저서를 통해 게임이론이 1944년에 등장하였다.

13 2교시. 전략과 게임 1994년 노벨 경제학상을 수상한 존 내쉬의 ‘내쉬균형＇에 의해 발전했으며 다양한 분야에서 폭넓게 활용되어 왔다. 존 내쉬

14 2교시. 전략과 게임 제로섬 게임(영합 게임) 게임 이론에서, 참가자가 제각기 선택하는 행동이 무엇이든지 각 참가자의 이득과 손실의 총합이 제로가 되는 게임. 예를 들어, 내가 100원을 따면, 상대방은 100원을 잃어 두 사람의 득과 실의 합이 0이 된다. 반대의 경우도 마찬가지이다.

15 2교시. 전략과 게임 제로섬 게임(영합 게임) 1. A가 나름대로 둘로 자릅니다.  2. B가 먼저 둘 가운데 하나를 가집니다.

16 2교시. 전략과 게임 논제로섬 게임(비영합 게임)
승자의 이익과 패자의 득과 실의 합이 0이 되지 않을 뿐 아니라, 항상 시가 총액도 변하고 있기 때문이다.

17 2교시. 전략과 게임 논제로섬 게임(비영합 게임) 관련 영상

18 2교시. 전략과 게임 죄수의 딜레마 이론적인 게임의 대표적인 예인 죄수의 딜레마
두 명의 절도 용의자 다연이와 상욱이가 격리실에서 각각 검사로부터 자백을 회유 받는다는 일을 가정한다.

19 2교시. 전략과 게임 한 명이 자백하고 다른 한 명이 묵비권을 행사하면, 자백한 용의자는 방면되고 다른 한 명은 15년 형을 받는다. 두 명이 모두 자백하면 모두 10년 형을 받는다. 두 명이 모두 묵비권을 행사하면 나란히 1년 형을 받는다.

20 2교시. 전략과 게임

21 2교시. 전략과 게임 최적의 선택이 불가능한 이유 이 게임에서 최적의 선택이 불가능한 근본적 원인은 협조가 차단된 환경(격리)으로부터 비롯된다. 격리된 환경에서의 취조 때문에 의사소통이 어려워 서로를 불신하게 되기 때문이다

22 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 <천사의 나팔과 코흐의 섬> 11121 권강민

23 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 목차 천사의 나팔에 대한 관심, 계기 천사의 나팔의 부피와 겉넓이 코흐의 눈송이 그리는 법
3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 목차 천사의 나팔에 대한 관심, 계기 천사의 나팔의 부피와 겉넓이 코흐의 눈송이 그리는 법 코흐의 눈송이 넓이 구하는 법 시어핀스키 삼각형의 정의와 특징 <코흐>

24 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 갈릴레오의 제자이며, 기압계를 발명하였던 토리첼리는 어느날 함수 f(x)=1/x (x>1)을 x축으로 회전시킨 아래 그림 같은 나팔모양의 회전체에 관심을 가졌다.

25 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 토리첼리 트럼펫 위에 있는 것이 토리첼리 트럼펫, 천사의 나팔의 겉넓이 공식이고,
3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 토리첼리 트럼펫 위에 있는 것이 토리첼리 트럼펫, 천사의 나팔의 겉넓이 공식이고, 옆에 있는 것이 부피의 공식이다. 또한, 토리첼리의 트럼펫의 겉넓이를 구하면서, 나오는 수열은 조화급수라고 한다.

26 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 코흐의 눈송이 그리는 법 1. 먼저 정삼각형을 그린다.
3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 코흐의 눈송이 그리는 법 1. 먼저 정삼각형을 그린다. 2. 정삼각형의 각변을 3등분하여 가운데의 1/3부분을 삭제하고, 삭제한 부분에 길이가 1/3인 두변을 정삼각형의 두변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 3. 만들어진 각변에 대해 2의 과정을 계속 반복한다.

27 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 코흐의 눈송이 넓이

28 3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 시어핀스키 삼각형 <시어핀스키 삼각형>
3교시. 천사의 나팔과 코흐의 섬 시어핀스키 삼각형 <시어핀스키 삼각형> 시어핀스키 삼각형은 1915년 폴란드의 시어핀스키가 만든 자기 유사성의 패턴이 반복되는 하나의 프랙털이다. <특징> 옆에 있는 사진을 보면 알 수 있지만, 시어핀스키의 삼각형은 이런 단계를 계속해나가면, 넓이는 0이 된다.

29 4교시. 아름다운 수학-프랙털 <아름다운 수학-프랙털> 11313 이선용

30 4교시. 아름다운 수학-프랙털 프랙털의 어원: ‘부서진’이란 뜻의 라틴어 프락투스(fractus)로부터 파생되었다.
프랙털: 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태로 ‘자기 유사성‘과 ‘순환성’이라는 특징을 가진다. 이 말은 1960년대에 프랑스 수학자 만델브로에 의해 만들어졌다. <프랑스 수학자 만델브로>

31 4교시. 아름다운 수학-프랙털 프랙털 연구의 시작: 영국의 수학자 리처드슨의 질문인 “영국 해안선의 길이는 얼마인가?“에서 출발하였다. 이 물음에 대해 만델브로가 1967년에 3쪽의 논문을 발표하면서 이 논문을 통해 프랙털을 일반인들에게 널리 알리는 계기가 되었다. <영국 수학자 리처드슨>

32 4교시. 아름다운 수학-프랙털 프랙털의 차원: 1차원(직선), 2차원(평면), 3차원(입방체)과는 달리 프랙털 도형의 차원은 분수차원으로 표현된다. 1차원의 단순한 직선과 프랙털로 나타나는 주름진 선은 다르므로 프랙털 차원은 분수로 나타내는 것이다. 프랙털 차원을 D라고 하고, 그 도형은 r등분하였을 때 닮은 도형이 N개 생긴다면 𝑫= 𝒍𝒐𝒈 𝒓 𝑵 라는 식이 나온다. 이 계산에 의해 코흐의 섬 경계선의 프랙털 차원은 𝑫= 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟒 =𝟏.𝟐𝟔𝟏𝟖… 이고 시어핀스키 삼각형에서의 차원은 𝑫= 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 =𝟏.𝟓𝟖𝟓… 이다.

33 4교시. 아름다운 수학-프랙털 프랙털의 점화식: 𝒛 𝒏+𝟏 = 𝒛 𝒏 𝟐 +𝒄 에서 복소수 c의 값을 정해준 뒤 복소평면의 점 𝒛 𝟎 를 변화시켜 얻어지는 수열을 복소평면에 나타내는 과정에서 프랙털이 만들어진다. 하지만 이 식에서 c의 차이가 아주 작아도 경계의 모양이 너무나도 다르게 나타나서 c값에 따른 경계의 변화를 관찰하는 것은 너무나 어려운 일이었다. 이를 조견의 미세한 차이가 전혀 다른 결과로 도출되는 ‘혼돈이론’이라고 한다. 하지만 현대에는 컴퓨터가 이를 대신하고 있다.

34 4교시. 아름다운 수학-프랙털 주변에서의 프랙털: 고사리와 같은 양치류 식물, 움푹 들어간 해안선 안에 또 굴곡진 해안선이 반복되는 리아스식 해안선, 큰 번개 줄기에서 작은 번개 줄기 가 갈라져 나오고 또 더 작은 번개가 갈라져 나오는 번개, 큰 번개 줄기에서 작 은 번개 줄기가 갈라져 나오고 또 더 작은 번개가 갈라져 나오는 번개, 인형 안 에 동일한 인형이 들어 있는 러시아 인형 마트료시카 등 수많은 곳에서 프랙털 의 성질을 볼 수 있다.

35 감사합니다.