물체의 운동 Motion of a Particle

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1 물체의 운동 Motion of a Particle

2 직선운동 위치, 변위(거리) 기준점 x x1 x2 움직임에는 시간이 필요하다! t1 t2 움직이는 입자에 대한 관찰
관측시작위치 관측 종료위치 위치의 차이(변위): 이동거리 = (x2 – x1) 움직임에는 시간이 필요하다! 관측경과시간 = (t2 – t1) t1 t2 관측시작시간 관측 종료시간 움직이는 입자에 대한 관찰 기준점으로부터의 거리 두 값의 차이를 표현할 때 ‘△’ 심볼을 사용한다. 예: 위에서 관측경과시간 (t2 – t1) 은 △t, 물체의 변위 (x2 – x1) 는 △x로 나타낸다.

3 단위시간(1초) 당 변위(이동한 거리) = 10m / 4초 = 2.5m/초
t1 = 2018년 3월 21일 10시 30분 5초 t2=2018년 3월 21일 10시 30분 9초 관측 시작시간 관측 종료시간 기준점 x 0m x1= 5m x2= 15m 처음위치 최종위치 이동거리(△x) = (x2 – x1) = 15m – 5m = 10m 관측시간(△t) = (t2 – t1) = 2018년 3월 21일 10시 30분 9초 년 3월 21일 10시 30분 5초 = 4초 단위시간(1초) 당 변위(이동한 거리) = 10m / 4초 = 2.5m/초 평균 속도의 정의 위 물체의 평균 속도 특별한 경우가 아니면 처음위치를 기준위치로(0m)로 정한다. 그러면 최종위치는 자동으로 이동거리가 됨. 특별한 경우가 아니면 관측시작시간을 0초로 정한다. 그러면 최종시간은 자동으로 경과시간이 됨.

4 시간과 움직이는 물체의 위치관계를 명확히 표현하려면 아래와 같이 평면좌표를 사용한다.
속도 시간과 움직이는 물체의 위치관계를 명확히 표현하려면 아래와 같이 평면좌표를 사용한다. 위치 시간 t1 t2 x1 x2 (t2 – t1) (x2 – x1) 평균속도(v) = 이동거리 / 이동시간 (x2 – x1) / (t2 – t1) 옆의 그래프에서 (t2 – t1) 은 직각 삼각형의 밑변이고, (x2 – x1) 은 직각 삼각형의 높이 이므로 (x2 – x1) / (t2 – t1) 는 직각삼각형의 빗변의 기울기에 해당한다. 따라서 시간에 대한 위치의 그래프에서 두 위치를 연결하는 직선의 기울기가 곧 속도이다. 위치 시간 t1 t2 x1 기울기=0, 속도=0m/초 위치 시간 t1 t2 x1 기울기=2, 속도=2m/초 x2

5 가속도 기준점 x 속도(v) 움직이는 물체를 세 시점에서 위치를 관측하였다. 0초 1초 3초 A B C 0m 5m 7m 15m
관측시작 기준점 0초 1초 3초 A B C x 0m 5m 7m 15m A,B 구간에서의 평균속도 = (7m-5m)/ 1초 = 2m/초 B,C 구간에서의 평균속도 = (15m-7m) / (3초-1초) = 4m/초 시간과 위치관계로 나타내면 위치 15m 두 직선의 기울기가 다르다는 것은 두 구간에서의 평균속도가 다르다는 의미 A,B구간에서의 평균속도(2m/초)를 B지점의 속도로 보고, 또 BC구간의 평균속도(4m/초)를 C지점의 속도로 본다면. B,C 구간에서 속도가 변화한 것을 알 수 있다. 7m 5m 시간(초) 초 초 속도(v) 속도(v1)=2m/초 0m 1초 3초 B C 속도(v2)=4m/초 속도의 변화(△v) = (4m/초 – 2m/초) = 2m/초

6 속도(v) 가속도: 단위시간(초) 당 속도의 변화 속도 v2 가속도(a) = 속도의 변화량 / 이동시간
속도(v1)=2m/초 0m 1초 3초 B C 속도(v2)=4m/초 속도의 변화(△v) = (4m/초 – 2m/초) = 2m/초 위의 관찰에서 2초 사이에 속도가 2m/초 변한 것을 알 수 있다. 이 것은 평균 1초당 1m/초의 속도가 증가했음을 알 수 있다. 이와 같이 단위 시간당 변하는 속도를 움직인 구간 내에서의 평균가속도라고 한다. 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다. (2m/초) / (2초) = (1m/초)/초 = 1m/초2 (이후로 초는 영어로 sec로 표기하겠음) 가속도: 단위시간(초) 당 속도의 변화 속도 시간 t1 t2 v1 v2 움직이는 물체의 속도와 시간의 관계를 그래프로 나타냈을 때 두 속도 사이의 직선의 기울기는 가속도를 나타낸다. 가속도(a) = 속도의 변화량 / 이동시간 (v2 – v1) / (t2 – t1)

7 등가속도 움직이는 물체의 가속도는 매 순간 변화할 수 있을 것이다. 이렇게 가속도가 변화하는
움직이는 물체의 가속도는 매 순간 변화할 수 있을 것이다. 이렇게 가속도가 변화하는 물체의 움직임은 복잡해서 쉽게 분석하기 어렵다. 그러나 가속도가 변하지 않고 일정하다면 이런 움직임은 꽤 정확히 분석하고 예측할 수 있다. 등가속도 운동의 예: t +x x0 기울기=v 기울기=v0 등가속도 운동에서의 위치, 속도, 가속도의 그래프 시간에 대한 위치의 그래프 +v v0 at v 기울기 = a 시간에 대한 속도의 그래프 +a a 기울기 = 0 시간에 대한 가속도의 그래프

8 등가속도 직선 운동 직선상에서 움직이는 물체를 분석하기 위한 식에는 다음과 같은 심볼이 사용된다.
직선상에서 움직이는 물체를 분석하기 위한 식에는 다음과 같은 심볼이 사용된다. 관측 시작시간 t1 을 항상 0으로 표현한다 관측 종료시간 t2 를 임의의 시간의 의미로 첨자 없이 t로 표현한다. 초기 속도 v1 를 v0 로 표현한다. 최종 속도 v2 = v 로 표현한다. 가속도를 a로 표현한다. 이동거리(변위)는 (x2 – x1), 또는 △x로 표현한다. ① a = ( v – v0 ) / t 시간과 속도에 대한 함수로서의 가속도 이 식을 변형하면 … 시간 t 동안에 증가한 속도 ② v = v0 + a t 시간에 대한 함수로서의 속도 을 유도할 수 있으며 이 식은 초기속도와 가속도만 알면 임의의 시점에서의 입자의 속도를 계산하는데 유용하게 사용될 수 있다.

9 = 등가속 운동에서는 속도가 1차원적으로 변화하므로(앞 에이지의 그래프 참조) 임의의 구간에서의
평균속도는 초기 속도 v0 와 최종속도 v 의 평균 값으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. v = ( v0 + v ) / 2 v = ( v0 + v ) / 2 ( x – x0 ) = ½ (v + v0) t ③ 시간과 속도에 대한 함수로서의 변위 = 아래 위 두 식으로부터 v = ( x – x0 ) / ( t – 0 ) ③번 식에 v = (v0 + a t)를 대입하면 ③번식에 ④ ( x – x0 ) = v0 t + ½ a t2 시간에 대한 함수로서의 변위 v – v0 a t = 를 대입 하면 x – x0 = ½ (v0 + v) v – v0 a = v 2 – v02 2a 혹은 v2 = v a ( x – x0 ) 변위에 대한 함수로서의 속도 ⑤

10 ② Δx = ½ (v + v0) t ③ Δx = v0 t + ½ a t2 ① v = v0 + a t ④
초 종 거 시 ③ Δx = v0 t + ½ a t2 초 가 거 시 ① v = v0 + a t 초 종 가 시 ④ 초 종 가 거 초: v0 종: v 가: a 시: t 거: Δx 평균속도 1차원 운동의 주요 공식 v2 = v a Δx

11 평면운동(포물선운동) 물체를 수직으로 던졌다면 물체는 수직으로 올라갔다가 다시 반대방향으로 떨어지는 직선 운동을 할 것이다.
θ 물체를 수직으로 던졌다면 물체는 수직으로 올라갔다가 다시 반대방향으로 떨어지는 직선 운동을 할 것이다. 그러나 옆의 그림과 같이 비스듬히 던졌다면 물체는 점선을 따라서 포물선을 그리게 될 것이다. 이와 같은 포물선 운동은 직선상에 그릴 수 없고 두 개의 축(x축, y축)을 포함하는 평면에 그려야 한다(평면운동). 중력가속도는 항상 아래쪽을 향한다. 중력가속도는 수직운동에만 적용된다. (중력가속도의 수평성분은 0이다) 포물선운동은 수직운동과 수평운동의 합으로 이루어져 있다. 따라서: 수직운동은 자유낙하 운동과 같은 규칙이 적용된다. 수평운동은 속도의 변화가 없이(공기저항무시) 초기 수평속도로 등속도 운동을 지속한다. 수평성분 초속도 수직성분 초속도

12 x = vo cos(20) * t x = vo cos(20) * 0.768 = 7.94 (m) 예제:
수평에 대하여 20도의 각도로 초속 11m/s의 속도로 물체를 쏘아 올렸다 이 물체가 날아간 수평거리는 얼마인가? 이 물체가 도달한 최고 높이는 얼마인가? 풀이: 이 물체가 t초 동안 날아갔다고 하면 t초 후의 x축 상의 위치는 x = vo cos(20) * t 포물선 운동은 가장 높은 점을 기준으로 좌우 대칭이므로 날아간 전체시간은 가장 높은 위치까지 올라가는데 걸린 시간의 두 배이다. 따라서 (11m/s) * sin(20) – (9.8 m/s2) * t = 0 으로부터 t = 초 날아간 전체시간: * 2 = 0.768초 따라서, 0.768초 후의 물체의 x축 상의 위치는 x = vo cos(20) * = 7.94 (m) b) 가장 높은 위치까지 도달하는 데 걸린 시간이 초 이므로 y = vo sin(θ) t - (1/2) g t2 : = 0.722m

13 y x (17.3)2 + (-31.4)2 = 35.9 m/s 속력은 속도 벡터의 길이: 예제:
a) 돌이 땅에 떨어질 때 까지의 시간은 얼마인가? b) 돌이 땅에 부딪히는 순간의 돌의 속력은 얼마인가? c) 돌은 건물로부터 수평으로 몇m 떨어진 곳에 떨어지나? y v0 = 20 m/s 풀이 a) 돌이 땅에 부딪힐 때의 y 값은 -45 따라서 y값이 -45가 될 때의 시간 t는 -45m = (20m/s) sin(30) t – (1/2)(9.8 m/s2) t2 로부터 t = 4.22 초 30° x 45m (x, -45) 풀이 b) vx = 20 * cos(30) = 17.3 (m/s) : 항상 일정한 값 vy = 20 * sin(30) – 9,8 * 4.22 = (m/s) 따라서 땅에 부딪히는 순간의 속도: (17.3) i + (-31.4) j 속력은 속도 벡터의 길이: (17.3)2 + (-31.4)2 = m/s