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4장 기하학적 객체와 변환 - 표현 학습목표 차원과 기저 등의 개념을 이해한다
벡터공간의 표현을 위한 좌표계와 아핀 공간의 표현을 위한 프레임을 이해한다 좌표의 변경과 프레임 변경을 이해한다 동차 좌표계를 이해한다
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선형 독립성 (linear independence)
벡터 v1, v2, …, vn 의 집합은 다음 조건을 만족할 때 선형독립적이라고 한다 a1v1+a2v2+.. anvn=0 iff a1=a2=…=0 벡터들의 집합이 선형 독립적이면 하나의 벡터를 다른 벡터들을 이용해서 표현할 수 없다. 벡터들의 집합이 선형 종속적이면 적어도 하나의 벡터를 다른 벡터들을 이용해서 나타낼 수 있다.
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차원 (dimension) 벡터 공간에서 선형 독립적인 벡터들의 개수의 최대값은 고정되어 있고, 그것을 그 공간의 차원이라고 한다 n-차원 공간에서, 임의의 n 개의 선형 독립적 벡터들의 집합은 그 공간의 기저(basis)를 구성한다. v1, v2,…., vn 의 기저가 주어질 때, 임의의 벡터 v는 다음과 같이 쓸 수 있다 v=a1v1+ a2v2 +….+anvn 여기서 {ai} 는 유일(unique)하다.
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지금까지 좌표계와 같은 참조 시스템을 사용하지 않고 기하학적 개체에 대해서 작업할 수 있었다.
표현(representation) 지금까지 좌표계와 같은 참조 시스템을 사용하지 않고 기하학적 개체에 대해서 작업할 수 있었다. 점이나 개체 등을 실세계와 연관시키기 위해서는 참조 시스템이 필요하다 예를 들어, “점의 위치는 어디인가?”라는 질문은 참조 시스템이 없이는 대답될 수 없다 세계 좌표계 카메라 좌표계
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좌표계(coordinate system)
기저 v1, v2,…., vn 가 있을 때 하나의 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다 v=a1v1+ a2v2 +….+anvn 스칼라의 리스트 {a1, a2, …. an}를 주어진 기저에 대한 v 의 표현이라고 한다. (ai : 성분) 표현을 스칼라의 열이나 행으로 쓸 수 있다 a = [a1 a2 …. an]T =
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예 v=2v1+3v2-4v3 a=[2 3 –4]T 이 표현은 특정 기저에 대한 표현임을 주의 예를 들어, OpenGL 에서 벡터들을 세계 기저를 사용해서 표현하는 것으로 시작하지만 나중에는 시스템이 카메라 기저를 사용한 표현을 필요로 한다
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좌표계 어느 것이 올바른가? 두 개 다 올바르다. 벡터에는 고정된 위치가 없기 때문이다 v v
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프레임 좌표계는 점들을 표현하기에는 불충분하다 아핀공간에서 작업하면, 원점이라는 하나의 점을 기저벡터들에 추가함으로써 프레임(frame)을 구성한다 v2 v1 P0 v3
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프레임에서의 표현 (P0, v1, v2, v3)에 의해서 정해지는 프레임 이 프레임에서, 모든 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다 v=a1v1+ a2v2 +….+anvn 모든 점은 다음과 같이 쓸 수 있다 P = P0 + b1v1+ b2v2 +….+bnvn
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점과 벡터의 혼용 다음의 점과 벡터를 생각해 보자 P = P0 + b1v1+ b2v2 +….+bnvn
v=a1v1+ a2v2 +….+anvn 이것들은 비슷한 표현을 갖는 것처럼 보인다 p=[b1 b2 b3] v=[a1 a2 a3] 이것은 점과 벡터의 혼동을 일으킨다 벡터는 위치를 갖지 않는다 v p v 점 : 고정 벡터 : 어디든 놓여질 수 있다
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동일한 표현 0•P = 0 , 1•P =P 로 정의하면 다음과 같이 쓸 수 있다 v=a1v1+ a2v2 +a3v3 = [a1 a2 a3 0 ] [v1 v2 v3 P0] T P = P0 + b1v1+ b2v2 +b3v3= [b1 b2 b3 1 ] [v1 v2 v3 P0] T 따라서 4차원 동차좌표(homogeneous coordinate) 표현을 얻는다 v = [a1 a2 a3 0 ] T p = [b1 b2 b3 1 ] T
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동차좌표 4차원 동차좌표의 일반적 형태는 p=[x y x w] T 다음 관계에 의해서 3차원 점 (for w0)으로 돌아온다 xx/w yy/w zz/w w=0이면 벡터의 표현이다 동차좌표는 3차원의 점을 4차원에서 원점을 통과하는 직선으로 치환한다
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동차좌표는 모든 컴퓨터 그래픽스 시스템의 핵심이다
동차좌표와 컴퓨터 그래픽스 동차좌표는 모든 컴퓨터 그래픽스 시스템의 핵심이다 모든 표준 변환들(회전, 이동, 크기변환)은 4 x 4 행렬과의 행렬 곱으로 구현될 수 있다 하드웨어 파이프라인은 4차원 표현에 대해서 동작한다 직교관측에서, 벡터에 대해서는 w=0, 점에 대해서는 w=1 이다 투시관측에서는 투시제산(perspective division) 을 필요로 한다
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좌표계의 변경 같은 벡터의 두 개의 다른 기저들에 대한 두 개의 표현을 생각해 보자 w=a1v1+ a2v2 +a3v3 = [a1 a2 a3] [v1 v2 v3] T =b1u1+ b2u2 +b3u3 = [b1 b2 b3] [u1 u2 u3] T a=[a1 a2 a3 ] b=[b1 b2 b3] 여기서
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u1 = g11v1+g12v2+g13v3 u2 = g21v1+g22v2+g23v3 u3 = g31v1+g32v2+g33v3
좌표계의 변경 기저 벡터들인 u1,u2, u3 는 첫 번째 기저들을 이용해서 표현될 수 있는 벡터들이다 u1 = g11v1+g12v2+g13v3 u2 = g21v1+g22v2+g23v3 u3 = g31v1+g32v2+g33v3 w M =
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좌표계의 변경
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좌표계의 변경
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프레임의 변경 동차 좌표계에서 점과 벡터의 표현에 대해서 비슷한 방식을 적용할 수 있다 두 개의 프레임을 생각해보자 점과 벡터가 각각의 프레임에서 표현될 수 있다 (P0, v1, v2, v3) (Q0, u1, u2, u3) u2 u1 v2 Q0 P0 v1 u3 v3
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u1 = g11v1+g12v2+g13v3 u2 = g21v1+g22v2+g23v3 u3 = g31v1+g32v2+g33v3
프레임의 변경 기저의 변경에서 했던 것을 확장 u1 = g11v1+g12v2+g13v3 u2 = g21v1+g22v2+g23v3 u3 = g31v1+g32v2+g33v3 Q0 = g41v1+g42v2+g43v3 +P0 4 x 4 행렬을 정의 M =
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프레임의 변경
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표현에 대해서 작업 두 프레임에서 임의의 점이나 벡터는 같은 형식의 표현을 갖는다 a=[a1 a2 a3 a4 ] : 첫 번째 프레임에서 b=[b1 b2 b3 b4 ] : 두 번째 프레임에서 여기서 점이면 a4 = b4 = 1 이고, 벡터이면 a4 = b4 = 0 이다 행렬 M 은 4 x 4 이고 동차 좌표계에서 아핀 변환을 나타낸다 a=MTb
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아핀 변환 모든 선형 변환은 프레임의 변경과 등가적이다 모든 아핀 변환은 직선을 보존한다 그러나, 아핀 변환은 행렬 중에 4 개의 원소가 고정되어있고 모든 가능한 4 x 4 선형변환의 부분집합이기 때문에 12 자유도 만을 갖는다.
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세계 좌표계와 카메라 좌표계 표현에 대해서 작업할 때, n-튜플에 대해서 작업한다 프레임의 변경은 4 x 4 행렬로 정의된다 OpenGL에서, 우리가 시작하는 기본 프레임은 세계 프레임이다 결국에는 개체들을 카메라 프레임에서 표현하게 되는데, 세계 좌표계에서의 표현을 모델-관측 행렬을 이용해서 변경함으로써 가능하다 초기에는 두 프레임이 같다 (M=I)
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