주요 내용 행렬 스칼라, 벡터, 행렬 행렬의 합과 곱 여러가지 행렬들 전치 행렬 정방 행렬 역가능 행렬 역 행렬 행렬식

스칼라, 벡터 스칼라(scalar) 하나의 데이터 값으로 이루어진 것을 스칼라라고 한다. 예: 김 복돌의 키가 175cm일 때, x=175라고 하면 x는 스칼라이다. 벡터(vector) 하나의 배열로 이루어진 데이터 값을 벡터라고 한다. 예: 7명의 학생들의 키가 다음과 같다. 167, 175, 168, 182, 174, 178,184 이때 학생들의 키를 다음과 같이 나타낼 수 있다. x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7), x1=167, x2=175,… 이와 같이 하나의 배열로 이루어진 여러 값을 하나의 벡터로서 표현할 수 있다.

벡터의 표현 x 혹은 으로 표현한다. x=(x1, x2, … , xn) 구성 요소(entry 혹은 element) 영 벡터(zero vector) 모든 xi=0인 벡터 벡터의 합 u = (u1, u2, ... , un) v = (v1, v2, ... , vn) u +v = (u1+v1, u2+v2, ... , un+vn)

스칼라 곱 ku = (ku1, ku2, ... , kun) 음수 벡터(negative vector) -u = -1 (u) u – v = u + (-v) 벡터의 내적(dot product 혹은 inner product) u  v = u1v1+ u2v2+ ... +unvn 벡터의 내적의 결과는 스칼라이다. 벡터의 길이(length 혹은 norm) ∥u∥= ∥u∥> 0

행렬(matrix) 행렬은 여러 숫자들을 직사각형 모양의 2차원 배열로 표현한 것이다. 행(row) 열(column) mxn 행렬이라고 한다.

행렬 A = 은 2×3 행렬이다. 이 행렬의 행(벡터)들은 [2, 3, 5]와 [1, -7, 6]이고 열(벡터)은 , , 이다. 2×2 영 행렬(zero matrix)은 다음과 같은 행렬이다.             0 = 동일 행렬: = 그러면 두 행렬의 대응하는 값들은 같아야 한다.   즉, a + b = 5, a - 2b = -1, 2c + d = 9, c - 3d = -6   위 식들의 해는 a = 3, b = 2, c = 3, d = 3

행렬의 합 A =[aij]와 B = [bij]를 같은 크기의 m×n 행렬들의 합은 다음과 같이 정의된다.

행렬 A와 스칼라(scalar) k의 곱 음의 행렬(negative matrix) -A = (-1)A A-B = A+(-B)

A, B, C는 같은 크기를 갖는 행렬이고 k와 k’은 스칼라이면 다음과 같은 관계식이 성립한다. (ⅰ) (A + B) + C = A + (B + C)    (ⅱ) A + 0 = 0 + A    (ⅲ) A + (-A) = (-A) + A = 0    (ⅳ) A + B = B + A    (ⅴ) k(A + B) = kA + kB    (ⅵ) (k + k′)A = kA + k′A    (ⅶ) (kk′)A = k(k′A)    (ⅷ) 1A = A

행렬의 곱 같은 수의 요소들을 가진 행 행렬 A = [ai]와 열 행렬 B = [bi]의 곱 AB

일반적인 행렬의 곱 A = [aik]와 B = [bkj]가 A의 열들의 수가 B의 행들의 수가 같은 행렬들이다. 즉, A는 m×p 행렬이고 B는 p×n 행렬이다. 그러면 곱 AB는 i행과 j열의 값이 A의 i번째 행과 B의 j번째 열을 곱함으로써 얻어지는 m×n 행렬이다.

행렬들의 관계식 A, B, C가 행렬이라고 하자. 그러면 아래 행렬들의 곱과 합이 정의될 때 다음의 관계식이 성립한다.    (ⅰ) (AB)C = A(BC) (결합 법칙)    (ⅱ) A(B+C)  = AB + AC (왼쪽 배분 법칙)    (ⅲ) (A+B)C = AC + BC (오른쪽 배분 법칙)    (ⅳ) k(AB) = (kA)B = A(kb), k는 스칼라

주요 내용 행렬 스칼라, 벡터, 행렬 행렬의 합과 곱 여러가지 행렬들 전치 행렬 정방 행렬 역가능 행렬 역 행렬 행렬식

전치 행렬(transpose matrix) 행렬 A의 전치 행렬, AT는 A의 행들을 순서대로 열들로 만들어서 얻어진 행렬이다. A가 m×n 행렬이라면 AT는 n × m 행렬이다. B = [bij]가 A = [aij]의 전치 행렬이라면 모든 i와 j에 대해서 bij = aji 이다.

A와 B가 행렬이고 k가 스칼라라고 하자. 그러면 아래 행렬들의 합과 곱이 정의될 때 다음이 성립한다.     (ⅰ) (A + B)T = AT + BT    (ⅱ) (kA)T = kAT    (ⅲ) (AB)T = BTAT    (ⅳ) (AT)T = A

정방 행렬(square matrix) 행의 수와 열의 수가 같은 행렬은 정방 행렬이라고 한다. n개의 행과  n개의 열을 가진 정방 행렬은 차수가 n이라고 하고 n 정방 행렬이라고 부른다. n 정방 행렬 A=[aij]의 대각선(diagonal)은 a11, a22, … ,ann 으로 구성된다. n 정방 단위 행렬(n-square unit matrix) (I 혹은 In으로 표시) 대각선상에 있는 요소들은 1이고 나머지 요소들은 0인 정방행열 정방행렬 I는 행렬 곱에서 숫자들의 곱에서 1과 같은 역할을 한다. 즉, 어떠한 정방 행렬 A에 대해서 AI = IA = A

A를 정방 행렬이라고 하자. 그러면 A는 자신과 곱할 수 있다. A2 = AA, A3 = A2A, …, An+1 = AnA, A0 = I (A ≠ 0 일때) 예

역가능 행렬과 역행렬 정방 행렬 A는 다음 성질을 가진 행렬 B가 존재한다면 역가능 행렬(invertible 혹은 nonsigular matrix)이라고 부른다. AB = BA = I,  I : 단위 정방 행렬 이때, 행렬 B는 A의 역행렬(inverse matrix)이라고 부르고 A-1로 나타낸다.

예 그러면 따라서 A와 B는 역가능행렬이며 서로에 대해서 각각 역행렬이다.

행렬 A와 B가 역가능한 nxn 정방 행렬이면 1. AB는 역가능하다. 2. (AB)-1=B-1 A-1 nxn 행렬 A가 역 가능 행렬이면 다음의 식이 성립한다. A-1은 역가능하고 (A-1)-1=A이다. An은 역가능하고 (An)-1= (A-1)n이다.(n은 자연수) kA는 역가능하고 (kA)-1= (1/k)A-1이다. (k는 0이 아닌 실수)

주요 내용 행렬 스칼라, 벡터, 행렬 행렬의 합과 곱 여러가지 행렬들 전치 행렬 정방 행렬 역가능 행렬 역 행렬 행렬식

행렬식(Determinant) 차수 1, 차수 2, 차수 3의 행렬식들은 다음과 같이 정의 된다.

행렬식은 다음과 같이 계산할 수 있다. 계수의 부호

예: 다음의 행렬식을 계산하라.

이와 같이 행렬식의 계산은 4차, 5차 그 이상의 행렬에 대해서도 적용할 수 있다. A: nxn 행렬 Cij는 A에서 aij를 제외한 요소로 구성된 행렬이다. 부호는 a1j에 따라서 +와 1가 순차적으로 변한다.

예: 4x4 행렬 A의 행렬식을 다음과 같이 구할 수 있다. cofactor of a11 cofactor of a12 계수의 부호 cofactor of a13 cofactor of a14

역행렬은 연립 방정식의 해를 구하는데 이용된다. 행렬식은 역행렬을 구하는데 이용된다. 예: A의 역행렬 A-1은 다음과 같이 구할 수 있다.

|A|=ad-bc0이라면 위의 방정식의 해는 다음과 같이 구할 수 있다.

따라서 역행렬 A-1은 다음과 같이 구할 수 있다.

일반 행렬의 역행렬 Ajk: cofactor of ajk in det A

Linear systems

Linear system의 해법: Gauss-Jordan elimination 예: x – z=1 x+y-2z=4 3x-y+z=6

Cramer의 정리: Linear systems의 해법

………. Di: D에서 i열을 b1,b2,…,bn으로 치환하고 구한 행렬식