영재산출물 중간발표 청솔 초등학교 4학년 2반 한석희
Ⅰ. 연구 주요 내용 연구 주제 연구 동기 연구 목적 한붓그리기와 수학적 원리 산출물 준비를 하려고 암호와 퍼즐 관련 책을 읽다가 그중 한붓그리기에 관심을 가지게 되어 그 분야만 집중적으로 연구하기로 하였다. 한붓그리기에 담겨진 수학적 원리가 어떻게 우리의 생활에 응용되는지 살펴보고,직접 만들어 보기로 한다. 연구절차 및 방법 5월:일반적으로 공개된 한붓그리기 문제들을 수집한다. 6월:한붓그리기에 담겨진 수학적 원리들을 찾아본다. 7월1일~7월4일: 파워포인트를 작성한다. 7월~8월:그러한 수학적 원리가 우리 실생활에서 어떻게 활용되고 있는지 찾아본다. 9월:직접 한붓그리기를 만들어 본다.
Ⅱ. 한붓그리기 문제 탄생 배경 : 프레겔 강의 7개의 다리 7개의 다리를 한번씩만 건너 제자리로 돌아올 수 있나? 사람들은 이 문제를 해결하기 위해 오일러를 불렀고, 오일러는 점과 선으로 단순화시킨 그래프를 만들어 불가능하다는 결론을 내림. 점/선으로 단순화
Ⅲ. 수학적 원리(1) 1.모든 점이 짝수점 -> 한붓그리기 가능 : 오일러 순환길 2.홀수점이 2개가 넘는 경우->한붓그리기 불가능 3.홀수점이 2개인 도형 1)홀수점에서 출발->다른 홀수점에서 끝나는 한붓그리기 가능 : 오일러 길 2)짝수점에서 출발->한붓그리기 불가능
Ⅲ. 수학적 원리(2) <한붓그리기 예제> 가능 불가능 가능 홀수점-2개 홀수점-4개 불가능 홀수점-0개 짝수점-4개 불가능 홀수점-4개 짝수점-1개 가능 홀수점-0개 짝수점-9개 불가능 홀수점-6개 짝수점-0개
Ⅲ. 수학적 원리(3) 프레겔 강 해결! 프레겔 강 다리 문제는 오일러가 불가능함을 증명하고 139년후에 8번째 다리가 놓임으로서 해결. 과연 어느 곳에 다리를 놓았을까요? 홀수점 : 4개->2개
IV. 해밀턴 길과 해밀턴 순환길(1) 옛날에 어느 용감한 왕자가 백설 공주를 구출하러 마녀가 살고 있는 성에 갔습니다. 백설 공주를 구하여 성을 탈출하려고 했지만 성문이 굳게 닫혀버려 나갈 수가 없었습니다. 성문을 열려면 다섯 개의 열쇠가 필요한데 각각의 열쇠는 아래의 지도에서 깃발로 표시된 곳에 있습니다. 열쇠가 보관된 각 지점은 열쇠를 빼면 곧바로 무너져 버립니다. 따라서 한 번 지나간 지점은 더 이상 지나갈 수가 없겠지요? 성문에서 출발하여 어떻게 지나가야 다섯 개의 열쇠를 모두 모아 성을 무사히 탈출할 수 있을까요? 위와같이 모든 꼭지점을 한 번씩만 지나서 다시 출발점으로 되돌아 올 수 있는 길을 ‘해밀턴 순환길’이라고 합니다. (만약 , 출발점과 도착점이 같 지 않으면서 모든 꼭지점을 한 번씩만 지나는 길은 ‘해밀턴 길’이라고 함)
IV. 해밀턴 길과 해밀턴 순환길(2) 화물을 운반하는 트럭이 아래의 지도에 표시된 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 도시를 모두 방문해야 합니다. 그런데 도로를 지나가려면 지도에 표시된 통행료를 내야 합니다. ㄱ도시를 출발하여 모든 도시에 물건을 배달한 후 다시 ㄱ도시로 돌아오기 위해서는 어떤 순서로 각 도시들을 방문하면 통행료를 가장 적게 지불할 수 있을까요?
IV. 해밀턴 길과 해밀턴 순환길(3) <각 해밀턴 순환길별 통행료> 해밀턴 순환길 통행료 ㄱ-ㄴ-ㄹ-ㄷ-ㄱ 2000+800+1000+1500=5300 ㄱ-ㄴ-ㄷ-ㄹ-ㄱ 2000+1300+1000+400=4700 ㄱ-ㄷ-ㄹ-ㄴ-ㄱ 1500+1000+800+2000=5300 ㄱ-ㄷ-ㄴ-ㄹ-ㄱ 1500+1300+800+400=4000 ㄱ-ㄹ-ㄴ-ㄷ-ㄱ 400+800+1300+1500=4000 ㄱ-ㄹ-ㄷ-ㄴ-ㄱ 400+1000+1300+2000=4700 결론 가장 경제적인 해밀턴 순환길은 ㄱ-ㄷ-ㄴ-ㄹ-ㄱ 와ㄱ-ㄹ-ㄴ-ㄷ-ㄱ 이며 이때의 비용은 4000원 입니다.
V.중간 연구 결과보고 지금까지 저는 일반적으로 공개된 한붓그리기 문제들을 수집하면서 그 속에 담겨진 수학적 원리들을 찾아보았습니다. 앞으로는 그러한 수학적 원리가 우리 실생활에서 어떻게 활용되고 있는지 찾아보고 직접 한붓그리기를 만들어 볼 것 입니다.
감사합니다.