Geometry and Mathematics for Computer Graphics 1 4 3 2 동시조음을 적용한 한글 발음 입술 애니메이션을 발표할 고려대학교의 공광식입니다.

Contents Spaces Coordinate-reference Frames Points and Lines Parametric Representation Polygon Topologies Higher Order Geometry Vectors Matrices 발표 순서는 다음과 같습니다. 연구 목적, 관련 연구, 연구 특징을 살펴보고 연구 내용과 실험 결과를 설명 드린 후에 결론 및 향후 연구로 본 발표를 마치겠습니다.

Directed Line Segments Vector Spaces A nonempty set V of vectors Vectors have magnitude and direction. Addition + Scalar Multiplication · u+v = v+u  V · (u+v)+w = u+(v+w) · u+0 = u · u+(-u) = 0 · cu V ,(c is scalar) · c(u+v) = cu+cv · (c+d)u = cu+du · c(du) = (cd)u · 1u = u Directed Line Segments 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. … but, have no position ! Identical Vectors

Basis vectors located at the origin Affine Spaces e2  Introducing the concepts of “points”, which represents “the location” e3  Contain the necessary elements for building geometric models e2 e1 e1 e3  Points와 그에 종속된 Vector들로 표현 Basis vectors located at the origin 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. P Truncated plane (No Origin) : Vector Space P 기준의 새 좌표계 설정 : Affine Space

Euclidean Spaces Affine spaces have no concepts of how far apart two points are, or of what the length of a vector is To Support a measure of distance between points,such as,..Inner Product! 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

General Transformation For general non-singular linear transformations T, 사각형과 Euclidean, Affine, Projective transformation에 의한 변형 예

Coordinate Reference Frames Cartesian coordinate system x,y,z좌표축사용, 전형적 좌표계 Non-Cartesian coordinate system 특수한 경우의 object표현에 사용. Polar, Spherical, Cylindrical 좌표계등 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

2D Coordinate System Y X

Polar Coordinates 가장 많이 쓰이는 non-Cartesian System Elliptical coordinates, hyperbolic, parabolic plane coordinates등 원 이외에 symmetry를 가진 다른 2차 곡선들로도 좌표계 표현 가능. r  한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Cartesian Coordinates Why Polar Coordinates? 예) 원의 표현 y y d d x x dx dx 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. 균등하게 분포되지 않은 점들 연속된 점들 사이에 일정간격유지 Cartesian Coordinates Polar Coordinates

Three Dimensional Point 3D Cartesian Frames 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. Three Dimensional Point

- 대부분의 Graphics Package에서 표준 3D Cartesian Frames 오른손 좌표계 - 대부분의 Graphics Package에서 표준 왼손 좌표계 - 관찰자로부터 얼마만큼 떨어져 있는지 나타내기에 편리함 - Video Monitor의 좌표계 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Spherical coordinates 3D NonCartesian System Cylindrical coordinates Spherical coordinates z P(,,z) x axis y axis z axis   P(r,, ) x axis y axis z axis   r 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Geometry vs. Topology Geometry : Where Things are (e.g., coordinates) How things are connected 1 4 3 2

Geometry : Points 가장 기본적인 Output Primitive 0차원으로 크기와 길이 측정 불가 순서쌍(x,y)나 vector형식으로 표기 Raster Scan display 의 한 Pixel차지 2D or 3D 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Geometry : Lines Rasterization Defined as a list of points(PolyLine) Stairstep effect(jaggies) 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Line Drawing Algorithm Accomplished by calculating intermediate positions along the line path between two specified endpoint positions 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다. Bresenham’s Line Algorithm

Why “y=mx” is not good for Graphics Applications Defects in Nonparametric representation Explicit function의 경우 1. Can only represent infinite lines, not finite line segments 2. Cannot represent vertical lines(m=) 3. Can only 2D lines, not 3D Implicit function의 경우 Redundant representation Ex) 원호의 표현 : x y 발표 순서는 다음과 같습니다. 연구 목적, 관련 연구, 연구 특징을 살펴보고 연구 내용과 실험 결과를 설명 드린 후에 결론 및 향후 연구로 본 발표를 마치겠습니다.

Parametric Line Equation p = P1 + t * ( P2 - P1 ) P1 x = X1 + t * ( X2 - X1 ) 발표 순서는 다음과 같습니다. 연구 목적, 관련 연구, 연구 특징을 살펴보고 연구 내용과 실험 결과를 설명 드린 후에 결론 및 향후 연구로 본 발표를 마치겠습니다. y = Y1 + t * ( Y2 -Y1 ) 0.0  t  1.0 z = Z1 + t * ( Z2 - Z1 )

Parametric Line Equation Can Also be thought of as a blending function... P2 P1 x = ( 1 - t ) * X1 + t * X2 발표 순서는 다음과 같습니다. 연구 목적, 관련 연구, 연구 특징을 살펴보고 연구 내용과 실험 결과를 설명 드린 후에 결론 및 향후 연구로 본 발표를 마치겠습니다. y = ( 1 - t ) * Y1 + t * Y2 0.0  t  1.0 z = ( 1 - t ) * Z1 + t * Z2

You can linearly blend any two quantities with : Linear Blending You can linearly blend any two quantities with : q = Q1 + t * ( Q2 - Q1 ) Or, if you’d prefer : q = ( 1 - t ) * Q1 + t * Q2 발표 순서는 다음과 같습니다. 연구 목적, 관련 연구, 연구 특징을 살펴보고 연구 내용과 실험 결과를 설명 드린 후에 결론 및 향후 연구로 본 발표를 마치겠습니다. Color, Shape, Location, Angle, Scale factors,….

Line Topologies Line Strip Lines Line Loop

Line patterns : Stipples

Polygons Planar Defined as a closed sequence of points 2D or 3D

Sidebar : What is “Planar?” above If the point P is on the plane, then : below

Some Special Polygon Topologies Triangle Triangular Strip Triangular Fan Quadrilateral Quadrilateral Strip

Polygon Patterns : Stipples

Polygon Patterns : Color Interpolation

Polygon Patterns : Texture Mapping

Convex vs. Concave Convex Concave

Can we do the same with other curve and surface types? Higher Order Geometry When we draw a line, we do not need to specify all pixel points along the line - we just give the endpoints and let the equation determine the interior points Can we do the same with other curve and surface types?

Conics Circle Ellipse Parabola, Hyperbolar, ...

It is often handy to think of the independent parameter as consistently varying form 0.0 to 1.0

Ellipsoid, Paraboloid, Hyperboloid, [Torus,]... Quadrics Sphere Ellipsoid, Paraboloid, Hyperboloid, [Torus,]...

How do we control what goes on in here? Arbitrary Curves How do we control what goes on in here?

Cubic Curves We could just fill these 12 constants with random numbers, but there must be a better way

Hermite, or Coons, Cubic Curve Specify the two end points and two end slopes - solve for A~L

Bézier Cubic Curves Specify the two end points and two “control points” - solve for A~L

BiCubic Surfaces

Bézier BiCubic Surfaces

Bézier BiCubic Surfaces

Points and Vectors Point : 좌표계의 한 점을 차지 ,위치표시 Vector : 두 position간의 차로 정의 Magnitude와 Direction으로도 표기 V P2 P1 x1 x2 y1 y2 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Vectors (계속) 3차원에서의 Vector Vector Addition and Scalar Multiplication    V x z y

Scalar Product For Cartesian reference frame, Some Properties Dot Product, Inner Product라고도 함 |V2|cos  V2 V1 For Cartesian reference frame, Some Properties Commutative Distributive

Scalar Product (계속) Edge사이의 사잇각 Polygon의 면적 (x2,y2) (x1,y1,z1) V2  (x1,y1) (x0,y0) V1 (x0,y0,z0) Edge사이의 사잇각 Polygon의 면적

ux,uy,uz를 각 축의 단위 vector라 하면, Vector Product V1 V2 V1  V2  ux,uy,uz를 각 축의 단위 vector라 하면, Properties AntiCommutative Not Assotiative Distributive

Shading, Reflection Model Vector Product (계속) Shading, Reflection Model 평면사이의 위치관계

Matrices Scalar multiplication and Matrix Addition Definition A rectangular array of quantities Scalar multiplication and Matrix Addition

Matrix Multiplication Definition Properties Not Commutative Assotiative Distributive Scalar multiplication × = (i,j) j-th column i-th row m l n

Determinant of Matrix and for a 2 by 2 matrix, Ex) For n 2, the Determinant of nn matrix A is, and for a 2 by 2 matrix, Ex) if A is a triangular matrix, det A is the product of the entries on the main diagonal of A 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.

Properties of Determinants Row Operations Let A,B be a square matrix 1) A의 한 행의 실수배가 다른 row에 더해져 B를 만들었다면, detB = detA 2) A의 두 행이 교환되어 B를 생성했다면, detB = -detA 3) A의 한 행이 k배된 것이 B라면, detB = kdetA Ex) Column Operations 한글을 발음하는 입술 애니메이션은 다음과 같은 문제점을 갖고 있습니다. 한글은 외국어와 차이가 있어 외국 모델을 그대로 사용할 수 없으며 연구 개요에서 보셨듯이 선행 연구는 부정확한 발음을 표현하고 동시조음도 고려하지 않아 실재와 다른 움직임을 보였습니다. 본 연구는 음절을 자연스럽게 발음하고 음절간의 움직임도 부드럽게 표현하는 모델을 구현하는 것이 목적입니다.