제2장 이동 현상 사람들은 현실 세계의 여러 일반적인 사실들의 연관성을 프로그램화하고, 다양한 활동의 사회적, 생태학적인 진행과정을 컴퓨터로 분석한다. 그러나 사실은, 실제 미래는 예측되는 미래와는 매우 다를 수 있다. . -Rene' Dubos, A God Within

웹 기반 지식 정보 획득 및 자기 혁신 기법 웹 기반 기술을 활용함으로서 자기 능력을 최대한 개발 가상강좌의 효과를 최대화하여 수강생의 지식 습득을 최대화 모든 수업 내용은 시공간에 제약없이 웹 상에서 습득 모든 수업 내용은 MP3 파일로 제작하여 수강생이 항상 습득 가능함. 수업에 관계된 모든 내용은 비디오 파일로 저장되어야 함 수강생은 면대면 강의에 필히 참여하여야 함 면대면 강의 혹은 실습시간은 수강생이 진행 : 기존의 강의 내용 및 숙제 등을 본인의 웹 서버에 구축하여 발표 면대면 강의나 기타 수강생의 모든 활동 내용은 비디오 파일로 녹화되어 웹 상에서 제공됨으로서 투명한 성적관리와 수강생의 자기 관리 및 경쟁심 유도 본 수업뿐만이 아니라 수강생의 평생 지식 습득 기술 획득 자신과 관련된 모든 활동을 녹화하고 웹 상에서 관리 함으로서 시공간에 제약없는 자기관리 가능 본인의 홍보를 위한 시스템으로 활용 : 시공간에 제약없는 정보통신 가능 : 본인의 모든 활동을 필요한 경우 홍보 및 공유 모든 수강생은 마이크가 내장된 웹 캠을 구입하여 자기 관리 시스템 구축 정보 통신 기술의 발전으로 휴대폰에서 이러한 시스템이 작동될 것임.

강의 내용 2.1 서론 : 이동의 3과정 (이송, 확산, 퇴적물의 이동) 2.2 이송 (이류 이동) 2.1 서론 : 이동의 3과정 (이송, 확산, 퇴적물의 이동) 2.2 이송 (이류 이동) 2.3 확산/분산 : 분자확산, 난류확산, 분산 2.3.1 물질, 운동량, 열 전달간의 상사성 2.3.2 Fick의 제2법칙 2.3.3 이송-분산 방정식 (물질이동방정식) 2.3.4 물질이동식의 해와 추적자 실험 2.3.5 강의 종방향 분산계수 2.3.6 강의 횡방향 분산계수 2.3.7 강의 수직방향 분산계수 2.3.8 호수의 수직와류확산계수 2.4 격자화 2.4.1 이동 모형의 선택 2.4.2 격자화와 박스 모형 2.5 퇴적물의 이동 2.5.1 분배 2.5.2 부유부하 2.5.3 하상부하 2.5.4 침전 2.5.5 쇄굴과 재부유 2.5.6 탈착/확산 2.6 호수분산계산 2.6.1 McEwen의 방법 2.6.2 열 예산 방법 2.7 간단한 이동 모형 2.7.1 완전혼합시스템 2.7.2 플러그 유동 시스템 2.7.3 이송-분산 시스템 2.7.4 결론 2.8 참고문헌 과제물

2.1 서 론 화학반응이 화학물질의 운명에 중요한 것과 마찬가지로, 수중환경에서는 화학물질의 이동 속도가 중요함. 수 생태계 물질이동의 세가지 과정 흐름에 의한 물질의 이동 (이송) 수계의 혼합에 의한 이동 (확산) 수체내 물과 하상사이의 침전 입자의 이동 (퇴적물의 이동) 자연수내 저농도의 독성 화학물질은 용존상태와 흡착상태로 존재함. 용존물질은 "Slip“이 거의 없는 물의 운동으로 이동함. 콜로이드물질이나 미세 부유물질에 흡착되어 있는 화학물질은 본질적으로 부유이동하지만 침전과 퇴적 또는 씻김과 재부유 등을 수반함. 독성유기물질의 존재 여부를 결정하기 위해서는 물의 운동과 부유침전물질의 운동을 알아야 함. 수중에서 독성물질은 이류: 임의의 세 방향(종방향, 횡방향, 수직방향)의 유체 속도에 따라 미세입자나 용존 물질이 운동하는 것을 말함. 확산: 이러한 물질들이 수체에서 혼합되는 과정을 말한다; 확산 또한 어느 방향에서나 일어 날수 있음.

그림 2.1 이동 과정 : (1) 이류, 흐름내로 들어간 화학물질의 운동 ; (2) 난류 확산, 와류운동에 의한 화학물질의 영역 확대 ; (3) 분산, 거시적으로 속도 구배 영역에서 와류운동에 의한 화학물질의 영역 확대

혼합(분산)의 세 과정 분자 확산 유체내 분자의 임의의 거동에 의한 용존 물질의 혼합 현상 분자의 진동, 회전, 병진운동의 동역학에너지에 의해서 발생 Fick's의 확산 법칙에 따라 고농도 지역에서 저농도 지역으로 이동하여 엔트로피의 증가가 동반됨. 난류 확산 난류 확산 또는 와류 확산은 미세한 미립자가 미시적 크기의 난류에 의해 혼합되는 것임. 난류 전단 유동에서 와류 변동에 의한 미세수준의 이류과정임. 수체내의 전단 응력은 이러한 형태의 혼합을 일으키기에 충분함. 분자확산보다 양적으로 몇 배 더 크며, 분산현상의 중요한 요소임. 난류확산은 세 방향 모두에서 일어날 수 있지만, 보통 이방성을 나타냄. 분산 수체내 전단력에 의해서 발생되는 속도 구배와 난류 확산의 상호작용은 분산과 같은 큰 규모의 혼합을 야기함. 강이나 하천에서 독성물질의 이동은 주로 이류에 의해서 발생되지만 호수나 하구에서의 이동은 종종 분산에 의해 일어남. 유속 구배의 발생 유속의 구배는 공기-물 경계면에서의 바람전단에 의한 종단면, 침전물-물 그리고 제방-물 경계면의 전단응력으로 발생하는 종단면과 횡단면과 같은, 수체 경계면의 전단응력에 의해서 발생됨(그림 2.2). 유속 구배는 수로 지형과 만곡부 또는 하천의 구부러짐으로 발생할 수 있음.

그림 2.2 공기와 물, 하상과 물, 제방과 물 경계면에서 전단응력에 의한 유속 변화 그림 2.3 횡방향과 종방향의 분산에 의한 하천의 이차 유동

2.2 이송 (이류이동) 강이나 하천에서 화학물질이 이동하는 경우에, 이송은 평균 농도와 유량의 곱으로 표현됨. 즉 유속에 의해 이동되는 물질의 양을 의미함. 이송율. 임의 순간에서, 검사 체적내의 총물질의 양은 체적*농도 (V*C)임. 검사체적내 시간에 대한 물질 변화는 다음과 같은 방정식으로 표현됨. △물질 = (물질 유입률 - 물질 유출률)△시간 Ca 는 유입 농도, Cb는 유출 농도임. 유속 이송에 의한 물질 수지 방정식은 다음과 같다. 주어진 시간에 한 지점을 지나가는 물질의 총량:

예제 2.1 강의 흐름에 의한 살충제의 이송 살충제 Alachlor의 유속에 의한 이송 이동은(kg d-1)은? 평균농도는 1.07 μgL-1 이며, 평균 유량은 50 m3s-1 임. 강우 유출량이 높다고 가정할 때, 일년간 이 지점을 지나는 물질 총량의 계산값은 정확한가? 유속에 의한 평균 이송율은(kg d-1)은 다음의 식으로 계산된다. 유량과 농도는 매우 밀접한 관련이 있기 때문에, 연간 평균 농도와 연간 평균 유량을 사용하여 한 지점을 지나가는, 연간 총 물질 배출량을 구할 수 없다. 유동이 많으면 농업지역의 강우 유출로 인한 농약 농도가 상승한다. 위에 계산된 물질 방류속도는 그 해의 총 평균 물질 방류속도보다 적다. 따라서 다음의 방정식을 이용하여 그 해 동안의 한 지점을 지나는 물질 총량을 계산한다. 평균 물질 배출율 는 평균 유동율과 평균 농도의 곱 에 평균 물질 변동율 을 더한 것과 같다.

2.3 확산/분산 1855년에, Fick는 정지 유체에 대하여, 유체내 화학물질 운동에 근거한 제 1의 확산 법칙을 발표하였다. 그는 Fourier의 열전도 법칙과 유사함을 인정하였다. 분자 확산은 유체를 통과하는 분자의 병진운동, 진동운동, 회전운동의 결과이다. 분자 확산은 자발적으로 빠르게 반응하며, 그 결과 엔트로피(무질서 상태로의 진행 경향을 나타내는)를 상승시킨다. Jm 은 분자 확산으로 인한 물질 유동율이며(MT-1), A는 횡단면적(L2 ), dC/dx는 농도 변화율(ML-3L-1), D는 분자 확산 계수이며(L2T-1), F는 단위면적당 유동율(ML-2 T-1)임.

그림 2. 5 점a에서 b로의 확산 이동. 실험 초기에(t=0일 때), 모든 화학물질은 왼쪽 용기에 용해되었다 그림 2.5 점a에서 b로의 확산 이동. 실험 초기에(t=0일 때), 모든 화학물질은 왼쪽 용기에 용해되었다. 실험이 시작되면, Fick의 법칙에 따라, 물질은 평형에 도달할 때까지 높은 농도에서 낮은 농도로 이동한다.

예제 2.2 물속 화학물질의 분자 확산 두 용기 사이로 확산되는 화학물질에 대해 mg/d의 단위로 물질 유동율을 계산하여라. 화학물질은 -1mg L-1 cm-1 의 농도구배로 10cm의 거리를 통해 확산한다. 농도구배가 시간에 따라 일정하게 유지되고, 화학물질 1mg이 이동하는데 1년 걸린다는 것을 고려한다면, 이것의 물질이동율은 대단히 느리다고 할 수 있음(그림 2.5은 사실상 비정상상태 조건에서 실험된 것임).

예제 2.3 얇은 막을 통과하는 분자 확산 물속 카페인(C9H8O)의 분자 확산속도는 0.63×10-5cm2s-1 이다. 1.0mg/L의 용액에 대해서, 약 60 μm 두께의 유체막으로 이루어진 창자막(면적 : 0.1m2 )을 통과하는 물질 유동을 mg/s로 계산하여라. 위의 유동율을 가정한다면, 카페인 1 mg이 창자막 0.1 m2 통과하는데 시간이 어느 정도 걸리겠는가? (주의 : 막을 통과하는 이동은 이동과 물질대사시에 단계적인 속도제한이 존재한다고 가정한다.) (창자막 내부의 카페인의 농도는 0로 가정 )

2.3.1. 물질, 운동량, 그리고 열전달간의 유사성 1877년에, Boussinesq가 처음으로 난류 운동량 이동이 층류 점성 운동량 이동과 유사하다고 제안함. Reynolds는 1883년 관내부 층류상태에서 난류상태로 변하는 한계 무차원 수(Re = 2300)가 존재함을 제시. Re는 Reynolds Number, u는 평균 유속(LT-1), d 는 파이프의 직경(L), ν 는 동점성계수(L2T-1) 그림 2.6은 물질, 열, 운동량 전달이 동시에 일어날 수 있고, 그들 모두가 매우 유사하다는 것을 설명하고 있다. 난류장(ε)에서, 단위 면적당 유동율은 추진력의 구배구동력(gradient driving force)와 비례상수의 곱임. 질량, 열, 운동량 전달의 3개의 유사한 이동 과정들에 대한 비례상수를 표 2.1에 나타내었음. 비례상수는 난류의 경우가 층류보다 훨씬 큼. 열확산과 물질확산계수 사이의 무차원비는 Lewis 번호로 제시됨. 이 값으로 열과 질량 이동의 상사성 정도를 결정하며, 난류의 경우 1.0부터 변화된다. 물질확산계수의 동점도에 관계되는 Schmidt 번호와 열전달의 동점성도에 관계되는 Prandtl 번호도 열, 질량, 운동량이 동시에 발생하는 경우 1.0부터 변한다.

그림 2.6 난류에서 운동량, 물질, 열전달의 상사성 (a) 침전물과 물의 경계면에서의 전단력은 운동량을 하부로 이동시키는 연직 속도장을 발생시킨다. (b) 오염된 퇴적물은 연직 난류 확산으로 인하여, 질량을 수주로 이동시킨다. (c) 여름철 강의 성층현상은 열을 아랫방향으로 연직이동시킨다.

표 2.1 질량, 운동량, 열전도 계수

분산, 난류 확산, 분자확산의 비례 상수는 모두 같은 단위를 사용하며, Fick의 법칙과 같은 형태의 식으로 사용된다 분산, 난류 확산, 분자확산의 비례 상수는 모두 같은 단위를 사용하며, Fick의 법칙과 같은 형태의 식으로 사용된다. 각각의 추진력은 농도 변화도 dC/dx 이다. 분산계수는 와류확산계수보다 크고, 분자확산계수보다 훨씬 더 크다. Jt 는 난류 확산으로 발생하는 물질유동율, εm은 난류확산계수, Jd 는 분산으로 발생하는 물질유동율, E 는 분산계수임. Dh : 수리학적 분산계수 Dm : 분자 확산 계수 D = Dh + Dm 초기 혼합의 경우 (특히 큰 강의 경우) Fick의 규칙이 유효하지 않다. 이것은 완전히 발달된 흐름 영역이 난류확산에 필요하기 때문이다. 추적제(Tracer Test, 염색물질, 방사성동위원소, 염분도)의 초기 방출후, Fick의 유형으로 서술되기 위해서는 얼마간의 시간이 걸린다.

2.3.2 Fick의 제 2 법칙 확산에 대한 Fick의 제 2 법칙은 비정상 상태에서 확산 제1법칙으로부터 유도된다. 즉, 다음과 같이 확산 제 1 법칙으로부터 유도된다. 위의 방정식은 2계 편미분 방정식이기 때문에 두개의 경계조건과 하나의 초기조건을 필요로 한다. 위의 방정식에 대한 해는 무수히 많아 다양하여, 제시되는 각각의 초기조건과 경계조건의 형태에 따라 다른 해가 존재한다. 위 방정식의 적분은 주어진 경계조건에 따라, 변수분리법, Laplace 변환, Boltzman 변환, 시행착오법으로 성취될 수 있다. Analytical Solution (해석해) : Separation of variables, Transformation Method (Laplace, Boltzman, Fourier) Numerical Solution (수치해) : ODE 해법, PDE Solver (FDM, FEM, FVM, BEM)

예제 2.4 오염된 퇴적물의 확산 (확산방정식에 대한 Gauss의 해) 평면 오염원(오염된 호수 퇴적물)으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산. 초기 조건과 경계조건(반무한 수주: 확산의 초기단계)은 다음과 같음. 다음과 같이 순간적인 평면 오염원에 대해 시행착오법으로 해를 구한다. A는 임의의 상수임. 위의 분산식에 대하여 시간에 대해 1계 편미분을 취하고 x공간에 대한 2계 편미분을 취한다. “적에 대한 미분”과 에 대한 적분표를 이용한다. 시간에 대한 1계 편도 함수는 다음과 같다.

수직 거리 x에 대한 2계 도함수는 다음과 같다. 이것은 위의 ∂C/∂t에 대한 결과와 같으며, 그 해를 이용할 수 있다는 증거이다. 임의 상수 A와 확산 물질 M을 구한다. 아래에 정의된 유한적분식을 사용하면 지수는 다음과 같은 형태이다. x = 0 일때 반사의 원리에 의해 : 

점점 더 혼합 규모가 커짐에 따라, 용질 분자에 영향을 미치는 와류 현상은 혼합 비율을 증가시킨다 점점 더 혼합 규모가 커짐에 따라, 용질 분자에 영향을 미치는 와류 현상은 혼합 비율을 증가시킨다. 1925년에 Prandtl은 혼합 길이 개념을 도입하였는데, 이것은 평균 유선에서 이탈하는 유체 요소의 평균 거리의 관측값이다. 완전히 발달된 와류흐름에서는 크기가 매우 다양하다. 화학 용질이 더 큰 와류에 의해서 포획될 가능성은 문제의 크기와 시간에 따라 증가한다. Richardson이 제안한 바에 의하면, 해양에서의 수평 와류 확산은 용질 기둥 길이의 4/3승에 따라 증가한다. εm은 물질의 와류확산계수(cm2 s-1), L은 기둥의 길이(cm), 0.01은 cgs 단위에서의 비례상수이다. 이러한 조건에서 확산 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 그림 2.7은 온도로 성층화된 호수에서 와류확산계수의 변화를 보여주고 있다.

그림 2.7 성층화된 호수의 와류확산계수의 분포도

2.3.3 이송 (이류)-분산 방정식 용존물질에 대한 이류와 확산을 서술하는 기본 식은 물질보전원리 및 Fick의 법칙에 기초하며 다음의 식으로 나타낼 수 있다. (숙제) 물질이동식(Mass Transport Eq’n)을 물질평형으로부터 유도하라. C는 농도(ML-3), t는 시간(T), ui 는 i 방향의 평균유속(LT-1), xi 는 i 방향의 거리(L), R는 반응변환율(ML-3T-1), Ei는 i방향의 확산계수이다. 직각 좌표로 방정식을 표현하면 다음과 같다.

부정류에서는, 종방향의 유속은 공간과 시간에 따라 다양하게 변할 수 있다. 일차원 물질이동식은 다음과 같다. 위의 방정식을 해석적으로 풀기 위해서는 A, Q, E에 대한 간단하고 정확한 함수 관계가 필요하다. 그러나, 실제 문제에서는, 부정류의 유동방정식을 수치해석적으로 풀 수 있으며, 다음의 St.Venant 방정식과 같은 개수로 유동의 수치해와 일치된다 : 개수로 유동의 연속방정식 : 운동방정식 : 마찰항 b 는 수위 폭(L), f는 Darcy-Weisbach의 마찰 계수, g는 중력가속도 (L2T-1), P는 윤변(L), qi 는 단위 길이당 측면 유입유동(L2T-1), Q는 유량 (L3T-1), z 는 기준면 위 수위의 절대 높이(L)이다.

강의 유속과 단면적이 시간에 대해서는 일정(정류)하고, 공간에 대해서만 변한다면, 물질이동식는 다음과 같이 단순화될 수 있다. 일차원 물질이동식의 가장 간단한 형태는 A, Q, 그리고 E가 시간과 거리에 대하여 모두 일정할 때 다음의 방정식으로 주어진다. 위의 방정식은 유속과 분산계수가 종방향의 거리에 따라 변하는 경우에는 대다수의 모형 적용시 정확하지 않을 수도 있다. 그러나 ux와 Ex가 일정한 강의 한 부분에서는 유용하다. 강은 상대적으로 일정한 유동과 지형상에 따라서  분할될 수 있고, 관심 대상의 화학 물질이 배출되는 각 점 오염원에서 새로운 구획을 나눌 수도 있다.

2.3.4 물질이동식의 해와 추적제 실험 추적제 : 염료(예:Rhodamine WT), 염, 안정한 동위원소 자연수의 이동특성을 파악 3차원 유동장내 추적제의 이류 및 확산 이동의 해 (무반응) 염료가 수심에 대한 혼합이 잘 된 경우, 2차원적인 문제로 됨.

2.3.5 강의 종방향 분산계수 Liu는 강이나 하천에서 종방향의 확산계수를 표현하기 위하여 Fischer의 연구 결과를 사용하였다(Ex, 길이의 제곱을 시간으로 나눈 단위): β 는 0.5 U*/ux, D는 평균 수심(L), B는 평균 하폭(L), U* 는 하상 전단 속도(LT-1), ux 는 평균 하천 유속(LT-1), A 는 단면적(L2), QB 는 유량(L3T-1) β 는 하천의 형상이 아니라 무차원 하상 조도에 의존한다. 하천의 Ex는 위의 6개의 인자로부터 예측될 수 있다. 하상 전단속도는 하상마찰계수와 평균하천유속에 실험적으로 관계된다. τ0는 하상 전단응력(ML-1T2), f는 Darcy-Weisbach 마찰계수 : 완전 난류의 경우 0.02, ρ는 물의 밀도(ML-3)

2.3.6 강의 횡방향 분산계수 Elder의 횡방향 확산계수 Ey Φ는 0.23이며 길고, 넓은 수조에서 실험한 결과에 의한 것임. Sayre, Chang은 직선의 실험실 용수로에서의 Φ = 0.17로 보고하였다. Yotsukura, Cobb, Yotsukura, Sayre은 자연하천과 관개수로에서의 Φ 값이 0.22에서 0.65로 매우 다양하다고 밝히고 있으며 대부분의 값들이 0.3에 가까운 값들을 보인다. 다른 연구자들은 0.17에서 0.72정도 범위의 Φ 값을 보고하기도 한다. 더 높은 값는 은 모두 매우 빠른 강이나 굴곡부에서 나타난다. 유도된 결론은 : (1) 위의 식은 맞지만, Φ는 다양할 수 있다. (2) 횡확산에 대한 Fick이론의 적용은 하천내에 감지할만한 횡 흐름이 없는 경우에만 정확하다.

2.3.7 강의 수직방향 분산계수 수직확산계수 Ez에 대한 실험적 연구는 매우 적다. Jobson와 Sayre17 z는 수직 깊이, k는 von Karman 계수이며, 실험적으로 거의 0.4이다.

2.3.8 호수의 수직 와류 분산계수 호수에서의 수직혼합은 강과는 구조적으로 다르다. “와류확산계수”란 용어는 호수내 용존물질의 난류확산계수를 서술한다. 화학적, 열적 성층은 호수의 수직혼합을 제한한다. 와류확산계수는 통상 수온급변층에서 가장 적다. 많은 연구자가 성층화된 호수의 와류확산계수를 평균깊이, 심수층 깊이, 안정화 빈도에 상관시켰다. Mortimer의 수직와류확산계수 수직와류확산계수는 수온자료를 이용하여 Edinger와 Geyer의 식이나, 수직 열수지식을 풀어서 역산함으로서 얻을 수 있다. Schnoor와 Fruh는 저층으로부터의 용존물질의 방출과 광물화가 심수층의 와류확산계수를 계산하는 데 이용될 수 있다는 것을 제시히였다. 이러한 방법은 열(온도)과 물질(용존물질)이 같은 속도상수로 간주된다. 즉, 와류확산은 와류 전도도와 같다. 다음 표는 매체별 분산계수의 개략적 크기를 나타낸다.

매체별 분산계수의 크기 호수에서 와류확산계수는 일반적으로 열예산방법 혹은 McEwen법에 의하여 결정되며, 방사화학법이 사용되기도 한다. 표 2.2 는 미국내 여러 하천의 확산계수값의 요약이다. 표 2.3은 호수의 수온급변층을 지나는 수직확산계수값이다. 표 2.4는 미국내 전체 호수의 평균 수직 분산 계수값이다.

2.4 격자화 2.4.1 이동모형의 선택 2.4.2 격자화와 Box 모형 Peclet 수로 이송과 분산이동의 크기를 비교한다. 2.4 격자화 2.4.1 이동모형의 선택 Peclet 수로 이송과 분산이동의 크기를 비교한다. Pe >> 1.0  이송이 우세 ; Pe << 1.0  분산이 우세 만약 상당한 반응이 있다면, 반응 번호가 유용하다 : k는 1차 반응속도상수(T-1)임. 2.4.2 격자화와 Box 모형 격자화는 “완전히 혼합된” 격자안에서 모형 생태계의 분할을 의미한다. 격자사이의 교환은 겉보기 분산이나 평형 역유동에 의하여 모의된다. 완전혼합의 가정은 편미분방정식(시간과 공간)을 한 개의 상미분방정식(시간)으로 변환한다. 격자화에 의한 상미분방정식은 다음과 같다.

위의 식은 겉보기(Bulk)분산계수로 다음과 같이 표현된다. E’는 겉보기 분산계수(L2T-1), Aj,k는 구획 j와 k사이의 인접면적(L2), Lj,k는 두격자의 중심점 사이의 거리(L)임. 위의 식은 j 격자에 대한 상미분방정식이다. 모든 격자에 대해서 해를 구하기 위해서는 연립방정식이 풀어야 하며, 이러한 연산은 수치해석기법을 이용하여 행해진다. 호수의 경우 분산계수는 추적제 실험의 결과치를 이용하게 되는 데 전체 연립방정식의 해의 역산으로부터 평가되기때문에 상당히 큰 분산계수값을 가지게 된다. 하천과 빠르게 흐르는 강에서는 종방향으로는 분산이 존재하지 않으며 해를 구하기 위해서 인위적인 분산계수를 도입한다.

이러한 인위적 수치분산계수는 수치적인 분산 평가의 한 방법은 양해 상부 가중 유한차분법으로 다음과 같이 주어진다. 위의 인위적분산계수를 측정치나 강의 종축분산계수의 식의 값과 일치시킨다. 더 나은 해석 방법은 안정성을 유지하면서 Ex를 최소화하기 위해서 시간간격을 조절하는 것이다 (특성화 방법 혹은 입자추적법). 호수, 저수지, 만은 농도장과 같이 구체적인 공간 해석을 원한다면, 많은 수의 격자를 요구한다. 이러한 격자들은 물리학적이고 화학적인 실체에 연결하기 위해서 선택되어야 한다. 예를 들면, 성층화된 호수에서의 논리적인 선택은 표수층과 심수층이다. 이 두 격자사이의 혼합은 상호 교환되는 유동에 의해서 이루어질 수 있다. J는 표수층에서 심수층으로 유동이고, Qex 는 교환 유량이다.

2.5 침전물의 이동 2.5.1 분배 화학물질은 침전물과 물의 분배계수 Kp를 이용하여 입자상과 용존상으로 분배된다. 입자농도와 용존농도의 비율은 부유고형물에 분배계수를 곱한것이다. (분배계수에 의해 총부유고형물중 일부는 입자상물질로 일부는 용존물질로 분배됨.) Cp는 입자상물질의 농도(μg L-1), C는 용존물질의 농도, Kp는 침전물/물의 분배계수(L kg-1), M는 부유 고형물의 농도(kg L-1), CT 는 전체농도임. 저층의 부유고형물 농도는 수층의 부유고형물 농도와 저층의 공극율을 이용하여 계산된다. 즉, Mb=M/n

2.5.2 부유 부하 강이나 하천내 고형물의 부유 부하는 유량을 부유 고형물의 농도에 곱함으로서 정의된다(kg/d 혹은 tons/d). 평균 부하는 첨두유량에 의해서 대단히 영향을 받는다. 첨두유량은 하상이나 제방 침전물의 쇄굴 및 재부유의 증가이외에 토양 유실 및 강우유출에 의한 지하함유 물질의 많은 유입을 야기시킨다. 평균부유부하는 다음 식과 같이 평균유량과 평균농도를 곱한 것과 같지는 않다.

2.5.3 하상 부하 하상과 매우 가까운 부분의 침전물 이동율을 계산하기 위한 여러 공식이  보고되었다. 이러한 식은 비응집성 침전물인 미세-거친 모래 및 자갈 등에 대하여 개발되었다. 대부분의 화학물질이 분류되는 것은 모래가 아니라 실트 및 점토라는 것을 주목하는 것이 중요하다. 그러므로, 이러한 식들은 화학물질의 환경질 모델링에 있어서 제한된 예측값을 갖는다. 일반적으로 하상부하이동은 전체 침전물의 이동(부유부하+하상부하)의 작은 부분이다. 그림 2.8 부유부하와 하상부하. 하상부하는 하상부하 채취기로 관측될 수 있는 물질을 의미한다. 하상부하는 고정하상의 수 밀리미터내에서 발생한다.

2.5.4 퇴적작용 부유 퇴적 입자와 흡착된 화학물질은 거의 평균 유하 속도로 하류로 이동된다. 더불어, 그것들은 평균 침전속도로 수직방향으로 하향 이동된다. 일반적으로 실트와 점토 크기의 입자는 Stokes의 법칙에 따라 입경의 제곱 및 퇴적물과 물의 밀도차에 비례하여 침전된다. W는 입자 침전속도(cm s-1), ρs는 퇴적물의 밀도(2-2.7gcm-3), ρw는 물의 밀도(1 gcm-3), ds는 퇴적물의 입경(mm), μ는 물의 절대점성계수, 20oC 에서 0.01 poise (gcm-1s-1) 입자가 하상에 도달하면, 하상으로부터 쇄굴되어 재부상할 확률이 있다. 침전과 재부상의 차이는 순침전으로 표현된다. 침강과 재부상의 과정을 설명하기 위하여 다음과 같은 순 침전 속도상수를 이용할 수 있다. Ks는 순침전속도상수, W는 입자침전속도, H는 평균깊이이다.

2.5.5 쇄굴과 재부상 정상상태 조건에서, 부유 침전물의 침전은 침전물의 쇄굴과 재부상과 같아야 한다. W는 침전속도(L T-1), εs는 부유 침전물의 수직와류확산계수(L2 T-1), C는 부유 침전물의 농도(M L-3)임. 비정상상태에서의 하상-물 경계면에서의 경계조건 p는 침전 입자가 하상에 “고착”될 확률 SD는 하상으로의 침전 속도 SR는 하상으로부터 재부유 속도 Mj는 침식계수(ML-2T-1;), τcR는 재부상에 필요한 임계 하상 전단력(ML-1T-2), τcD는 퇴적을 막는 임계 하상 전단 응력(ML-1T-2), h는 활성 하상층의 수심에 대한 물의 수심비

2.5.6 탈착 / 확산 침전과 쇄굴/재부상 이외에도 흡착된 화학물은 하상 침전물로부터 탈착될 수 있다. 마찬가지로, 용존 화학물은 물에서 하상으로 흡착될 수 있다. 두 가지 경로 모두 확산계수와 농도구배 또는 공극수와 상부 용존 화학물의 농도차에 의해 설명될 수 있다. 퇴적 물질 수지는 이송, 침전, 쇄굴/재부상 및 가능하다면 수직 확산에 관한 항도 포함해야 한다. 하상에서는, 하상 부하 이동이 포함되어야 한다.  용존물질의 운명에 영향을 주는 과정으로 하상으로부터의 탈착(혹은 수주로부터의 흡착), 이송, 확산과 변환 반응을 포함한다. 종종, 국지적 평형 가정을 위하여 흡착과 탈착의 반응을 무시하는 것이 가능하다. 해석 대상의 시간의 크기를 고려한다면, 이것은 좋은 가정이 될 수도 있다.  하상 부하는 흡착된 화학물의 세척 부하 이동과는 연관성이 적어서 무시될 수 있다. 정상상태에서는, 침전이동과 쇄굴을 단순화하기 위해서 종종 순침전속도를 사용한다.

2.6 호수의 분산 계산 2.6.1 McEwen의 방법 호수의 수온약층에 걸친 수직적 분산을 계산하는 과정은 아래와 같다. 열은 수직 난류 분산이외에 다른 어떤 기작에 의해서도 수주의 낮은 부분으로 유입되지 않는다고 가정한다. 분산을 통한 물질이동이 열 전달과 같은 비율로 일어난다고 가정한다. 이러한 유사성은 농도나 질량을 방정식에 대입하여 적용된다. θ 는 수온 , C는 농도, t는 시간, E는 열 분산계수, z는 거리이다. 2.6.1 McEwen의 방법 지수곡선을 수온약층과 심수층의 평균 수온 자료에 맞추어서 호수의 확산을 계산한다. 수온분포자료가 선형 또는 다른 비지수형이라면, 이 방법은 부적당하다.

2.6.2 열수지법 열의 수직분산은 호수로 유입 유출되는 총 열량으로 추정될 수 있다. 호수의 수온 단면도뿐만 아니라 많은 현장 측정치(태양열 자료, 기온)가 필요하다. 열 수지의 결과로 수심과 시간의 함수(E=f(z,t))인 수직 분산계수를 알 수 있다. 열수지식을 물질수지와 유사하게 격자화한다. Vj 는 j번째 요소의 체적(m3), θj 는 j번째 요소의 평균 수온(oC), Qij 와 Qoj 는 요소 j로의 각각의 유입과 유출유량, Qvj는 상향류가 양성(+)인 곳에서 j번째 요소 바닥에서의 수직 유량(m3s-1), Ej는 요소 j의 바닥을 가로지르는 확산(cm2s-1), aj 는 요소 j의 바닥 표면적(m2), t 는 시간(s), hnet 는 순 열 유동율(flux)(cal s-1 cm-3), Δz는 요소의 일정한 두께(m)

표면에서의 열유동율은 순열유동율/요소의 두께이며 다음과 같이 평가됨. β는 표면에서 단파 방사분율, hs 단파 방사 유동, ha는 장파 또는 대기 방사 유동 , hb는 역 방사, he는 증발 에너지 유동, hc는 대류 에너지 유동 수표면 밑에서는 단파만이 흡수된다.  깊은 요소에서 hj’ 는 깊이의 지수 함수이다. j번째 요소에 흡수된 태양 방사량은 다음과 같이 표현된다. 장파 방사 유동 역 방사 유동 수표면에서의 증발열 유동 수표면에서 대류 열 유동

2.7 단순 이동 모형 2.7.1 완전 혼합 시스템 (CSTR) 물질수지는 다음과 같다. 호수내 물질변화 = 유입물질 – 유출물질 +- 호수내 물질반응 Cin 는 유입농도(ML-3), C는 호수 및 유출수의 농도(ML-3), Qin는 유입유량(L3T-1), Qout는 유출유량(L3T-1), V는 호수의 체적(L3), r는 반응속도(ML-3T-1), 양성(+)과 음성(-)은 각각 형성반응과 감소반응을 지칭한다.

그림 2.9 유입 및 유출을 가진 완전 혼합 호수의 부하에 따른 반응 그림 2.9  유입 및 유출을 가진 완전 혼합 호수의 부하에 따른 반응

만약 Cin, Qin = Qout = Q 가 일정하고, dV/dt = 0, r = -kC 이라면 물질이동식은 다음과 같다. 물질부하가 비교적 짧은 기간동안 일어났다면, 농도 변화는 순간(델타)함수를 이용하여 나타낼 수 있을 것이다. 충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우의 식은 다음과 같다. τ 는 단일 호수의 체류시간, V/Q이다. 반응성 화학물의 경우 위와 유사하게 해를 구할 수 있다. 도시 또는 산업시설에서 호수로의 폐수 방류 같은 연속 부하에 대한 변화는 다음의 식에 의해 표현된다. 정상상태의 해는 다음과 같다.

비정상상태의 해는 상미분방정식이므로 일계미분방정식의 일반화된 해를 구하는 방법(적분인자법)으로 다음과 같이 해를 구한다. 여러 호수가 연속적으로 존재한다면(그림 2.10), 연속된 각각의 호수에 대한 물질수지로부터 다음과 같이 해를 구한다. 첫번째 호수에 대한 물질수지로부터 n번째 호수까지 일반화하여 다음과 같이 해를 구한다.

그림 2.10 연속된 완전혼합호수에 있어서 유입형태에 따른 유출 결과

보존성 물질의 순간유입에 대한 시간 변동 해는 첫번째 호수로부터 n번째 호수까지 순차적으로 다음과 같이 계산한다. τ’는 전체 반응조의 체류시간(Vtotal/Q)을 나타내고, Co는 순간유입이 전체 반응조로 전달될 때 초기농도(M/Vtotal)이다. 그림 2.11에서 보여주는 바와 같이 구획수가 클수록 플러그 유동 모형으로 구획수가 작을수록 완전혼합모형으로 진행된다. 호수는 플러그와 확산유동의 특성을 다 가지고 있기 때문에 위의 해는 추적자의 순간 유입에 잘 적용되는 이론적인 구간의 개수에서 적용 가능하다.

그림 2.11 구획된 호수내 보존성 물질의 순간유입에 대한 유출 결과

2.7.2 플러그 유동 시스템 이상적인 일차원 플러그 유동 시스템을 그림 2.12에 예제로서 강을 사용하여 나타내었다. 물질수지는 다음과 같다. A는 단면적, Δx는 하천의 격자 길이, Δt는 시간간격, k는 1차 감소율(T-1)임. C = Co at x = 0 경계조건의 정상상태 해는 다음과 같다.

그림 2.12 유동 시스템의 체계도 본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르고, 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것이다.

2.7.3 이송 분산 시스템 (분산이 있는 플러그 유동) 하구에서의 분산이송시스템 축적= 이송유입 + 분산유입 – 이송유출 – 분산유출 +- 반응 정상상태의 방정식의 해는 2차 균일 선형 상미분방정식의 일반적인 해를 구하는 방법으로 다음과 같다.

그림 2.13 이송 확산 시스템의 체계도 일정유입에 대한 정상상태의 농도분포도.

정상상태의 해를 구하기 위한 상류와 하류의 경계조건 상류 부분 : 1) 배출지점에서 멀리 떨어진 상류 부분 x=-∞ 에서 C=0, 2) 배출지점 농도 x=0 에서 C=C0 상향부분에서의 농도는 다음과 같다. 하류 부분 : 1) x=+∞에서 C=0, 2) x=0에서, C=C0 하류부분에서의 농도는 다음과 같다. 배출지점에서의 농도는 물질수지로부터 구한다. 최종해는 다음과 같다.

2.7.4 결론 일련의 반응조로 구성된 완전 혼합 시스템, 플러그 유동 시스템 그리고 확산이 있는 플러그 유동(1차원)에 대한 단순 이동 모형은 환경오염의 예비적 평가에 있어서 아주 유용하다. 완전 혼합 유동 시스템은 호수 및 부영영화 분석에 유용한 접근법이라는 것을 5장에서 볼 수 있을 것이다. 플러그 유동 모형은 빨리 흐르는 강이나 하천에 이상적인 경우이며, 전통적인 용존 산소모형인 Streeter-Phelps 모형의 기초가 된다(6장). 7장과 9장에서는, 하구나 지하수 시스템의 독성유기물 모델링을 위해 확산을 동반한 플러그 유동식을 사용할 것이다.

과제물 다중다상이론으로부터 물질의 이동에 대한 이류유송과 분산에 의한 이동식을 유도하라. 이류유송만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도하라. 위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도하라. 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도하라. 2장의 물의 유동에 관계된 연속방정식 및 운동방정식을 물의 물질평형과 힘평형으로부터 유도하라. 2장에서 제시된 상미분 및 편미분 방정식의 수학적 해석 기법 보고서 작성. 호수 및 하천에 사용할 수 있는 전산 모형에 대한 보고서 작성. 하천모형 : QUAL2E, 호수, 하천, 연안 모형 : WASP6, MFEMWASP 유역 관리 모형 : SWMM, BASIN

과제물 Tex, Latex Partial h over partial t sum vec 평형식 유도과정 (물질, 운동, 에너지) : 1. 그림 2. 수식 3. 평형관계 : 3차원 상미분, 편미분방정식 해법 : Solution of ODE and PDE 1. Mathematical (Analytical) Sol’n 2. Numerical Sol’n (Computational Sol.n) Mass Transport Eq’n : Steady State : ODE, Unsteady State : PDE Analytical Sol’n : Direct Sol’n, Transformation Method