제9장 포트폴리오이론

Contents 9-1 기대효용가설과 위험에 대한 인간의 태도 9-2 평균-분산 모형 9-3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 9-4 포트폴리오 투자의 분산효과 9-5 효율적 투자선과 최적포트폴리오

9.1 기대효용가설과 위험에 대한 인간의 태도 기대효용가설(expected utility hypothesis) ‘수익의 극대화’라고 해도 무방 불확실성 하에서는 ‘기대효용(expected utility)의 극대화’ 폰 노이만(von Neumann)과 모겐스턴(Morgenstern)이 제안 주식 A의 수익으로부터 얻는 기대효용이 주식 B로부터 얻는 것보다 크다면, 투자자는 주식 A 선호하고 그 역도 성립

9.1 기대효용가설과 위험에 대한 인간의 태도 효용함수(utility function) 효용함수에 대한 가정 예) 수익이 증가하면 효용도 증가: 수익이 증가함에 따라 효용의 증가율을 체감: 한계효용 체감의 법칙(law of diminishing marginal utility)이라고 함 예)

9.1 기대효용가설과 위험에 대한 인간의 태도 효용함수(utility function) (계속) 예) (계속) 예) (계속) 효용곡선: 일반적으로 한계효용 체감의 법칙을 만족하면, 오목한(concave) 형태

9.1 기대효용가설과 위험에 대한 인간의 태도 위험에 대한 태도 예) 증권 A와 B로부터 발생하는 미래수익의 확률분포 기대수익은 2로 같지만, 기대효용은 다음과 같으므로 투자자는 증권 A를 선호 이러한 태도를 위험회피(risk aversion)라고 함

9.1 기대효용가설과 위험에 대한 인간의 태도 위험에 대한 태도 (계속) 한계효용과 위험에 대한 태도 일반적으로 위험회피형 투자자 가정 위험에 대한 태도 한계효용 효용곡선 (risk aversion) 체감 오목 (risk neutrality) 일정 선형 (risk loving) 체증 볼록

9.2 평균-분산 모형 평균-분산 무차별곡선 기대효용은 미래수익의 기댓값과 분산의 함수로 표현 평균-분산 모형(mean-variance model) 미래수익와 평균과 분산의 두 통계치만으로 투자자의 기대효용을 표현 평균-분산 무차별곡선(mean-variance indifferent curve) 위험의 측정치로 표준편차를 사용할 때 기대효용이 같은 평균-표준편차 조합의 자취 조수익률 R 대신 순수익률 r을 사용해도 무방

9.2 평균-분산 모형 평균-분산 무차별곡선 (계속) 예) 투자안 J, K, L

9.2 평균-분산 모형 평균-분산 무차별곡선 (계속) 무차별곡선의 특징 북서쪽에 위치할수록 더 큰 기대효용 투자안 J의 기대효용이 K보다 크고, 투자안 L의 기대효용이 K보다 큼 위험회피형 투자자의 무차별곡선은 양(+)의 기울기를 가지고, 원점에 대해 볼록 기대수익률과 위험의 한계대체율(marginal rate of substitution)이 체증한다고 함 같은 기대효용을 얻기 위해 위험이 한 단위 증가할 때마다 요구되는 수익률이 점차 증가 무차별곡선은 교차하지 않음

9.2 평균-분산 모형 평균-분산 무차별곡선 (계속) 무차별곡선의 특징 (계속) 위험회피성향이 크면 클수록 모든 위험수준에서 더 가파른 무차별곡선

9.2 평균-분산 모형 지배원리(dominance principle) 기대수익률이 같다면 위험이 작은 투자안을 선택하고, 위험이 같다면 기대수익률이 높은 투자안을 선택 예) 주식 D는 주식 C에 지배 당하고, 주식 E는 주식 F에 지배 당함

9.2 평균-분산 모형 지배원리(dominance principle) (계속) 그러나 주식 C와 F 사이의 선택은 주관적인 효용함수에 의해 결정 위험회피성향이 큰 (a)는 투자안 C를, 위험회피성향이 작은 (b)는 투자안 F를 선택

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오(portfolio): 여러 투자대상의 집합 포트폴리오의 기대수익률과 분산 여러 개의 자산이 결합된 자산군(asset class) 좁은 의미로, 증권시장에서 거래되는 주식∙사채 등의 금융자산(financial asset) 포트폴리오의 기대수익률과 분산 각 주식이 포트폴리오에서 차지하는 구성비율 [예제 9-1] 매입시점과 매도시점에서 각 주식이 차지하는 구성비율을 구하라

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오의 기대수익률과 분산 (계속) 포트폴리오의 수익률 포트폴리오의 기대수익률 포트폴리오 수익률의 분산

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오의 기대수익률과 분산 (계속) 포트폴리오 수익률의 분산 (계속) 두 자산 간의 공분산도 중요한 역할 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix) 또는 공분산 행렬(covariance matrix) 공분산 분산

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오의 기대수익률과 분산 (계속) 포트폴리오 수익률의 분산 (계속) 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix) (계속) 포트폴리오의 위험에 개별주식이 기여하는 부분으로 표현 [예제 9-2] 포트폴리오의 기대수익률과 분산을 구하고, 포트폴리오의 위험에 각 주식이 기 여하는 부분을 계산하라. 주식 투자비중 기대수익률 표준편차 상관계수 (주)삼성 40% 12% -0.2 (주)현대 60% 10% 30%

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오의 기대수익률과 분산 (계속) n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 포트폴리오의 수익률 포트폴리오의 기대수익률 포트폴리오의 분산

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오의 기대수익률과 분산 (계속) n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 (계속) 포트폴리오의 분산 (계속) 공분산 분산

9.3 포트폴리오의 기대수익률과 위험 포트폴리오의 기대수익률과 분산 (계속) n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 (계속) 포트폴리오의 분산 (계속) 분산 관련 부분과 공분산 관련 부분으로 표현 포트폴리오의 위험에 개별주식이 기여하는 부분으로 표현

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 분산효과(diversification effect) 또는 포트폴리오 효과(portfolio effect) 여러 자산으로 포트폴리오를 구성하여 위험이 감소하고 기대효용이 증가하는 현상 예) 자산 H와 I에 50%씩 투자하여 포트폴리오 P를 구성하면, 자산 G의 기대효용과 같아짐

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 분산효과(diversification effect) (계속) 두 자산 간 상관계수가 ‘-1’에 가까울수록 분산효과가 크게 나타남 예)

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 분산효과(diversification effect) (계속) 상관계수와 포트폴리오의 기대수익률 및 위험 위험 = 0 공매가 가능한 경우

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 분산효과(diversification effect) (계속) 상관계수와 포트폴리오의 기대수익률 및 위험 (계속)

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 분산효과(diversification effect) (계속) 상관계수와 포트폴리오의 기대수익률 및 위험 (계속) 상관계수가 ‘+1’ 또는 ‘-1’일 때 직선의 포트폴리오 집합 포트폴리오의 기대수익률은 구성비율에 의해 결정: 상관계수의 영향을 받지 않음 포트폴리오의 위험은 상관계수가 ‘+1’일 때 가장 크고, ‘-1’일 때 가장 작음 두 자산의 상관계수가 ‘-1’이면 위험의 완전한 제거 가능 예) 주식 J에 25%, 주식 K에 75%를 투자하면 위험은 0이 됨

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 균등비율 포트폴리오(equally-weighted portfolio) 각 자산의 구성비율이 1/n 모든 자산수익률이 i.i.d(identically and independently distributed)인 경우 모든 자산수익률의 표준편차는 같고, 공분산은 0 종목수(n)가 많을수록 위험 감소: n이 무한대로 갈 경우 위험은 0

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 균등비율 포트폴리오(equally-weighted portfolio) (계속) i.i.d 가정이 없는 경우 종목수(n)가 무한대로 가는 경우, 위험은 평균공분산에 접근: 분산효과의 한계 분산 공분산

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 균등비율 포트폴리오(equally-weighted portfolio) (계속) [예제 9-3] 무수히 많은 주식의 기대수익률 15%, 표준편차 30%이고, 상관계수 0.5 10개 주식 균등비율 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차를 계산하라. 모든 주식에 균등비율로 투자하는 포트폴리오의 궁극적인 위험을 계산하라. [예제 9-4] 위 예제에서 모든 주식의 상관계수가 ‘+1’인 경우와 ‘0’인 경우, 모든 주식에 균등비율로 투자하는 표트폴리오의 궁극적인 위험을 계산하라.

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 n 위험자산으로 구성된 포트폴리오 일반적인 포트폴리오 각 자산이 위험에 기여하는 부분으로 표현 위 식을 포트폴리오의 표준편차로 나누면 다음이 같아, 상관계수가 ‘+1’이 아닌 한 포트폴리오의 분산효과가 존재

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 체계적 위험과 비체계적 위험 예) A 보험회사:100,000건, 화재 발생확률 1%이고, 독립적으로 발생 예) B 보험회사:100,000건, 지진 발생확률 1%이고, 완전한 양(+)의 상관관계 개별보험가입자의 위험에 비해 아주 작은 값 개별보험가입자의 위험과 같은 값

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 체계적 위험과 비체계적 위험 (계속) 분산효과와 체계적 위험 분산투자를 하는 경우, 위험은 7.058% 수준으로 감소 7.058%

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 체계적 위험과 비체계적 위험 (계속) 비체계적 위험(unsystematic risk) 분산이 가능한 위험 개별기업의 고유한 사건과 관련: 기업고유위험(firm-specific risk)이라고도 함 포트폴리오를 구성하여 제거할 수 있으므로 위험프리미엄 요구 불가 체계적 위험(systematic risk) 분산이 불가능한 위험 시장의 전반적인 상황과 관련: 시장위험(maeket risk)이라고도 함 차익거래의 기회가 없는 시장에서는 체계적 위험만 위험프리미엄의 대상

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 체계적 위험과 비체계적 위험 (계속) 체계적 위험과 비체계적 위험, 그리고 포트폴리오 위험 포트폴리오를 구성하여 제거 가능 포트폴리오를 구성해도 제거 불가능

9.4 포트폴리오 투자의 분산효과 체계적 위험과 비체계적 위험 (계속) [예제 9-5] 위와 같은 상황에서 어떠한 차익거래가 가능한지 설명하라. 주식 (유형 D) (유형 U) 주식수익률 7% 8% 무위험이자율 5%

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 마코위츠의 포트폴리오이론 평균-분산 포트폴리오이론(mean-variance portfolio theory) 마코위츠(Markowitz)가 제시하고, 토빈(Tobin)이 발전 자본자산가격결정모형(capital asset pricing model: CAPM)의 발판 가정 모든 투자자의 투자기간은 1년 투자자는 위험회피형이고, 기대효용 극대화가 목적 평균-분산 모형에 따라 투자대상을 선택 거래비용과 세금이 존재하지 않으며, 유일한 무위험이자율로 무한정 대출과 차입 가능

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) 무위험자산이 없는 경우: 세 자산 A, B, C로 포트폴리오 구성 투자기회집합(investment opportunity set): 구성가능한 모든 포트폴리오의 집합

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) (계속) 무위험자산이 없는 경우 (계속) XB1A1G: 포트폴리오 투자선(portfolio frontier) G: GMVP(globally minimum variance portfolio) XB1A1GB2Y: 포트폴리오 투자선(portfolio frontier)

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) (계속) 무위험자산이 있는 경우 무위험자산(risk-free asset): 미래의 현금흐름에 불확실성이 없는 자산 분산도 0이고, 다른 자산수익률과의 공분산도 0 예) 단기 재무증권(Treasury bill) 위험자산에 w, 무위험자산에 (1-w)의 구성비율로 투자하는 포트폴리오 P의 수익률 포트폴리오 P의 기대수익률

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) (계속) 무위험자산이 있는 경우 (계속) 포트폴리오 P의 위험: 포트폴리오 P의 기대수익률과 위험의 관계

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) (계속) 무위험자산이 있는 경우 (계속) 예) 위험자산 i의 기대수익률이 20%, 표준편차가 40%, 무위험이자율이 10%인 경우

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) (계속) 무위험자산이 있는 경우 (계속) 위험-보상비율(reward-to-risk ratio): 위험프리미엄과 표준편차의 비율 샤프비율(Sharpe ratio)이라고도 함

자본배분선(capital allocation line: CAL) 9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 효율적 투자선(efficient frontier) (계속) 무위험자산이 있는 경우 (계속) 포트폴리오 T를 선택하여 위험-보상비율 극대화: 접점포트폴리오(tangent portfolio) 자본배분선(capital allocation line: CAL)

효율적 투자선과 무차별곡선이 접하는 점에서 결정 9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 최적포트폴리오(optimal portfolio) 투자자의 위험에 대한 태도가 반영된 평균-분산 무차별곡선에 의해 선택 무위험자산이 없는 경우 효율적 투자선과 무차별곡선이 접하는 점에서 결정

자본배분선과 무차별곡선이 접하는 점에서 결정 9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 최적포트폴리오(optimal portfolio) (계속) 무위험자산이 있는 경우 자본배분선과 무차별곡선이 접하는 점에서 결정

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 포트폴리오 분리정리(portfolio separation theorem) 무위험자산이 없는 경우 두 개의 효율적 포트폴리오를 선형결합하면 새로운 효율적 포트폴리오 생성 포트폴리오 선택의 두 단계 효율적 투자선 도출 무차별곡선과 효율적 투자선이 접하는 최적포트폴리오 도출 n개의 개별자산으로 도출한 효율적 포트폴리오는 두 개의 효율적 포트폴리오로 구성 한 포트폴리오와 일치 이 경우, 두 자산 분리정리(two-fund separation theorem)라고도 함

9.5 효율적 투자선과 최적포트폴리오 포트폴리오 분리정리(portfolio separation theorem) (계속) 무위험자산이 있는 경우 포트폴리오 선택의 두 단계 자본배분선 도출: 접점포트폴리오와 무위험자산 기대효용을 극대화하는 포트폴리오의 구성비율 결정 (n+1)개의 개별자산으로 도출한 최적포트폴리오는 접점포트폴리오와 무위험자산으로 구성한 포트폴리오와 일치 이 경우, 화폐자산 분리정리(monetary separation)가 성립한다고도 함 수많은 자산 대신 자산운용회사가 구성한 소수의 펀드에 투자하여 최적포트폴리 오 구성 가능: 뮤추얼펀드(mutual fund) 존재의 이론적 근거