지평좌표계 고도, 방위각

 적도 좌표계 적경RA, 적위Dec

황도 좌표계   황도면 : 황경(춘분점)= lambda, 황위= beta    

은하좌표계 은경 ㅣ, 은위 b

구면천문학 구면삼각형 기본 공식

1.1 구면 삼각형 : 세 개의 대원이 교차 구면 삼각형의 각 ; 두 평면이 교차하는 각 A, B, C, 1.1  구면 삼각형 : 세 개의 대원이 교차 구면 삼각형의 각 ; 두 평면이 교차하는 각  A, B, C, 구면 삼각형의 변 : 대원 호의 길이 a, b, c ( 구 중심에서 측정된 각)

소원 : 구의 중심을 지나지 않는 원 대원 : 구의 중심을 지나는 원 SP = R *각 SOP        SOP (라디안),  R=1

1.2 기본 공식 AD=OA tan c, OD= OA sec c, a. Cosine -Formula : 공식 A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ANGLE BAC = angle DAE = A TRIANGLE OAD에서 angle OAD = 90 angle AOD = c AD=OA tan c, OD= OA sec c,

AD=OA tan c OD= OA sec c TRIANGLE OAE, AE = OA tan b, OE = OA sec b TRIANGLE DAE, DE2 = AD2 +AE2 -2 AD X AE cos angle DAE = OA2 [tan2 c + tan2 b - 2 tan b tanc cos A] TRIANGLE DOE, DE2 = OD2 +OE2 - 2 OD X OE cos ∠ DOE ∠ DOE=∠ BOC = a = OA2 [ sec2 c + secb - 2 sec b X sec c cos a sec2 c + sec2 b -2 sec b X sec c cos a = tan2 c + tan2 b - 2 tan b X tan c cos A (sec2 c = 1 + tan2 c, sec2 b = 1 + tan2 b ) 2 - 2 sec b sec c cos a = - 2 tan b tan c cos A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A 즉 두 변과 긴 각을 알면 그 각에 대응되는 변을 추정    또는 모든 변이 알려지면  각을 추정

cos A = cosec b cosec c[ cos a - cos b cos c] cos A = 1 -2 sin2 ( A/2 ) cos a = cos b cos c +sin b sin c [1-2 sin2 ( A/2 )] =cos (b-c) -2 sin b sin c sin2( A/2 ) cos (b-c) - cos a = 2 sin b sin c sin2( A/2) (2 sin A sin B = cos (A-B) - cos (A+B), cos A - cos B = 2 sin (A+B)/2 sin( A-B)/ 2 2sin[a+(b-c)]/2 sin[a-(b-c)]/2=2sinb sinc sin2 A/2

let s,  2s=a+b+c, a+b-c=2(s-c), a-b+c= 2(s-b) sin (s -b) sin (s-c) = sin b sin c sin2 A/2 sinA/2 = SQRT {[sin (s-b) sin (s-c)]/(sin b sin c)} sinB/2 = SQRT {[ sin (s-c) sin (s-a)]/(sin c sin a) } sinC/2 = SQRT {[ sin (s-a) sin (s-b)]/(sin a sin b)} cos A = 2 cos 2 A/2 -1 이므로 cos A/2 = SQRT {[sin s sin (s - a)]/(sin b sin c)} tan A/2 = SQRT {[sin (s-b) sin (s-c)]/[sin s sin (s-a)] }

b. Sine-Formula : 공식 B cosine 공식에서 sin b sin c cos A = cos a - cos b cos c 를 제곱 sin2 b sin2 c cos2 A = cos2 a - 2 cos a cos b cos c + cos2 b cos2 c 좌변 : sin2 b sin2 c – sin2 b sin2 c sin2 A = 1-cos2 b - cos2 c + cos2 b cos2 c - sin2 b sin2 c sin2 A 따라서 1-cos2 a - cos2 b -cos2 c + 2 cos a cos b cos c = sin2 b sin2 c sin2 A Let X X2 sin2 a sin2 b sin2 c = 1 - cos2 a -cos2 b -cos2 c + 2 cos a cos b cos c sin2 A / sin2 a = X2 , X= +- sin A /sin a ( - ; 불가) 같은 방법으로 sin A/sin a = sin B/sin b = sin C/sin c

c. Analogue Formaula ; C 공식 cosine 공식에서 sin c sin a cos B = cos b - cos c cos a = cos b - cos c ( cos b cos c + sin b sin c cos A) = cos b sin2 c - sin b sin c cos c cos A sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

증명 : △ ABC의 변 c < 90도 라면 AD = 90 –c, ∠CAD =180 - A, arc CD = χ △DAC 에서 : cos χ = cos (90 -c) cos b + sin (90 - c) sin b cos (180 -A) = sin c cos b - cos c sin b cos A △DBC에서 : cos χ = cos 90 cos a + sin 90 sin a cos B= sin a cos B 따라서 : sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

d. Four Part Formula cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B = cos a ( cos b cos a + sin b sin a cos C) + sin a sin c cos B cos b sin2 a = cos a sin b sin a cos C + sin a sin c cos B cot b sin a = cos a cos C + (sin c/sin b) cos B ( sin c / sin b = sin C / sin B ) 따라서 cos a cos C = sin a cot b - sin C cot B cos(inner side)*cos(inner angle) = sin(inner side)*cot(other side)    - sin(inner angle)*cot(other angle)

E. Proofs of A, B. C Formulas QS // tangent to  AB,   QP // tangent to AC  각 PQS= A, 각 PRS=B , 각 COB= a, 각 COA=b, 각AOB=c

PS 는  AOB면에 수직 :   OQ수직PQ  & 수직 QS   ==> OQ수직 PQS면  같은 방법으로 OR수직PS ( OR 수직PR & 수직 RS ==> 수직 PSR면)  PS수직OQ  &  수직OR  ==> PS수직 AOB면 PS수직OS   & SQ & SR   ===> 삼각형 PQS & 삼각형PRS 직각 삼각형 1) 삼각형 OQP & 삼각형 ORP 에서 PQ = OPsin b, PR = OPsin a, OQ = OPcos b, OR = OP cos a ∠ SOQ = χ, ∠ROS = c- χ, OS = OQ sec χ = OR sec ( c - χ)  OR cos χ = OQ cos (c -χ) OP cos a cos χ = OP cos b cos (c-χ) cos a = cos b cos c + cos b sin c tan χ tan χ = QS/OQ = PQ cos A/OQ = (OP sin b /OP cos b) cos A = tan b cos A 따라서 cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A : A 공식

2) 삼각형 PQS & 삼각형 PRS에서 PS = PQ sin ∠ PQS = PQ sin A PS = PR sin ∠ PRS = PR sin B PQ sin A = PR sin B  OP sin b sin A = OP sin a sin B sin A /sin a = sin B /sin b : B 공식

C 공식 3) 삼각형 OSQ & 삼각형 OSR 에서 QS = OS sin χ, RS = OS sin (c -χ) RS sin χ = OS sin c cos χ sin χ - OS cos c sin χ sin χ =QS ( sin c cos χ - cos c sin χ RS = QS ( sin c cot χ - cos c) RS = PR cos B = OP sin a cos B QS = PQ cos A = OP sin b cos A OP sin a cos B = OP cos b sin c - OP sin b cos c cos A sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

직각 삼각형(right angled) 과 사분(quadrantal) 삼각형 one of angles = 90 도 ==> 직각 삼각형     one of sides = 90도 ==> 사분 삼각형 1)  C = 90 도의 경우 : 직각 삼각형          2) c=90도의 사분 삼각형 sin( middle)=product of tangents of  adjacent sin(middle )=product of cosines of opposite         

천체의 좌표 측정 == 기본 위치 (기본목록 = Fundamental Catalog) 자오의 = 트랜시트(transit) 별의 자오선 통과 = transit =남중 = 정중 이 때의 자오의 환의 눈금=적위   이 때의 항성시 = 적경  항성시의 0시 = 춘분점의 자오선 통과 시각

천구의 극 결정 자오선 통과 = 상방정중(남중) 과 하방정중(남중) 자오선 통과 = 상방정중(남중)  과 하방정중(남중)    극의 고도 = 1/2(상방정중 고도 - 하방정중 고도) + 하방 정중고도 극의 도고 =관측자의 위도   

자오의의 동서 축이 잘못된 경우 북극 근처 별의 자오선 통과 6시간 전과 6시간 후의 관측에서 : 동일고도, 시야중심으로 부터 동일 거리  아닐 경우 자오의의 동서축의 방위각조절

숙제 1 주극성이 상방정중 고도가 51도 24초이고 하방정중 고도가 16도 12초로 관측 되었다. 이들은 대기 굴절과 기기오차를 보정한 값이다. 관측자의 위도는 얼마인가? 관측된 별의 적위는 얼마인가?

적도좌표계변환

적도와 수평좌표계 구면 삼각형 PZX 주어진 위도, 천체의 적위와 시간각 H ==> 천체의 천장거리와 방위각?     cos ZX = cos PZ cos PX + sin PZ sin PX cos ZPX     cos z = sin Phi sin del + cos phi cos del cos H     cos PX = cos PZ cos ZX + sin PZ sin ZX cos PZX     sin del = sin phi cos z + cos phi sin z cos A     주어진 위도, 천체의 천장거리와 방위각 ==> 천체의 적위와 시간각?      cos H = cos z sec phi sec del - tan phi tan del      PZX ; 방위각 (E)  ==>  H ; 서쪽으로 , ZPX = 24 - H      

    적경 = gamma D = alpha      gamma  = 춘분점      R gamma = RD + gamma D    춘분점의 시간각 (= 항성시) = 천체의 시간각 + 천체의 적경     관측자의 위치   춘분점의 시간각 == local 항성시 춘분점의 시간각 0 = 0 시 항성시

적도와 황도좌표계 황도면 : 황경(춘분점)= lambda, 황위= beta lambda = gamma A Beta = XA epsilon= RM = KP

cos KX = cos PX cos KP + sin PX sin KP cos KPX      sin KX sin PKX = sin PX sin KPX      sin KX cos PKX = cox PX sin KP - sin PX cos KP cos KPX      sin beta = sin  cos epsilon -cos del sin epsilon sin alpha      cos beta cos lambda = cos del cos alpha      cos beta sin lambda = sin del sin epsilon + cos del cos epsilon sin alpha 같은 방법으로      sin del = sin beta cos epsilon + cos beta sin epsilon sin lambda      cos del cos alpha = cos beta cos lambda      cos del sin alpha = -sin beta sin epsilon + cos beta cos epsilon sin lambda

별의 좌표와 지방항성시을 알고 관측자의 위도를 알 경우  시간각을 찾아 Cos(90-고도) =cos(90-위도)cos(90-적위) + sin(90-위도)sin(90-적위) cos시간각 sin(90-고도)/sin시간각=sin(90-적위)/sin방위각 Sin 고도=sin 위도 sin 적위 + cos 위도 cos적위 cos 시간각 Cos고도/sin 시간각=cos 적위/sin 방위각

숙제 2. 위도가 37도인 관측자에 대한 천구의 실제 그림을 그리고 a. 적위 45와 시간각 -1시인 별, b. 적위 -15도, 시간각 +2시인 별의 위치를 나타내라. 별의 시간권, 지평선, 천구의 극, 천정들을 표시. 별a와 b의 고도와 방위각을 구하라 직녀성,베가 (적경=18시36분 적위= 38도 36분) 의 은하좌표와 황도좌표를 구하라