The steady-state response of a linear circuit with a sinusoidal input Radio Tuner (I) - 입력 주파수에 따라서 출력의 크기나 위상이 변화한다. - 입력 주파수의 변화에 따른 이득(gain)과 위상천이(phase shift)는 선형회로의 특성을 나타낸다. - 가청 주파수는 20 Hz ~20 kHz 대역이다. - Audio amplifier가 주파수 대역에서 같은 이득을 가져야 하고 위상천이가 입력주파수에 대해서 비례하면 증폭기 출력이 왜곡되지 않는다. - 1938년에 William Hewlett와 David Packard가 audio oscillator를 개발해서 20 Hz ~20 kHz 의 이득과 위상천이를 측정하게 하였다. + Linear circuit in(t) = A cos (t +  ) + - o(t) = B cos (t +  ) - The steady-state response of a linear circuit with a sinusoidal input Hewlett-packard’s first product, the model 200A audio oscillator (preproduction version). William Hewlett and David Packard built an audio oscillator in 1938, from which the famous firm grew. Courtesy of Hewlett-Packard Company.

A simplified diagram of a radio receiver. Radio Tuner (II) A simplified diagram of a radio receiver. - 라디오 기지국이 700 kHz, 1,000 kHz와 1,400 kHz 주파수의 신호를 보내면 안테나로부터 들어와서 증폭된 신호 vi는 아래와 같다. - 1,000 kHz 의 신호를 받기 원한다면 tuner가 아래와 같은 출력을 얻어야 한다.

Gain and Phase Shift (I) Op amp를 이용해서 vin을 증폭해서 vout을 얻음. =6,283 rad/s에서의 이득은 8.5, 위상천이는 148º phase lead or phase lag. An op amp circuit

Gain and Phase Shift (II) Input and output sinusoids for the op amp circuit .

Network Function - 이득과 위상천이는 입력 주파수가 바뀌면 이에 따라 바뀐다.

Frequency Domain Representation The frequency domain representation of the op amp circuit

Half Power Frequency - Half power frequency : 0 예를 들어 input = A cos wt 이고 1 ohm 저항에 전압, 전류가 입력이 되면 소모전력은 A2/2 W가 된다. 만약 H0=1 이면  =0 에서의 gain =1/√2 , phase shift = - 45º First order low pass filter - output = A/√2 cos (0 t -45º ) 1 ohm 저항을 연결했다면 A2/4 W가 소모.  Half power frequency : 0

Bode Diagrams │H (jw)│와 q (jw) 를 주파수에 대해서 그린다. Real, first-order poles and zeros. standard form │H(jw)│를 dB로 표현. AdB A 0 1.00 3 1.41 6 2.00 10 3.16 15 5.62 20 10.00 30 31.62 40 100.00 60 103 80 104 100 105 120 106

Amplitude Plot Corner frequency Corner frequency A straight-line approximation of the amplitude plot of a first-order zero Corner frequency A straight-line approximation of the amplitude plot of a first-order pole

Example – Amplitude Plot A straight-line approximation of the amplitude plot.

More Accurate Amplitude Plots 실제로 corner frequency에서 AdB 0 임. 1 dB -1 dB 3 dB -3 dB 0.5c c 2c  = c, c/2, 2c 에서 보정. 씩 보정. 1dB 3dB 0.5c 2c 6dB 7dB zero pole c

Straight-Line Phase Angle Plots 실제 곡선과의 최대 편차 6°

Example– Amplitude Plot 예) 의 위상각을 plot

Bode Diagrams : Complex Poles and Zeros Complex poles과 zeros는 conjugate pair를 갖는다.  < 1인 경우 (   1 인 경우 생략 )

Amplitude Plot (2) (3) (1) z 가 작아진다. (4) - 직선 근사의 보정은 네 점에서 보정

Phase-Angle Plots 0.62=4.81-z z 가 작아진다 z =0.1 Actual curve z =0.3 Angle phase plot z 가 작아진다 z =0.707 z =0.1 z =0.3 A straight-line approximation of the phase angle for a pair of complex poles. 0.62=4.81-z 1.62=4.81z Actual curve

Resonant Circuits (a) An RLC circuit with a sinusoidal input (b) some frequency response data. The parallel resonant circuit.

Quality Factor and Bandwidth - w1, w2 를 다음과 같을 때라고 정의. 네 개의 해 중에서 양의 해 둘을 고르면 The effect of Q on the frequency response of a resonant circuit.

Frequency Response of Op Amp Circuits A0 : dc gain, 1 : corner frequency A0 는 대개 10,000보다 크고, 1은 100보다 작다. (a) An operational amplifier and (b) a frequency-dependent model of an operational amplifier. - 실제 예 (a) a noninverting amplifier and (b) an equivalent circuit incorporating the frequency-dependent model of the operational amplifier Bode magnitude diagram of the op amp and the noninverting op amp circuit (in color).

Noise Filters – Car Alternators and Push-pull Amplifier Noise generation: (a) due to a car alternator. - 자동차 발전기는 고주파 잡음을 발생시킨다. - 고주파 잡음에 대해서 1 H의 인덕터는 고 임피던스로 보이고, 캐패시터는 단락된 것으로 보인다. Noise generation: (b) from a push-pull amplifier. - Push-pull amplifier 에서 잠시 전압이 영이 되는 순간이 있다. - 이 순간 스피커 코일이 유도 효과를 일으켜서 마치 개방된 것과 같은 효과를 보여 스피커 전류를 감소시킨다. - 코일 간에 인덕터 전압이 발생하고 고주파 진동이 생기며 전원으로 타고 들어가 더 큰 왜곡을 발생시킨다. - 이를 RC 회로 통해서 접지로 흘려보낸다.

Noise Filters – Regulators Regulator: (a) effect of spike in current on the input side. Regulator: (b) noise reduction. - 레귤레이터의 입력 전압이 낮아지면 되먹임에 의해 출력전압을 높이게 된다. - 그러나 빠른 시간 내에 입력이 정상으로 돌아오게 되면 출력이 원하는 전압보다 커지게 된다. - 다시 출력 전압을 낮추기 위해서 회로가 동작하게 되고 이것이 진동을 일으키게 된다. - 이것이 고주파 잡음 출력이 되어 기기에 입력된다. - 1 mF 의 캐패시터를 삽입하면 고주파 전류를 줄일 수 있다. - 캐패시터는 물리적으로 레귤레이터에 가능한 한 가까이 설치하여 레귤레이터와 캐패시터 사이에서 또다른 잡음을 습득하지 않도록 하고, 출력신호와 캐패시터의 반응에 시간 지연이 생기지 않도록 한다.

A simplified diagram of a radio receiver. Radio Tuner (I) A simplified diagram of a radio receiver. - 라디오 기지국이 700 kHz, 1,000 kHz와 1,400 kHz 주파수의 신호를 보내면 안테나로부터 들어와서 증폭된 신호 vi는 아래와 같다. - 1,000 kHz 의 신호를 받기 원한다면 tuner가 아래와 같은 출력을 얻어야 한다.

Radio Tuner (II) - 입력이 전류원이 아니라 전압원이기 때문에 전류원을 전압원으로 변환해서 회로를 구성한다. - 1,000 kHz의 신호만을 출력하므로 LC 공진회로를 이용하면 된다. - 입력이 전류원이 아니라 전압원이기 때문에 전류원을 전압원으로 변환해서 회로를 구성한다. 로 설계. 로 선정. A band-pass filter.

A simplified diagram of a radio receiver. Radio Tuner (III) - 인덕터를 Op amp를 이용한 회로로 바꿀 수 있다. A simplified diagram of a radio receiver.