제6장 하천의 고전적 오염물질 만약 처음에 어디에 있고, 어디로 향하는 가를 알 수 있다면, 무엇을 하고, 어떻게 해야 하는 지 더욱 잘 판단할 수 있을 것이다. -Abraham Lincoln

강의 내용 6.1 서론 6.2 물질 수지 방정식 : 플러그 유동 시스템 6.2.1 하천의 정상 흐름의 물질 수지 : 변동 계수 6.3 STREETER-PHELPS 식 6.3.1 임계 부족량과 거리 (Dc, xc) 6.3.2 재폭기 속도 상수 6.4 STREETER-PHELPS 식의 변형 6.4.1 CBOD의 침강 6.4.2 합성의 원리 6.5 허용부하량 (오염부하의 분할) 6.5.1 강 분할(구획) 6.5.2 낮(주간)의 변화 6.6 불확실성 해석 6.6.1 1차 분석 6.6.2 Monte Carlo 해석 6.7 대규모 강과 하구에서의 용존산소 6.7.1 정상상태에서의 BOD-D.O. 부족량 6.7.2 하구에서의 파라미터와 순환의 추정 과제물

6.1 서론 생활 하수를 호기성 생물학적 방법으로 처리하기 시작한 것은 지난 17세기부터이며, 1930년대 이후 미국내에서 표준적인 방법으로 사용되어 왔다. 그 이후 폐수 처리는 다음과 같은 “일반적인 오염물질”의 제거에 주 방향을 설정하여 진행되어 왔다. 생화학적 산소요구량(BOD), 암모니아성 질소, 총 부유 고형물(TSS), 대장균군 BOD는 수체내에서 생물학적으로 분해 가능한 유기체를 측정하기 때문에 중요한 오염물질이며, 미생물 분해과정에서 산소를 소비한다.

암모니아는 저농도에서 어류나 다른 수생물상(표 6 암모니아는 저농도에서 어류나 다른 수생물상(표 6.1)에 독성이 있기 때문에 암모니아를 제어하는 것이 중요하며, 질산화에 의한 수계의 부가적인 산소 요구 화학 물질이다. 암모니아는 자연수내에서 암모니움 이온과 화학적 평형상태에 있다. 암모니움은 25℃에서 pKa가 약 9.2인 약산이며, 자연수의 pH 범위 6.0-9.0에서 암모니움 이온이 우세하다. 총 부유 고형물은 침전작용과 산소를 요구하는 슬러지 퇴적물을 형성함으로서 용존 산소 문제를 악화시킨다. 수체의 탁도를 유발시키고 수생물군의 서식지를 변경시킬 수 있으며, 병원균(질병 유발 미생물)의 은식처가 될 수 있다. 침전과 농축 과정을 통하여 호기성 폐수처리시설에서 제어된다.

대장균군(분변성 대장균군과 총대장균군)은 강과 하천 병원균의 지표이다 대장균군(분변성 대장균군과 총대장균군)은 강과 하천 병원균의 지표이다. 폐수처리에서 유출수를 염소처리함으로서 효율적인 제거가 가능하지만, 독성 염소유기화합물을 형성할 위험이 있다. 대장균군의 자연 소멸은 1차 소멸 반응으로 모델링할 수 있다. 담수보다 해수에서 더 잘 증식한다. Sawyer 등은 전체 화학양론식을 3부분으로 나누어 생물학적 폐수처리의 에너지를 평가하는 것을 제안하였다. (1) 세포 합성에 이용되는 에너지 부분 (2) 호흡에 이용되는 에너지 부분 (3) 용존 유기물의 산화에 의한 에너지원

표 6.1 수온과 pH에 함수로 나타낸 이온화되지 않은 암모니아의 %

용존 유기물에서 만들어지는 에너지의 약 28%가 세포 합성에 이용되고 약 72%가 호흡에 이용된다고 가정하면, 세포합성식에 0 용존 유기물에서 만들어지는 에너지의 약 28%가 세포 합성에 이용되고 약 72%가 호흡에 이용된다고 가정하면, 세포합성식에 0.28을 곱하고, 호흡에 0.72를 곱하여 합하면, 종합적인 화학양론식은 아래와 같이 나타낼 수 있다. 위의 같은 화학식을 사용하지 않고 반응물과 생성물에 대한 식으로 다음과 같이 서술할 수 있다. 위의 식은 또한 호기성 폐수처리 공정으로 볼 수 있다. 그 공정의 핵심은 가능한 오른쪽으로 반응이 진행되도록 하여, 유출수에서 BOD를 최소화하며, 침전작용으로 세포를 분리할 수 있도록 하는 것이다.

미국 하수의 BOD와 TSS 방류수 수질 기준은 30 mg/L이다 미국 하수의 BOD와 TSS 방류수 수질 기준은 30 mg/L이다. 암모니아와 암모늄의 배출은 수질이 2 mg/L 이상인 경우나 수질제한적인 지역을 제외하고는 규제되지 않는다. 암모니아나 용존 산소 수질 기준을 초과할 것으로 예상되는 경우는 폐수 부하의 할당을 필요로 한다. 즉, 하천 격자의 수학 모형에 있어서 유입원으로 중요한 폐수의 방류를 포함하는 것을 필요로 한다. 폐수 부하의 할당은 수질 기준을 따르지 않는 하천 구획에 대해서 특별히 지정함으로서 실행된다. 모형은 하천내 허용할 수 있을 정도의 농도를 얻기 위한 각 처리시설의 허용부하량을 결정하는데 필요하다. 강의 수질 모델링은 1925년 오하이오강의 용존산소 농도에 대한 Streeter-Phelp식에서부터 시작되었다. 그 이후, 많이 발전되어, 더욱 세부적이고 현실적인 과정을 가진 모델링이 가능하게 되었다. 모형은 모사하려는 수질농도에 따라 다음과 같이 간단한 물질이동 모형으로부터 부영양화 모형으로 발전하였다.

Streeter-Phelps : BOD, DO : 주 수질 변수 Modified Streeter-Phelps : CBOD, NBOD, DO, SOD Linear DO Balance (선형 DO 평형) : CBOD, NH3-N, NO2-N, NO3-N, PO4-P, DO Eutrophication : CBOD, Org-N, NH3-N, NO2-N, NO3-N, Org-P, PO4-P, Phytoplankton(Chl-a) 최근의 새로운 연구 과제를 열거하면 다음과 같다 자연수내 입자의 응집. 현장의 오염물질과 퇴적물 산소 요구량. 저층-수체 경계면에서는 역사상으로 많은 오염물질들이 침전되어 왔지만, 계속해서 수질에 영향을 미치고 있다. 경계 유기물질의 흡착과 부유 고형물중의 금속 원소 그리고 고분자. 유기물(BOD) 분해. 강과 수체에 필요한 단일 미세 유기 화합물의 생성 소멸.

6.2 물질 수지 방정식 : 플러그 유동 시스템 만약 흐름이 충분히 빠르다면, 플러그 유동 시스템으로 하천을 모델링할 수 있다. 제 2장의 Peclet와 반응 번호를 통하여 검토가 가능함. 그림 6.1 플러그 유동시스템의 물질수지도 정상 상태 상미분방정식 r=-kC인 경우

예제 6.1 1차 소멸 기질, BOD를 포함하는 정상 상태 하천 정상 상태 조건에서 1차 소멸 기질을 갖는 하천에 시간상수가 1, 2, 3 일 경우 상대적 잔류 농도(C/C0)를 계산하라. 현장자료로부터 속도 상수를 구하라. k=1,2,3의 정상상태의 농도해는 다음과 같다. 분해속도상수 k를 구하기 위하여 다음의 현장 자료에 대하여 lnC 대 x의 혹은 ln(C/C0) 대 x/u-의 그래프를 그린다 (u=0.4 m/d).

그림 6.2. (a) 하류 거리에 대한 BOD 자료(mg L-1); x km (b) 산소제거 속도 상수에 대한, BOD 대 의 반대수 그래프 (c) 거리별 BOD에 대한 모델 결과와 현장 자료.

6.2.1 정상 유동인 경우(가변 계수)의 물질 수지 유량, 단면적, 파라미터, 계수 등이 공간에 대해서 변하는 경우에 물질수지로부터 지배방정식과 정상상태의 해를 구하면 다음과 같다. 수치해석적으로는 특성법이나 입자추적법 등을 사용하여 해를 구할 수 있다.

예제 6.2 정상 상태의 하천에서 지수적으로 증가하는 유동과 면적

6.3 STREETER-PHELPS 식 1925년, Streeter and Phelps, 오하이오강의 용존산소, “sag curve”, 용존성 유기물의 BOD의 분해 때문에 용존 산소가 감소, 정상상태 L는 최종 BOD 농도 (ML-3), u는 평균 유속 (LT-1), kd는 1차 탈산소 속도 상수(생물학적 분해능 계수) (T-1) C는 용존 산소 농도 (ML-3); L는 최종 BOD 농도 (ML-3); Cs는 포화 용존 산소 농도 (ML-3); ka는 1차 재포기 속도 상수 (T-1) 정상상태인 경우

변수분리법나 적분인자법으로 결핍용존산소 농도를 구함. 는 적분인자, q(t)는 부하 함수임.

그림 6.3 Streeter-Phelps의 전형적인 D.O. Sag Curve. 위 : 최종 BOD 농도는 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 중간 : D.O. 부족량은 하천내 탈산소율이 재폭기율과 같을 때, 최고점에 도달한다. 아래 : D.O. sag curve의 임계점은 거리가 xc일때이다.

6.3.1 임계 부족량과 거리 (Dc, xc) 정상 상태 조건에서, 임계 부족량과 하류방향의 거리는 다음과 같다. 임계 부족량을 해에 대입하여 임계거리를 구한다. 만약 초기 용존 산소 부족량이 x=0에서 0이라면(D.O.는 Cs로 포화되어 있음), 위식은 다음과 같이 단순화된다.

여러 유입원과 파라미터는 D. O. 감소곡선에 영향을 미침 여러 유입원과 파라미터는 D.O. 감소곡선에 영향을 미침. 자체 정화율은 Fair and Geyer의해서 탈산소속도상수에 대한 재폭기속도 상수(ka/kd)로 정의됨. 최종 BOD(L0)의 초기 농도는 임계 부족 농도에 직접적으로 비례함. 초기 BOD 농도가 클수록, xc에서의 용존 산소 부족 농도도 커짐. x=0에서의 최종 BOD 농도 L0는 배출된 오염원이 강의 유량에 의해서 희석된 값임. BOD5 (5-day BOD)에 1.47을 곱하여 BODU를 구함.  W 는 오염부하량 (MT-1), W는 방류시 순간적으로 충분히 혼합됨. 오염부하 유량을 무시할 수 없다면, 유량-가중 평균 농도를  계산함. 아래첨자 w는 오염부하를 나타내며, s는 하천을 의미함.

온도는 영향은 다음과 같음. 1. 재폭기속도상수는 온도가 증가함에 따라 증가함. 2. 용존산소의 용해도는 온도가 증가함에 따라 감소함. 따라서, 재폭기의 추진력은 다소 감소함. 3. 탈산소속도상수는 온도가 증가함에 따라 증가함. 속도상수와 절대온도의 관계 (Arrhenius, 1889). 활성에너지는 적은 온도 범위에서 일정함. Ea는 활성에너지, R은 완전기체상수, T는 절대온도, A는 지수함수의 앞에 붙는 상수임. 탈산소에 대한 θ값은 보통 1.048이며, 재폭기는 1.024임. 온도 증가에 따라 임계부족량 Dc가 상류로 이동됨(그림 6.4b). 온도 증가는 용존산소 포화농도를 현저히 감소시켜, 재폭기(Cs-C)에 대한 추진력을 제한함으로서 용존 산소 농도(C)를 감소시킴. 

그림 6.4 임계 용존 산소 부족 농도(Dc)에 관한 오염부하량(W), 온도(T), 유량(Q), 초기 부족량(D0)의 영향.

하천 유량의 영향 가장 중요한 영향은 초기 BOD 농도 L0에 대한 것임. L0=W/Q. 재폭기속도상수는 종종 평균 유속의 지수 함수와 평균 수심의 역지수 함수로 표현됨. 유량과 수심, 유속, 하폭의 관계는 다음과 같음. 여기서, a = 0.4-0.7, b = 0.3-0.5, c = 0-0.25 임.

6.3.2 재폭기 속도 상수 1958년도에, O'Conner와 Dobbins은 하천의 재폭기 속도 상수에 관한 첫 번째 모형 식을 개발함. Danckwert의 표면재생이론에 근거함. kL는 유체-막 물질전달계수(LT-1), Dm는 산소의 분자확산계수(L2T-1), r는 표면재생속도(T-1), l는 Prandtl의 혼합길이임. 쌍곡선 코탄젠트 부분은 대략 1.0과 같기 때문에 무시됨. 표면재생속도는 표면전단응력에 비례함. uy는 전단응력때문에 발생하는 수직방향의 평균속도진폭임. Uy 는 유속의 1/10, l는 수심의 1/10 임(O'Conner와 Dobbins). 수심 평균 용존산소농도이므로, 재폭기속도상수는 물질전달계수를 수심으로 나눔. 매끄럽고 고요한 표면에서, 하천에 유입되는 대기산소의 물질전달계수는 0.7 m/day이므로, 수심 2m인 경우 재포기계수는 0.35/d 임. 여러 하천에 대하여 멱함수 형태의 경험식이 도출됨.

표 6.2 하천의 재폭기 공식

예제 6.3 Streeter-Phelps 방정식 플러그 유동 하천에서 유속은 0.3048m/s, 평균 수심은 1.056m, 탈산소속도계수는 0.6/day이다. 초기 최종 BOD농도는 x=0에서 10mg/L, 그리고 초기 결핍농도는 0.0mg/L이다. O'Conner-Dobbins 식을 사용하여 재폭기속도상수를 추정한 후, 다음을 도시하라: (a) 하류거리에 따른 BOD농도, (b) 하류거리에 따른 DO 결핍, (c) 거리에 대한 재폭기속도 (kaD (mg/Ld))와 탈산소속도(kdL (mg/Ld)). 재폭기속도와 탈산소속도가 같은 지점은? 임계결핍점과 거리는? 풀이: O'Conner-Dobbins 공식을 사용한다. 재폭기속도상수는 2.0/day이다. BOD식과 Streeter-Phelps D.O.부족식은 아래와 같다. ka=2.0 day-1, kd=0.6 day-1, L0=10 mg L-1, D0=0 mg L-1, u=16.4 mi d-1

결과: 임계지점과 농도는 다음과 같다. 임계지점에서 재폭기의 속도 kaD는 탈산소속도 kdL와 일치함.

6.4 수정된 STREETER-PHELPS 식 DO의 주감소원은 CBOD, 주발생원은 재폭기이나 다음과 같은 원인을 고려하여야 함. 질산화. 64/14 = 4.57 mg NBOD임. 질산화 박테리아는 흐르는 물 어디에나 존재한다. 그들은 종종 수변이나,  돌에 부착돼 있거나, 부유하고 있을 수도 있다. 질산화 미생물은 보통 독립영양생물이고, 탄소원으로 탄산가스를 이용하지만, 종속영양 질산화 미생물은 군집을 이룬다.

SOD(퇴적물 산소 요구량)는 심하게 오염된 강이나 하천에서 용존산소를 소모하는 주 요인이다 SOD(퇴적물 산소 요구량)는 심하게 오염된 강이나 하천에서 용존산소를 소모하는 주 요인이다. 입자상 BOD와 하천 바닥에 침전된 조류에 의해 생성된 유기물 “ooze"는 수계에서 주요한 산소요구인자가 될 수 있다. 오염이 심각한 지역에서는 SOD는 5-10g/m2/d임. 자연하천에서는 0.1-1g/m2/d의 범위임. SOD는 저생호흡계로 측정하고 측정기는 침전물 밑에 설치함. 저층에서 환원된 Fe(II), Mn(II), HS- 등의 침전물은 수층으로부터 산소를 소비함. 산소의 순1차 생성은 총생산량에서 호흡량은 뺀 것임. 대부분의 하천과 강에서는 물고기, 고등 식물, 무척추동물에 비해서 조류의 생물량이 우세함. 그러므로 용존산소 모형은 조류와 식물성플랑크톤에 의한 순1차 생산량을 포함함. 정상 상태 조건에서는 (P-R)의 일일 평균값임. 광합성은 광주기동안 싸인곡선으로 변하는 것으로 고찰될 수 있는 반면에, 호흡은 계속적으로 일어남. 하천내 산소의 최대 농도는 정오에 발생하고, 최소농도는 야간 호흡 기간동안 과다한 조류의 번식이 용존산소농도를 상당히 소비하는 일출 전에 발생함. 호흡량은 총 광합성량의 평균 2.5%이기에, 식물성플랑크톤의 순 효과는 사멸과 침전전에 하천으로 용존산소를 공급하는데 있음.

배경(background) BOD는 하천이나 강의 비점오염원에 의한 것임 배경(background) BOD는 하천이나 강의 비점오염원에 의한 것임. CBOD의 지속적인 유입은 농지로부터의 유출수, 강우 유출, 고속도로 유출수 등에 의해 일어남. 배경 BOD 농도는 정상 상태의 조건에서 배경 용존 산소의 결핍(Db)을 일으킨다. 정상상태의 D에 대한 물질평형식으로부터 Db를 구할 수 있다. 정상 조건 및 CBOD가 지속적인 배경 농도를 가질 때, 용존 산소의 결핍 농도(D)는 일정하다. 따라서, 다음의 식이 유도된다. 여기서, Lb는 비점오염원에 의한 CBOD 농도임. 통상 Db 는 0.5-2 mg/L 범위임. 표 6.3은 강에 대한 온도보정계수를 고려한 용존산소모형에서 사용될 수 있는 속도상수 범위와 측정방법임. 분변성대장균군과 총대장균군을 일반적 오염물로 간주하여 다음과 같이 간단한 지수 함수에 의해 평가된다. C는 대장균농도(cfu/mL, mpn/mL), C0는 x=0에서 대장균군의 초기 농도이고; k는 1차 소멸속도상수(day-1)임.

표 6.3 강에 대한 온도보정계수를 고려한 용존산소모형의 속도상수의 범위와 측정방법 (1)

6.4.1 CBOD의 침전 입자상 CBOD는 침전한다. 침전의 가능성을 포함하는 수정된 Streeter-Phelps 식은 다음과 같다. kr는 총 CBOD 감소 속도상수 (T-1) = ks + kd 적분요소법에 의해 위 식의 해를 구하면 다음과 같다. 그림 6.5는 시간에 따른 (x/u) CBOD (L)의 반대수 좌표로부터 구한 kr과 kd를 나타냈다. 두 개의 현저히 다른 기울기로부터 속도상수를 구할 수 있다.

그림 6.5 유달시간과 CBOD농도로부터 파라미터의 추정. kr은  입자상물질에 있어서 침전과의 탈산소가 모두 일어나는 경우, kd는 탈산소만 일어나는 경우

6.4.2 합성(중첩)의 원리 Streeter-Phelps의 정상상태의 용존산소모형을 수정하여 NBOD, SOD, 순일차생산(P-R), 비점오염원에 의해 발생하는 이면결핍DO농도의 영향을 해석할 수 있다. 각각의 영향을 해석하여 합하여 총괄 해를 구한다. 그림 6.6은 결핍 DO에 영향을 미치는 반응을 나타낸 것이다. 야간에 호흡이 광합성보다 크면 DO는 감소하고, 주간에는 일차생산력에 의한 산소의 생성이 호흡보다 크므로 DO가 증가한다. 일출전의 시간이 한계조건(R>P)이 된다. 위의 영향을 고려한 물질이동식은 다음과 같다. 정상상태를 가정하고 L과 N의 해를 대입한다.

그림 6.6 DO 부족(D)의 모식도. CBOD (L), 질소에 의한 탈산소를 가지는 (kn) NBOD, 탄소성 탈산소 (kd), 재폭기 (ka), CBOD의 침전 (ks), 순 광합성 (P-R), SOD (S).

비균일 상미분방정식에 대한 해를 적분인자법으로 푼다. 위 식의 우변중 첫 번째 항은 재폭기를, 두 번째 항은 초기 CBOD(L0)를, 세 번째 항은 초기 NBOD(N0)를, 네 번째 항은 SOD(S0)를, 다섯 번째 항은 순호흡율(R-P)를, 마지막 항은 비점오염원에 의한 이면 BOD(Lb)를 나타낸다.

표 6.4 하천에서 생성원/감소원별 결핍 용존산소농도의 물질평형식 및 해

그림 6.7 생성원/감소원별 결핍 DO 농도 변화

6.5 오염부하량의 할당 (허용부하량) 방류수가 배출 허용치를 만족하는 조건하에서 수질 기준이 위반될 것으로 예측될 때에는, 수질 모형을 이용하여 허용부하량을 예측하여야 한다. 이러한 예측은 한계조건(최악의 경우)에서 실행된다. 하절기의 경우 일차생산력이 없는 밤의 갈수기 유량(7일, 10년에 1번 일어남)을 이용하여, 동절기에는 얼음이 표면에서 (재폭기가 없는 조건) 갈수 유량을 이용하여 예측한다. 허용부하량을 계산하기 위하여 QUAL2EU 모형을 사용한다. 본 모형은 용존산소 이외에 부영양화의 영양염류인 유기질소, 암모니아, 아질산염, 질산염, 유기인, 인산염, 식물성플랑크톤 생체량, 클로로필 a, 대장균군, 온도 (열 평형) 등의 수질변수를 모델링할 수 있다.

6.5.1 해석할려는 강의 공간적 분할 (구획화) 수질변수나 파라미터가 공간적으로 변하는 경우, 공간을 분할하여 각 구간에 대하여 일정한 파라미터를 가정하여 농도를 구한다. 예를 들어  초기 D0, L0, N0 농도는 다음의 원인에 의하여 공간적으로 변할수 있다. 지류의 유입 또는 합류, 폐수의 방류, 댐 또는 급류 (급격한 재폭기) 폐수가 오염부하원으로 유입되면 순간적인 완전혼합을 가정하여 다음과 같이 초기농도를 구한다. W는 폐수 방류속도(MT-1), Ls 는 상류지역의 CBOD 농도(ML-3); Qw 는 폐수의 유량 (L3T-1) 만약 폐수의 질량이 크고, 유량이 작다면, D0는 농도와 온도를 유량에 대하여 다음과 같이 가중평균하여 구한다. 여기서, 1, 2는 본류와 지류를 나타낸다.

결핍 용존산소 농도의 해에서 모든 계수는 상수로 가정되었기 때문에 계수가 공간에 대하여 변하는 경우에는 다음과 같은 주변수 및 파라미터에 대하여 격자화된 공간에서 일정한 값을 사용한다. u (유량이나 면적 변화), SOD(S), 순일차 생산량(P-R), 비점오염원의이면 CBOD(LBb), 재폭기속도 상수(속도와 깊이의 변화). 모형 파라미터에 따른 공간의 분할 1구역에서는 x=0에서 새로운 폐수의 유입을 나타낸다. 2구역에서는 x=20km인 지점에서 작은 댐때문에 D0에의 재폭기와 단계적 함수 변화가 나타남. 3구역에서는 또 다른 폐수가 유입하여 x=35km 지점에서 D0, L0, N0 을 재설정한다. 4구역에서는 작은 지류의 합류때문에 D0, L0, N0, u, ka가 변화됨. 분할 4는 x=45km 지점에서 시작되고, x변수는 x=0로 재설정됨. 본 모델링은 용존산소 수질 기준 5mg/L 이상으로 하천의 수질을 유지하기 위하여 W1과 W2를 감소시키기 위한 것임. 계산된 허용부하량값을 배출자에게 공고하여 수질을 관리함.

그림 6.8 모형의 파라미터에 따라 네 개로 분할된 강의 용존산소 농도

예제 6.4 강에 지류가 합쳐진다. DO 모형을 사용해서 D.O. 부족, CBOD, 온도의 영향을 고려한 용존산소의 초기농도를 계산하라. 풀이: 유량 가중 평균의 CBOD, DO, 온도를 구하여 D를 계산함.

측정된 DO 부족농도는, 먼저 두 하천의 온도의 혼합이 일어나면, 그 온도에서의 포화농도를 구한다. 26℃에서, 용존산소의 포화농도는 8.5mg/L이다(부록 A 참조). 그러므로 초기 결핍 용존산소 농도는 1.3mg/L이다.

6.5.2 용존산소 농도의 주간 변화량 일평균최소허용농도의 수질 기준을 만족하기 위해서는 비정상상태의 수질농도의 해가 필요하므로 다음과 같은 용존산소에 대한 물질이동식을 고려한다. ka는 재폭기속도 상수(T-1), Cs 는 포화용존산소농도(ML-3), kd는 CBOD 탈산소속도상수(T-1), kn는 NBOD 탈산소속도상수(T-1), L(x)는 CBOD 농도(ML-3), N(x)는 NBOD 농도(ML-3), P(x,t)는 일차생산속도 (ML-3T-1), R(x)는 식물의 호흡작용(ML-3T-1), S(x)는 침전물산소요구량(ML-2T-1), H (L) 는 평균 수심임. 위의 식은 특성법을 사용하여 수치해석으로 풀 수 있다. 본 방법은 유체의 흐름을 따라 흘러가면서 농도를 계산한다. 즉, 시각별 농도의 위치를 구한다. 따라서, 입자추적법이라고도 함. 위의 식은 편미분방정식이기에 초기조건과 경계조건이 필요함. 초기조건은 t=0시의 농도와 경계조건은 구간의 경계 지점에서의 농도임.

물질이동식은 일차생산에 대한 함수를 필요로 한다. 광합성에 의한 산소생성속도 P(t)는 반주기 sine 곡선으로 표현된다. Pm는 일차 산소생산의 최대속도 (mg L-1 d-1), ts는 광합성이 시작되는 시간 (d), f는 광합성이 발생하는 시간 (보통 ½일). 하루이상의 기간에 대하여 일차생산의 주기함수를 확장하기 위하여, Fourier급수를 사용함. n는 cycle number임. 산소농도의 주간변화량도 지배방정식이 편미분방정식이기 때문에 Fourier 급수를 이용하여 다음과 같이 표현된다. T는 반주기(0.5일)임.

Fourier 급수의 계수는 경계조건에서 평가됨. 다음 Fourier 급수로 평가된 한 지점에서의 용존산소의 농도 변화임. 용존산소농도는 오전 7-8시 사이에 가장 낮다 (야간에는 호흡만 있음). 최대 광합성은 정오와 오후 4시 사이에 일어난다. 최대광합성 생산속도 Pm과 최대용존산소농도는 일치하지 않음. 지연시간은 재폭기, 호흡, 광합성속도 등에 의하여 결정됨. 위의 그림에서 Fourier 급수는 A0=16.16, A1=0.575, A2=-0.1, B1=- 1.025, B2=0.0 임. 하천의 여러 지점에 대하여 모형의 파라미터를 보정하여 Fourier 급수를 추 정하고, 장래 변화를 예측할 수 있음. 재폭기, 탈산소, 질산화, 저질, 최대광합성, 호흡속도 등이 보정이 필요한 파라미터임.

표 6.5 보정을 위한 모형 입력자료

그림 6.10 여러지점의 주간용존 산소의 현장 자료 (a) x=1.6mi (b) x=2.7mi (c) x=6.8mi

6.6 불확실성 해석 환경질 모형은 실제의 근사값으로 단순화되었기 때문에 다음과 같은 오차를 포함한다. 모형 오차. 상태 변수의 오차 (종속변수 및 초기조건). 모형을 운영하기 위해서 사용된 입력자료의 오차. 파라미터 오차 (속도상수, 계수, 독립변수). 오차의 첫 번째 형식인 모형오차는 모형의 부정확한 수식화이다. 즉, 환경현상과 표현된 모형의 미분방정식간의 차이이다. 모형 오차는 대부분 현장자료가 모형의 예측치와 일치하는 않는 것이며, 불확실성 분석을 통해 오차의 범위를 해석할 수 있으나, 현실적인 방법은 동일한 문제에 대해 다양한 모형을 사용하는 것이다. 모형들간의 예측치의 차이에 의하여 모형오차를 평가할 수 있다. 입력자료와 파라미터 오차와 같은 입력된 변수의 오차는 민감도분석, 일차 분석, Monte Carlo 모의 등으로 해석함.

6.6.1 일차 분석 일차 분석은 독립변수 변화량에따른 모형의 종속변수의 변화량의 근사값을 분석한다. Y가 급격히 변하지 않고 x의 분산이 크지 않다면, y의 기대값은  x의 기대값의 함수값과 거의 일치할 것이다. 함수를 근사하기 위해 테일러 급수로 전개한다. 위 식을 선형화하면 다음과 같다. 평균값에 대한 분산은 0이므로, f(x)의 분산은 다음과 같다. S는 표본표준편차이고 S2는 평균으로부터 임의지점에 대한 함수의 표본 분산이다.

다변 관계의 경우, 독립변수간의  공분산을 고려해야 한다. ρxixj는 xi와 xj변수 간의 선형 최소자승 회귀식의 상관 계수이다. 위 식은 일차 불확실성 분석에 대한 기초를 제공한다. 일차 불확실성 분석은 식에서 소거된 고차항의 분산 때문에 고차 비선형 방정식에 대한 실제해의 근사값은 오차의 소지가 있다는 단점이 있다. 그럼에도 불구하고, 여러 환경질 모형에서 매우 효과적인 오차의 예측도구로 알려져 왔고, 모형 파라미터의 공분산 구조를 잘 유지한다. 통상 파라미터의 통계적 평가시 평균과 표준편차(정규 확률)를 사용한다.

예제 6.5 일차 분석 하천에서 BOD에 대한 Streeter-Phelps식은 초기BOD 및 탈산소에 대한 파라미터 L0와 kd를 포함한다. L0와 kd의 평균과 표준편차는 다음과 같다. 하천 유속은 정확히 0.305 m s-1이다. 파라미터는 서로 미약하게 상호관련되어 있다. L0가 클 때, 빠른 탈산소 경향 ρL0kd=+0.7이 나타난다. 해법: 일차해석을 이용하여, 하류거리 0,10,20,40,60,100 km지점에서 BOD농도의 분산을 평가하라. x=20km 지점에서 L0와 kd의 불확실성 때문에 하천에서의 BOD농도의 분산의 추정에 대한 식을 풀 수 있다.

L에 대한 평균 기대값은 평균 파라미터값을 가정하는 BOD식에 의해 도출된다. 배출지점으로부터 하류 20km지점의 BOD의 평균 및 표준편차는 6.342±1.850 mg/L이다. L0의 분산 및 L0과 kd간의 확실한 상관성 때문에 불확실성이 더 크게 나타났다. 오차항(표준편차)은 변동이 크지 않았다(증가하지 않았다); 그러나 x=0에서 x=100km에서 분산계수(표준편차/평균)는 20%에서 53.9%까지 증가하였다.

6.6.2 Monte Carlo 해석 기지의 또는 예상되는 분포(확률밀도 함수)로부터 파라미터(모수)값을 선택하기 위해 난수 발생기를 사용한다. 적당한 파라미터수가 임의로 선택된 후(종합추출), 모형이 실행되고 계산결과가 저장된다. 모델링의 통계적 유의수(다수의 재현값)가 기록될 때까지 계산처리가 반복된다. 결과의 분포로부터, 모든 파라미터 오차가 결합된 불확실성을 반영하여 평균 기대값과 표준편차를 계산한다. Monte Carlo 모델링의 장점은 이론적으로 모형식을 선형화할 필요가 없고 비모수적인 점이다. 그러나 Monte Carlo 분석은 큰 모형에서는 수치계산적으로 비경제적이며, (실제적인 결과를 얻기 위한 특별한 방법으로 종합추출을 하지 않으면) 파라미터간의 공분산 구조를 유지하지 않는다. 파라미터의 분포는 현장에서 수집한 종합적인 시료(표본), 실험실의 축소된 실험, 또는 전문가의 평가에 의해 결정될 것이다. 정규분포는 부가적인 환경 공정으로부터 발생한다. 환경에서 파라미터의 가장 일반적인 분포는 대수정규분포이다.

Monte Carlo 분석은 일차분석보다 몇 가지 장점이 있으며, 계산 비용이 적다 Monte Carlo 분석은 일차분석보다 몇 가지 장점이 있으며, 계산 비용이 적다. 분석절차와 Monte Carlo의 컴퓨터 프로그램은 다음과 같은 단계를 포함한다. 1. 분석하고자 하는 각각의 파라미터, 입력자료, 변수에 대해 불확실성 분포를 결정함. 2. 난수발생기를 이용하여 각 파라미터의 분포를 추출할 것. 대부분의 컴퓨터 프로그램은 난수발생기를 가지고 있음. 3. 발생된 파라미터를 이용하여 모델링을 수행함. 4. 2와 3의 과정을 통계적으로 변화가 없을 때까지 반복함.(보통 100-200). 5. 평균값에 계산된 확률범위를 가감하여 출력함.

예제6.6 난수발생 현장조사로부터, 탈산소 및 재포기속도상수가 아래와 같은 평균과 표준편차의 정규분포를 따른다는 것을 알 수 있다. ka와 kd의 분포를 추출하기 위해 난수발생기를 호출하는 Fortran 프로그램을 작성할 것. 해: 다음의 프로그램은 파라미터의 생성, 출력, S-P 모델링 등의 작업을 수행한다. 50개의 값이 발생되었다. 난수는 IMSL의 External Subroutine으로부터 호출되었다. 거리 대 D의 50개의 재현값을 생성하기 위해서 kd와 ka의 값을 쌍으로 사용하였다. D는 50번의 모델링에 대해서 매 km 또는 5km마다 저장된다. 평균(또는 중앙값)과 4분위값으로 표시된다. 기대값과 불확실성(± 25% 4분위값)의 결과를 보여준다. 그림 6.12는 유하 거리에 따른 BOD 및 D.O 부족량(D)의 불확실성 범위를 보여준다. 표 6.6은 불확실성 분석 방법의 장단점을 비교한 것이다.

그림 6.12  kd=2.0±0.3, kd=0.6±0.1일 경우 Streeter-Phelps식의 Monte Carlo 시뮬레이션 결과. (± 25% 4분위값)

표 6.6 불확실성 분석 방법의 비교

6.7 대규모 강과 하구에서의 용존산소 6.7.1 BOD와 결핍 D.O.

정상상태의 BOD와 결핍 DO의 물질이동방정식 일정한 계수를 가진 2차 선형 상미분방정식의 해석해. 일반적인  (강제함수가 없는) 2차 대수방정식 형태의 제차방정식. 일반해는 다음과 같은 형태이다.  일반식에 대한 적분상수 A와 B를 구하기 위해서,  상류 및 하류의 경계조건을 이용해야 한다. (그림6.13) 분석해를 2개 부분으로 나눈다. (1) 폐수 배출지점(W) 상류구획; (2) 배출지점 하류 구획, 하구인 경우 해양에 이르는 모든 경로

그림 6.13 하구에서의 생화학적 산소 요구량(BOD)과 용존산소(D.O.)

상류에서는 다음과 같은 경계 조건을 가진다. 근 g는 항상 양수이고 j는 항상 음수이기 때문에, 제1경계조건에 근거하여 적분상수 B는 0이 되어야 한다. 제2경계조건으로부터 적분상수 A가 L0와 같다는 것을 알 수 있다. 상류구획의 BOD의 해는 다음과 같다. 하류구획에 대한 해는 다음의 경계조건에 근거한다.

폐수 배출원에서의 미지의 BOD 농도를 추정하기 위해서는 플러그 유동 하천의 방법을 사용할 수 없고, x=0 지점에서의 물질수지 관계를 고려해야 한다. x=0 지점에서 상류에서 유입되는 물질의 질량은 QL0이다. 유입되는물질은 유출물질의 양과 같다.

예제 6.7 정상상태에서 하구의 BOD 및 결핍 D.O. 하구의 특성은 다음과 같다.   정상상태 BOD 농도와 D.O. 부족량을 구하여라.

유동을 구하기 위해서, 각 방정식의 도함수를 취한다.

그림 6. 14 x = 0(예제 6. 7)인 점에서 강어귀의 오염배출점에 따른 (a) BOD, (b) D. O 그림 6.14 x = 0(예제 6.7)인 점에서 강어귀의 오염배출점에 따른 (a) BOD, (b) D.O. 부족량, (c) 반응속도, (d) 종속적인 유동, 그리고 (e) 분산적인 유동의 하류거리(mile)에 대한 세로의 종단면도.

그림 6.14 (계속)

6.7.2 하구에서의 파라미터와 순환의 추정 하구에서의 순환은 하저의 물의 염분 침입에 의해서 밀도에 의해 일어난다. 편향력(상공의 운동체를 지상으로 볼 때 지면에 대해 상대적인 편향(偏向)이생기게 하는 힘; 사실은 지구의 회전에 의한 것)을 무시한다면, 우리는 그림 6.15에 묘사된 바와 같이 2차원적인 순환의 문제를 간단하게 분석할 수 있다. 염분을 함유한 물은 순 운동이 없는 평면의 아래 부분으로 침입하며, 하구에서는 수심에 대한 유동방향으로 역전현상이 있다(그림 6.15). 연속성은 수직방향으로 전단응력 속도가 작용하는 것과 같이 분산이 증가하는 하층수의 위쪽으로의 수직 혼합을 요구한다. 모든 시간에서의 밀물과 썰물의 속도는 순(조류의 영향이 평균화된)수한 세로의 속도, u보다 5배 만큼 많을 수 있다(그림 6.16). u는 담수 유동에 따른 순(조류 평균) 유속 (LT-1), Qf는 담수 유량 (L3T-1), A는 평균 횡단면적

그림 6.15 2차원의 하구의 순환에 대한 모식도.

그림 6.16 (a) 표준화된 단계 (b) 밀물과 썰물의 유속 (c) 염분 농도를 보여주는 하구에서의 조류 주기.

하구에서 역동적으로 주어진 담수의 배출 때문에 순수하게 조류의 영향이 없는 속도를 실제적으로 측정하는 것은 어렵다. 일반적으로 u는 2가지 방법중에 한가지에 의해서 추측되어진다: (1) 담수의 유량은 강의 최종적인 게이지 위치로부터 추측되어지고, 평균 횡단면적은 수심측량의 지도로부터 추측되어진다 (2) 감도가 좋은 형광계로 측정될 수 있는 형광성 염료(예, Rhodamine WT)를 투하하는 것이 있다. 염료는 수심이 깊고 느린 조류가 있는 물이나 수심이 얕고 느린 조류가 있는 물이나, 수심이 깊거나 얕으면서 느린 조류가 있는 물에서의 모두 권고된다. 순수하게 조류의 영향이 없는 물의 속도는 염료가 조류 주기 이후에 최대의 농도로 방출된 지점으로부터의 거리로부터 계산한다. xp는 최대농도인 방출점으로부터의 거리이고, tn는 염료가 방출된 시간이다(n는 조류의 주기 횟수).

하구에서의 분산을 추측하기 위한 간단한 공식은 없으나, 다음으로부터 얻을 수 있다: 염분도 자료. 염료(추적자) 실험의 공간적인 분포. 염료(추적자) 실험의 시간적인 분포. 염분농도는 하구에서 종방향 분산에 대한 자연의 고유한 추적자이다. 연안으로부터 염분이 침투하는 상류의 상당 부분까지 염분농도는 지수적으로 급속하게 감소한다. 정상상태에서의 보존성 물질, 염분에 대한 질량평형 미분식은 2개의 경계조건이 2차 상미분 방정식을 풀기 위해서 필요하다. S는 염분농도이고 S0는 x=0일 때는 연안 농도이다. 위 식의 해는 상류 강의 입구에서부터 변화하는 거리에 대해서 음의 값을 갖는다.

염료는 일시적, 혹은 지속적으로 유입됨. 상류위치의 다리로부터 투하되어질 수 있다 염료는 일시적, 혹은 지속적으로 유입됨. 상류위치의 다리로부터 투하되어질 수 있다. 염료는 몇몇의 조류 주기에 대해서 선박이나 형광계로 추적한다. 이론적으로, 염료 농도의 공간적인 분포는 초기 혼합 기간 후에 가우스(표준) 측면도의 형태를 가진다. 그림 6.18은 델라웨어주의 하구의 추적자 실험의 결과임.  공간적인 분포의 표준편차는 수학적으로 분산계수와 관련되어짐. Cpx는주어진 조류주기에서의 염료의 분포에서 최고점 농도 (ML-3); φ는 최고점 농도로부터 염료가 측정된 지점까지의 거리 (L), φ=x-ut

그림 6.18 Delaware 하구에서 염료 추적자의 일시적인 주입 후 염료 농도(mgL-1) (HW5는 5시간 순환후 농도임)

하구에서의 물질이동에 있어서 주요 파라미터 위의 파라미터는 하구에서 독성중금속이나 유기 화학물질의 이동에도 적용될 수 있다.

과제물 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라. (BOD 및 용존산소에 대하여). Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라. 하천의 용존산소농도에 영향을 미치는 반응을 서술하라. 각 반응속도상수를 평가하는 방법을 서술하라. 농도의 해를 구하는 방법에 있어서 중첩의 원리를 설명하라. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라. 불확실성 분석의 두가지 방법을 설명하라. 본 장에서 이용한 1,2계 상미분방정식의 수학적 해석 방법을 설명하고, 초기 및 경계조건을 이용한 해를 구하라. 모든 과제물은 e-Stream을 이용하여 동영상파일, 슬라이드파일, 제목의 3개창으로 구성하여 수강생 개인의 웹 서버에 구축되어야 함.