12장 : 3상회로 12.1 다상 방식의 이점 12.2 기전력의 발생 및 접속 12.3 3상 회로의 구성 12.4 평형 3상 회로의 전압과 전류 12.5 평형 3상 회로의 등가변환 12.6 평형 3상 회로의 해석 12.7 3상 회로의 전력 12.8 회전자계 12.9 선로의 전압 강하

12.1 다상 방식의 이점 ◈ 다상방식(多相方式, polyphase system) ☞ 주파수는 같지만 위상이 다른 여러 개의 기전력이 동시에 존재하는 교류 방식 ► 단상에 비해 송전선을 크게 절약할 수 있다 ► 회전자계가 이루어진다. ► 발전,배전,송전 등의 산업용 전력에는 3상방식 사용 ► 대칭 3상의 경우, 순시 전력의 총합이 항상 일정하기에 3상 전동기는 소음과 진동이 작아진다.

► 선로손실과 다상방식 ① 단상송전방식 V 전류 I = R + Rl ∴ 부하소비전력 P = I2R [W] < 단상 송전선로> V Rl : 선로저항 + ∴ 부하소비전력 P = I2R [W] - ∴ 선로소비전력 Pl = I2Rl [W] 따라서 부하소비전력 대비 선로소비전력은;

· I1 I2 ► 선로손실과 다상방식 ② 2상송전방식 V1 = V2 = V 라면, I1 = I2 = I0 R(부하) ½ Rl V1 V2 + - I2 · I1 V1 = V2 = V 라면, I1 = I2 = I0 ∴ 부하소비전력 P = ∴ 선로소비전력 Pl = (중간선로에는 전류가 흐르지 않으므로, 손실 없음) 따라서 부하소비전력 대비 선로소비전력은; ► 단상방식에 비해 ½로 감소 < 2상 송전선로>

· · · · · · · I1 V1 I2 V3 V2 I3 ► 선로손실과 다상방식 ③ 3상송전방식 V1 = V2 = V3 = < 3상 송전선로> R ½ Rl + - n n’ I1 · I2 I3 V1 V2 V3 I1 · = I2 · = I3 · = I ∴ 부하소비전력 P = 3I2R [W] ► 전압의 크기가 같고 위상이 1200 차이가 나면, 순시값의 합이나 벡타 합은 항상 “0”임. 따라서 전류도 순시값의 합이나 벡타 합은 항상 “0”임. 즉, ►또한 중성선 n – n’ 에 흐르는 전류는 “0” 이다 ∴ 선로소비전력 Pl = 1.5 I2Rl [W] 따라서 부하소비전력 대비 선로소비전력은; ► 단상방식에 비해 ½로 감소

· · · · · ◈ 전압의 크기가 같고 위상이 1200 차이가 나면, 순시값의 합이나 벡타 합은 항상 “0”임. ► 순시전압 v1 + v2 + v3 = Vm [sinwt + sin(wt - 1200) + sin(wt + 1200)] sin(wt - 1200) = sinwt cos 1200 - coswt sin 1200 sin(wt + 1200) = sinwt cos 1200 + coswt sin 1200 ► sinwt + sin(wt - 1200) + sin(wt + 1200)= sinwt + 2sinwt cos 1200 = 0 ∴ 순시값의 합 V1x · V1y · 1200 V1 · V2 V3 600 V2y V3y = V1 = 0 V2y · V3y + = 0 V2x = V3x = ∴ V1x + V2x + V3x = (∵ V1 = V2 = V3 ) V1 · = 0 V2 + V3 ∴ 벡타의 총합

· · 12.2 기전력의 발생 및 접속 N S · Va Zg Vc Vb ● X a x b y c z ►동일 구조의 3개의 권선을 1200 간격으로 전기자에 감는다. ►전기자가 일정한 속도로 회전하면, 각 권선 양단에 크기는 같고 위상이 1200 차이가 나는 3개의 단상교류전압이 유도 ►3개의 단상전압을 총칭해서 3상 전압이라 함. < 3상발전의 기본 원리> 1200 Va · Vc Vb Va · + - Zg a x Vc c z Vb b y ∴ 전압의 총합은 항상 “0” 임 V1 · = 0 V2 + V3 ► 따라서 전원 내부에 순환 전류는 흐르지 않는다. < 3상전원의 등가표시>

· · Zg Va Vc Vb Vb Vc Zg Va ☞ 평형 3상전원( 혹은 대칭 3상전원) 3상 전원의 위상은 1200 차이가 나지만, 전원의 크기와 내부 임피던스가 같은 전원을 말함. Zg · Va + - a Vc c Vb b 중성선 <Y 결선> Zg · Va + - Vb Vc b <D 결선>

12.3 3상 회로의 구성 ►3상 전원에 부하를 접속하여 구성하는 3상 회로는 부하측도 Y 혹은 D 결선이 될 수 있다. ►따라서 전원부와의 조합방식에 따라, 등의 방식으로 구분된다. ►전원과 부하측이 모두 대칭일 때, “평형 3상 회로 혹은 평형 3상교류” 라 하며,그렇치 않은 경우를 “불평형 3상 회로 혹은 불평형 3상교류” 라 함. < 3상전원의 등가표시>

· · · · · · · · · · 12.4 평형 3상 회로의 전압과 전류 Ila Va Vb Vc Vln Vlab Ic Ib 각 단상의 상전압을 Va · Vb , Vc + - n Va · Vb Vc Vln Vlab Ic Ib Ia Ilb Ilc 단상 전원의 상전류를 Ia · Ib , Ic ► 상전류와 선전류는 같다, 즉 Ia · = Ila Ib · = Ilb Ic · = Ilc ► 선간전압은 각 전원의 전위차이므로, 즉, Vlab · = Va - Vb Vlbc · = Vb - Vc Vlca · = Vc - Va < 이상적인 평형 3상 Y 결선 회로> Vlca · Vc · -Vb · Vlab · -Va · Va · Vb · -Vc · Vlbc ·

· · · · · · · Vlab ☞ 해석 Va - Vb Va + ( - ) Vb 는 로, 이는 와 같다. 또한, + ( - ) Vb 는 로, 이는 와 같다. 또한, 사잇각은 600 이므로, Va · 와 ( - ) Vb Vlab · Va 와 의 사잇각은 300 , 또한 Vlab · -Vb 와 의 사잇각도 300 이다. Vlbc · Vlca 와 도 동일허게 성립한다. ► 평형3상회로에서 선간전압은 단상전압의 √3 배가 된다.

► 선간전압은 단상전압의 √3 배 -Vb Va +(- Vb) Va ► Va +(- Vb)의 y 축 성분은 “0” 이 되고, ► Va +(- Vb)의 x 축 성분은 Va cos 300 의 2배 즉, √3 Va Va cos 300 + (- Vb cos 300 ) = √3Va / 2 + √3(-Vb) / 2 = √3Va (∵ Va 와 (- Vb)의 위상차는 600 이지만, 크기는 같음) 300

· · · · · · · · · · · · · · · ► 평형 3상 4선삭 회로의 상전압과 선간전압 Ila Va Vb Vc + - n Va · Vb Vc Vna Vlab Ic Ib Ia Ilb Ilc 중성선의 전위는 “0”이므로, 단상 전원의 상전류를 Ia · Ib , Ic Va · Vna = Vb · Vnb = Vc · Vnc = ∴ Vlab · = ∴ Vlbc · = ∴ Vlca · = ► 평형 3상 4선삭 Y 결선 회로의 전압,전류 관계식 상전류 Ip · 선전류 Il · 선로와 중성선 사이의 전위차 Vln · 상전압 Vp · 선간전압 Vl · Vlca · = Vc - Va + ( - )

· · · · · · · · · · · · · · · Vlab Ic Ib Va Vc Ia Ilc Ilb Vlbc Vlca + - Va Vb Vc Ia Ilc Ilb Vlbc Vlca b a c Ila ☞ 평형 3상 D 결선 회로에서, ► 상전압과 선간전압은 크기와 위상이 일치 ∴ Vlab · = Va Vlbc · = Vb Vlca · = Vc Ib · Ilb · Ia · Ilb · Ib · Ia · = + ► = + (- ) Ic · Ilc Ib = + + (- ) ► Ilc · Ic · - Ib · Ila · ► 평형 3상 D 결선 회로의 전압,전류 관계식 - Ia · Ia · 상전류 Ip · 선전류 Il · 상전압 Vp · 선간전압 Vl · Ib · - Ic · Ilb · ► 선간 전류는 상전류의 √3 배임

· 예제12-1) D-D 형 평형 3상 회로의 선로에 30 [A]의 전류가 흐르고 있다. 부하 한 상의 임피던스가 (3+j4) [W] 일때, 부하의 상전류, 상전압, 및 선간 전압의 크기를 구하시오. 의 관계식으로 부터, = 3+j4 [W] Z · 상전압 선간전압

· · · 12.5 평형 3상 회로의 등가변환 · ZY V31 V31 ZD ZD V12 V12 V23 V23 I1 I2 I3 + - 1 3 2 <Y 결선> I1 I2 I3 V2 V3 12.5 평형 3상 회로의 등가변환 + - ZD · V12 V23 V31 3 2 1 I12 I1 I2 I3 I23 I31 + - ZD · V12 V23 V31 3 2 1 I12 I1 I2 I3 I23 I31 ► 평형 3상 D결선과 Y결선은 상호 하다. ► 이를 위해서는 각 선간전압(혹은 단자전압)이 같으면 된다. 각 단자전압을, V12’ · , V23’ V31’ 라 하면, ► 평형 3상 D결선에서,

· · · · · · · · · V31 ZD V12 V23 ZY V12’ , V23’ V31’ I1 각 단자전압, I12 I2 + - ZD · V12 V23 V31 3 2 1 I12 I2 I3 I23 I31 ZY V1 <Y 결선> I1 V2 V3 ► 평형 3상 D결선에서, V12’ · = V12 ZDI12 - ► 평형 3상 Y결선에서, V12’ · = V1 ZYI1 - V2 ZYI2 ( ) ► D와 Y결선에서, V12’, V23’, V31’ 을 같다고 두면, = V1 · ZYI1 - V2 ZYI2 ( ) V12 · ZDI12 - V12 · 따라서 = ZDI12 · =

· · · · · · · · · · · · · · · V12 = V1 - V2 ZDI12 = ZYI1 ZYI2 - = I1 - ( ) 따라서 동일한 방법으로, V23’ · V31’ , 에 관해 구할 수 있으며, 정리하면, V12 · = V1 - V2 ZDI12 · = I1 - ZY I2 ( ) V23 · = V2 - V3 ZDI23 · = - ZY I3 ( ) I2 V31 · = V3 - V1 ZDI31 · = - ZY I1 ( ) I3 의 위상도로 V1 · V2 V3 V12 , V23 V31 관계식을 구한다. ☞ V1 · V2 V3 V12 · ►V1, V2 , V3 의 크기는 같다. ► DV1V2V12 에서, V12 는 V1보다 √3베 크며, V23 · ► DV1V2V12 에서, V1 과 V2보의 사잇각은 1200 ► 따라서 V1과 V12 ( 또한V2 와 V12 )의 사잇각은 300 즉, V12 는 V1 보다 앞선다. V31 · ► DV2V3V23 와 DV1V3V31 서에서도 유사한 결과를 구할 수 있다.

· · · · · · · · · · · · V12 , V23 V31 ☞ 결론적으로, V1 V2 V3 ► D 결선의 상전압 는 Y 결선의 상전압 보다 크기는 √3베 크고 위상이 300 앞선다, 즉, ① Y 전원에서 D 전원으로 변환할 때, V12 · = V1 - V2 V31 · = V3 - V1 ② D 전원에서 Y 전원으로 변환할 때, V1 · = V2 · = V3 · = √3 V31 -300 1 I1 · = 0 I2 + I3 ☞ 임피던스 관계식 관계식 이용 ZDI12 · = I1 - ZY I2 ( ) ZDI23 · = - ZY I3 ( ) I2 ZDI31 · = - ZY I1 ( ) I3 = I12 – I31 · I1 관계식으로 부터

· · · · · · · · · · ZD 예제 12.2 아래의 D 형의 평형 3상회로를 Y형으로 등가변환하시오. + - ZD · 3 2 1 30 00 [V] 30 1200 [V] 30 -1200 [V] ② D 전원에서 Y 전원으로 변환할 때, = 0.3+j0.6 [W] ZD · V1 · = √3 V12 -300 1 V2 · = √3 V23 -300 1 = 3 ZY · ZD V3 · = √3 V31 -300 1 V1 · = √3 V12 -300 1 V2 · = √3 V23 -300 1 V3 · = √3 V31 -300 1 30 1200 = 17.3 900 = 0.1+j0.2 [W] ZY ·

· · · · I1 ZY + V2 17.3 -300 - 900 -1500 V1 V3 <Y 결선> 1 900 300

· · 12.6 평형 3상 회로의 해석 Zl · Zg ZL 를 하나의 임피던스로 두면, Y-Y 평형 3상회로는 간략해진다. + - Ia Zl Ib Ic ZL Z0 · = + + Zg Zl ZL 를 하나의 임피던스로 두면, Y-Y 평형 3상회로는 간략해진다. + - n Va · Ic Ia Ib Z0

· · · Va Ib Ic Z0 Ia Vc Vb Zn Va Ib Ic Z0 Ia Vc Vb Va Z0 Ia Ib Vb Ic + - n Va · Ib Ic Z0 n’ Ia Vc Vb Zn + - n Va · Ib Ic Z0 n’ Ia Vc Vb (d) (c) + - n Va · Z0 n’ Ia Ib Vb Ic Vc (c), (d), (e) 회로가 등가임을 증명하자 (e)

· · · · Va Ib Ic Z0 Ia Vc Vb Zn 1 Z Va Ib Ic Z0 Ia Vc Vb n’ + - n Va · Ib Ic Z0 n’ Ia Vc Vb Zn ► 밀만의 정리를 통해 중성선에 전위가 “0” 임을 증명 Va · = 0 Vb + Vc Y = 1 단위 [υ] ; “mho” · Z [υ] Note that (c) ∴ 중성선 전위는 “0” 임 + - n Va · Ib Ic Z0 n’ Ia Vc Vb (d) ► 평형 3상 Y 결선 회로에서 중성선 에는 전류가 흐르지 않으므로, 이 가능하다. ∴ (c)와 (d)는 등가

· · · · · · · Va Ib Ic Z0 Ia Vc Vb Ic Z0 Vc Ib Z0 Vb Va Z0 Ia n’ (d) + - n Va · Ib Ic Z0 n’ Ia Vc Vb (d) ► 중성선은 단락, 따라서 Ia · Ib · Ic · , , 는 모두 중성선 으로 흐른다; 즉 , 이들 전류가 흐르는 회로만을 분리하면, (d-1),(d-2),(d-3) 회로가 된다 따라서, (d-1),(d-2),(d-3) 은 평형 3상회로의 등가단상 회로가 된다. - + Ic · Z0 Vc n n’ (d-3) - + Ib · Z0 Vb n n’ (d-2) + - n Va · Z0 n’ Ia (d-1)

☞ 결론적으로, (c),(d),(e) 는 등가이다. 그러므로, Y-Y 결선의 3선4선식 평형 3상 회로는 3개의 단상회로로 변환할 수 있다. ☞ 따라서, 회로의 전력은 각 단상 회로의 전력을 합한 값과 같다. ☞ 따라서, 회로의 전력은 각 단상 회로의 전력을 합한 값과 같다. ☞ 본 장은, Y-Y 결선에 대해 고려했지만, 대칭 3상 회의 전원이나 부하는 D  Y 변환이 가능하기 때문에 어떠한 평형 3 상 회로는 Y-Y 결선으로 변환이 가능하다.

· · · · · · · · · · · · Vab Vbc Vca Zl ZL Vab Ic Ib Ia Vbc Vca Zl ZL 예제 12.3) 아래와 같은 평형 3상 회로에서 선전류 및 전원에서 공급되는 유효전력의 총합을 구하시오. 단, Vab · 180 00 = Vbc · 180 -1200 = Vca · 180 1200 = Zl · = 11 [W] ZL · = 21 +j72[W] Vab · Ic Ib + - Ia Vbc Vca Zl ZL + - Va · Z0 Ia = 3 ZY · ZD ►D  Y 변환에서 임피던스 관계는, Z0 · ►따라서, = ► 12.5 절, ② D 전원에서 Y 전원으로 변환할 때, V1 · = √3 V12 -300 1 V2 · = √3 V23 -300 1 V3 · = √3 V31 -300 1 ►따라서,

· · · · ► = 18 + j24 [W] = 6(3+j4) [W] Z0 Va = 60√3 Va Z0 10√3 Ia = = -300 Va · Z0 · 10√3 -300 Ia = = 3+j4 = ►따라서, ►따라서, Pa = ∴전체 부하 전력은 P =3Pa =

· · · · · · · 12.7 3상 회로의 전력 ► 결선 방식이나 평형 혹은 불평형에 관계없이 각 상에서의 전력을 구한 후 합산한다. ► 부하에서의 상전압과 상전류를 각각 Va · Vb · Vc · Ia · Ib · Ic · 그리고 각상전압과 전류의 위 상차를 qa, qb,qc 라면, ► 평형회로에서 각 상전압과 상전류의 크기는 같아야 한다 즉, ► Va = Vb = Vc = Vp , Ia = Ib = Ic = Ip , qa = qb = qc = q ∴P = 3 VpIp cos q Pa · = P + jPr = ► 복소전력 ● 선간전압 Vl 선전류 Il 에 의한 표기

· · · · 12.7 3상 회로의 전력 ① D 결선 = Vl Vp = √3 Il Ip ● 선간전압 Vl 선전류 Il 에 의한 표기 ① D 결선 = Vl · Vp = √3 Il · Ip 300 의 관계식에서 크기는; Vl = Vp , Il = √3 Ip ∴P = 3 VpIp cos q = , Pr= 3 VpIp sin q = ② Y 결선 = Il · Ip = √3 Vl · Vp 300 의 관계식에서 크기는; Vl = √3Vp , Il = Ip ∴P = 3 VpIp cos q = , Pr= 3 VpIp sin q = ∴ D 결선과 Y 결선에서; P = 3 VpIp cos q = √3 Vl Il cos q Pr= 3 VpIp sin q = √3 Vl Il sin q

· = P + jPr = 3 VpIp ( cos q + j sin q) Pa 의 관계식에서 ● 선간전압 Vl 선전류 Il 에 의한 피상전력 표기 Pa · = P + jPr = 3 VpIp ( cos q + j sin q) 의 관계식에서 ► Pa = 3 VpIp = √3 Vl Il (( cos q + j sin q)의 크기는 “1” 임) ● 역률 p·f = P / Pa = cos q ● 무효율 r·f = Pr / Pa = sin q

· 예제12-4) 한 상의 임피던스가 (3+j4) [W] 인 평형 3상 Y 부하에 220 [V] 의 선간전압이 인가되어 있을 때, 선전류, 3상전체에 대한 유효전력, 무효전력, 피상전력, 역률 및 무효율을 구하시오. Y 결선에서, j4 I = Vp / Z = 220 [V] / 5√3 = 25.4 [A] q =(3+j4) [W] 이므로, cosq = 3/5 Z · 3 P = 3 VpIp cos q = √3 Vl Il cos q = Pr= 3 VpIp sin q = √3 Vl Il sin q = Pa= √3 Vl Il =

12.8 회전자계 ►전류가 흐르면 주변에 자계가 발생하며, ►자계의 세기는 전류세기에 비례  앙페르의 법칙 ►교류는 전류의 크기가 시간에 따라 변하므로, 따라서 발생하는 자계도 시간에 따라 변하며, 이를 교번자계(alternating magneticfield) 라 한다. ☞교번자계(alternating magneticfield) ●아래의 단상 교류에서 발생하는 자계를 중심선 OO’ 에서 고려하면, 단상 교류의 전류 i = ● X ∴ h = h O O’ ► n개의 코일에 n상의 교류를 흘려주면, 각상에서 발생한 자계를 합한 합성자계는 공간을 회전하게 된다.

► 합성자계를 x 축과 y 축 성분에 대해 각각 합산해서 구하면, A ● x B C ► 1200 씩 배치된 3상 코일에 평형전류를 흘렸을 때, 발생하는 자계를 각각 ha , hb ,hc 라 하면, hc ha = x ha hb = hb hc = ► 합성자계를 x 축과 y 축 성분에 대해 각각 합산해서 구하면, hx = hax + hbx + hcx =Hm sin wt + Hm sin (wt - 1200) cos ( - 1200) + Hm sin (wt + 1200) cos 1200 hy = hay + hby + hcy = 0 + Hm sin (wt - 1200) sin ( - 1200) + Hm sin (wt + 1200) sin 1200

hx = Hm sin wt 2 3 hy = Hm cos wt 2 3 ► 자계의 크기 h는; h = (hx2 + hy2) ½ 그리고 tan q = hy / hx = cos wt / sin wt = ∴ ► 페이저로 표기하면, ☞ 합성자계의 크기는 한 코일에서 생기는 최대자계의 3/2 배, ☞ 교류의 각속도와 같은 회전속도를 가지며, ☞ 이를 “회전자계”라 한다.

► 선로의 임피던스로 인해 전압 강하가 발생한다. 따라서 부하에 적절한 전압을 공급하기 위해서는 12.9 선로의 전압 강하 ► 선로의 임피던스로 인해 전압 강하가 발생한다. 따라서 부하에 적절한 전압을 공급하기 위해서는 전원의 공급전압과 선로의 전압강하를 고려하여야 한다. R X Vs Vr < 전선의 임피던스 > Vs는 송전단 전압 Vr은 수전단 전압 R과 X는 전선 한가닥의 저항과 리액턴스 I는 선전류, q는 위상각 ► 전압강하 e =

► 전압강하 e = Vs – Vr = 2RI = · · · 2I [1] 단상 2선식의 전압 강하 R Vs 부하 ► 전압강하 e = Vs – Vr = 2RI = · · · 2I 58 1 97 100 A L 1000A 35.6 LI = [V] A[mm2], L[m] : 도체의 단면적과 선로의 길이 표준연동의 고유저항 (1/58) x 10-6 [W·m] 전선의 도전율 97 % 로 계산 예제12-5) 단상 2선식 선로에 10[A]가 흐르고 있을 때 도체의 단면적이 10 [mm2], 선로 길이가 100 [m]라면 전압강하는 ? 전압강하 =

► 전압강하 e = Vs – Vr = · · · I · √3 [2] 3상 3선식의 전압 강하 58 1 97 100 A L 30.8 LI = [V] 예제12-6) 3상 3선식 선로에 10[A]가 흐르고 있을 때 도체의 단면적이 10 [mm2], 선로 길이가 1000 [m]라면 전압강하는 ?

► 전압강하 e = Vs – Vr = RI = · · · I [3] 3상 4선식의 전압 강하 ► 평형 3상4선식으로 중성선에 전류가 흐르지 않는 다는 가정 58 1 97 100 A L ► 전압강하 e = Vs – Vr = RI = · · · I 1000A 17.8 LI = [V] 예제12-6) 3상 4선식 선로에 50[A]가 흐르고 있을 때 도체의 단면적이 100 [mm2], 선로 길이가 2000 [m]라면 전압강하는 ?