디지털 신호처리 Jhmoon93@gmail.com

Agenda 1. 서 론 8. FIR 디지털필터의 설계 2. 신호와 시스템 9. IIR 디지털필터의 설계 3. 시스템의 입출력 표현 10. 실현기술 4. z 변환 11. 적응 신호처리 5. 이산푸리에 변환 12. 음성 신호처리 6. 고속푸리에 변환 13. 영상 신호처리 7. 디지털필터의 기초 14. 디지털 신호처리의 응용

Introduction of Digital Signal Processing chapter 01. Introduction of Digital Signal Processing

주요 내용 디지털 신호처리의 개념 디지털 신호처리 시스템의 구성 디지털 신호처리의 목적 디지털 신호처리의 응용분야 디지털 신호처리의 발전 및 현황

1.1 디지털 신호처리의 개념 신호(Signal) 물리적인 양(量)을 나타내는 함수 물리적인 진동(음파, 자동차 진동, 지진파, 뇌파) 현상을 전기 신호로 변환시킨 파형 Analog Signal : 모든 점으로 이루어지는 함수 Digital Signal : 정수(整數)의 집합(集合)으로 주어지는 함수

1.1 디지털 신호처리의 개념 신호처리(Signal Processing) 원하는 정보를 추출, 전달, 축적하거나 시스템을 관측, 제어할 수 있도록 신호에 가공을 하는 것.

1.1 디지털 신호처리의 개념 Historical Background 1940년대 : 디지털 컴퓨터의 도입에 의해 발전 1947년 : Hurewicz에 의해 sampled-data control에 Z-transform 도입 1952년 : Ragazini와 Zadeh가 Z-transform과 sampling에 관계되는 Spectral concepts 를 구체화 함 1960년 : Kalman이 잡음 섞인 Discrete 측정값에서 동적 시스템 상태 추정을 위한 recursive algorithm을 표현 1960년대 중반 : Kaiser가 windowing techniques와 recursive filter design을 위해서 bilinear transform 사용 시도. Digital filter design이 대두. 1965년 : Cooley와 Tukey에 의해 Fast Fourier Transform(FFT) 알고리즘이 개발  DFT의 computation time을 크게 줄임 FFT의 개발은 finite impulse response(FIR) 야햣미 filter의 실시간 처리를 위한 infinite impulse response(IIR) digital filters와 견줄 정도로 시간을 줄일 수 있게 했다.

1.1 디지털 신호처리의 개념 Digital Filter의 장점 Digital Filter의 단점 Smaller size Greater accuracy Greater reliability The ability of multiple filtering tasks Digital Filter의 단점 Quantization error

1.2 디지털 신호처리 시스템의 구성

1.3 디지털 신호처리의 목적 신호 복원 신호 해석 시스템 추정 정보 추출 신호의 합성 및 부호화 잡음과 같은 불필요한 성분제거(Filtering) 신호 해석 신호의 파라미터의 추출 시스템 추정 신호는 시스템의 상태 반영 신호처리에 의해 그 시스템의 구조 및 특성 파악 정보 추출 관측신호에 포함된 정보 추출 전처리에서 신호를 사용하기 편리한 형태로 변환(패턴인식) 신호의 합성 및 부호화 기호나 요소들로부터 신호의 합성(예 : 음성이나 영상의 합성) 고능률 신호 부호화(예 : 예측, 직교변환, 움직임 보상, 양자화)

1.4 디지털 신호처리의 응용분야 영상처리 계측/제어 음성/음향 군사용 통신 생체 의학(의료기기 응용) 패턴인식, Robotic vision, Image enhancement, Facsimile 위성 기상도, Animation 계측/제어 스펙트럼 분석, Noise reduction, 데이터 압축 음성/음향 음성인식, 음성합성, Digital audio, 등화기, 음성 부호화 군사용 비밀통신, 레이더 신호처리, Sonar 신호처리, 미사일 표적지시 통신 모뎀, Echo 제거기, 적응 등화기, ADPCM transcoders, Spread spectrum, Video conferencing, 데이터 통신 생체 의학(의료기기 응용) 환자 모니터링, Scanners, 심전도 해석, X-ray storage/enhancement

1.5 디지털 신호처리의 발전 및 현황 연속값의 이산화 샘플링 제어이론 컴퓨터에 의한 신호처리 신호처리 알고리즘 아날로그 신호의 시간 축 및 진폭 축을 이산화 샘플링 제어이론 신호처리 시스템의 이론적 기반 컴퓨터에 의한 신호처리 디지털 신호처리 발전에 큰 기여 신호처리 알고리즘 DFT(discrete Fourier Transform) FFT(Fast Fourier Transform)

1.5 디지털 신호처리의 발전 및 현황 하드웨어에 의한 실현 신호 프로세서 LSI 기술의 진전에 의해 신호처리를 전용하드웨어로 구현 실시간 처리 신호 프로세서 제1세대 SP(signal processor) 고정소수점 연산을 기본으로 곱셈과 덧셈을 고속으로 실행 제2세대 SP 32bit 부동소수점 연산 제3세대 SP 사용목적에 따른 전용 SP (car phone, mobile phone)

1.5 디지털 신호처리의 발전 및 현황 디지털 신호처리 연구의 흐름 비실시간 실시간 1차원 다차원 고정 적응 선형 비선형 비실시간 실시간 1차원 다차원 고정 적응 선형 비선형 직렬 병렬 개별 멀티미디어

1.5 디지털 신호처리의 발전 및 현황 신경망(neural network) 웨이브렛변환(wavelet transform) 인간의 뇌신경세포의 기능과 네트워크의 메커니즘을 공학적으로 이용해 보자는 시도 음성, 영상, 문자인식 및 로봇제어에 응용 웨이브렛변환(wavelet transform) 삼각함수를 기본으로 하는 푸리에변환과 달리 주파수 정보와 시간정보를 가지고 있다 시간-주파수 해석 도구 시계열 정보압축, 영상압축 등에 응용

1.6 DSP Overview

chapter 02. Signal and System

주요 내용 신호 연속신호 신호의 표본화 및 양자화 이산신호 이산신호의 임펄스 표시 에너지신호와 전력신호 이산시스템

2.1 신 호 신호란? 어떤 매체(공기, 동축케이블, 광파이버 등)를 통하여 정보를 전달하기 위한 물리전인 파형(음성, 광, 전기, 전파 등) 시간 또는 위치의 함수로 표시 Periodic signal Continuous signal Discrete signal Digital Signal Non-periodic(or Transient) signal

2.1 신 호

2.1 신 호 시간 t에 대한 함수 는 연속함수 ` 일정한 시간간격(샘플링 주기)으로 샘플링한 신호 ` 는 이산시간에서만 함수값이 존재 샘플링 주기 T를 1로 간주

2.2 연속신호 1. 정현파 신호(sinusoidal signal)

2.2 연속신호 복소 정현파 신호 또는,

2.2 연속신호 예제 2.1 어떤 신호의 각주파수 가 일 때, 이 신호를 주파수로 표시하라 예제 2.1 어떤 신호의 각주파수 가 일 때, 이 신호를 주파수로 표시하라 (풀이) 각주파수와 주파수의 관계가 이므로 이다. 예제 2.2 다음 신호의 주기를 구하라 (풀이)

2.2 연속신호 2. 단위 계단 신호(unit step signal) 구형파 함수(rectangular function)

2.2 연속신호 3. 단위 임펄스 신호(unit impulse signal) = 델타 함수(delta function)

2.3 신호의 표본화 및 양자화 표본화 정리(sampling theorem or Shannon’s theorem) : 연속신호 로부터 다음 관계식에 따라 샘플 의 수열을 얻는다 샘플링 신호 를 이용한 원 신호 의 복원 주어진 연속신호 의 가장 높은 주파수가 일 때 표본화 주파수 를 의 2배 이상으로 설정하여 샘플링 이를 표본화 간격으로 표시하면 where, 를 Nyquist 표본화 주파수라 한다

2.3 신호의 표본화 및 양자화 2. 에일리어싱 연속 신호의 주파수 스펙트럼 ` 표본화 정리를 만족하는 경우 ` 저역 필터를 이용하여 원 신호의 복원 가능 ` 표본화 정리를 만족하지 않는 경우 ` 신호의 스펙트럼이 중첩되어 원신호의 복원 불가능

2.3 신호의 표본화 및 양자화 예제 2.3 다음과 같이 주어지는 연속신호를 표본화할 때, 에일리어싱이 예제 2.3 다음과 같이 주어지는 연속신호를 표본화할 때, 에일리어싱이 발생하지 않게 A/D 변환을 할려면 Nyquist 표본화주파수를 얼마로 해야 하는가 (풀이) 위의 신호는 25, 30, 50[Hz]의 세 주파수로 구성된 신호이다. 따라서 가장 높은 주파수 성분에서 2배한 값을 Nyquist 간격으로 하면된다. 즉, 표본화 주파수는 100[Hz]이고 표본화 주기는 0.01[sec]이다.

2.3 신호의 표본화 및 양자화 3. 양자화 양자화 폭 은 신호를 몇 비트의 2진수로 표현하는가에 의해 결정 양자화 폭 은 신호를 몇 비트의 2진수로 표현하는가에 의해 결정 where, L은 신호를 양자화 하는 비트 수 예) 6bit의 2진수를 출력하는 A/D 변환기를 이용하여 –5[v]에서 +5[V]까지 사이의 양자화를 할 때 양자화 폭은 다음과 같다 그림 2.6 양자화된 이산신호

2.3 신호의 표본화 및 양자화 양자화 방법 -. 라운딩(rounding) 방법 -. 트렁게이션(truncation) 방법 : 사사오입 -. 트렁게이션(truncation) 방법 : 잘라버림 -. 비선형 방법 : 입력샘플의 진폭이 작은 범위에는 양자화 스텝을 많이 설정하여 (양자화 폭을 줄임) 정확하게 변환시키고, 입력샘플이 큰 곳에는 상대적으로 오차가 크더라도 그다지 문제가 되지 않으므로 양자화 폭을 늘려서 양자화 => 신호대잡음비(S/N) 개선 -. 축차 비교형 방법 : 표본화에 의해 어떠한 시점에서 값을 구하여 이 값을 일정시간 저장하고 있는 사이에 양자화 실행(sample and hold)

2.3 신호의 표본화 및 양자화 4. 양자화 방법(축차 비교형 A/D 변환기) 비교의 조건 를 만족하는 최대의 가 얻어질 때가지 비교 이때의 가 양자화에 의한 디지털 출력이다

2.3 신호의 표본화 및 양자화 예) 레지스터 n=3의 A/D 변환기에 의한 양자화를 살펴보자 레지스터의 출력은 3[bit]이므로 이다 여기서 A/D 변환기의 입력 이라 하자 Step 1 : 먼저 레지스터 를 0으로 clear시킨다 Step 2 : 최상위의 만을 1로 한다 비교조건을 만족하지 않으므로 의 값을 0으로 한다

2.3 신호의 표본화 및 양자화 Step 3 : 을 1로 한다 비교조건을 만족하므로 의 값을 1로 한다 비교조건을 만족하므로 의 값을 1로 한다 Step 4 : 을 1로 한다 비교조건을 만족하는 최대 값이다. 따라서 위 값이 양자화에 의한 디지털 출력이다

2.3 신호의 표본화 및 양자화 예제 2.4 아날로그 신호의 진폭값이 –2[V]에서 2[V]이다. 이때 2[bit] 양자화기를 이용하여 양자화하고 양자화한 값에 대하여 각각 레벨(부호화)을 붙여라. (풀이) 2bit의 2진 부호를 사용하므로 스텝으로 구성 진폭값이 –2[V]에서 2[V]이므로 분해능은 1[V]이다. 따라서, 로 되므로 종축의 눈금은 –1.5, -0.5, 0.5, 1,5[V]가 양자화 값이다 -1.5[V] = label 0 = 00 -0.5[V] = label 1 = 01 0.5[V] = label 2 = 10 1.5[V] = label 3 = 11

2.4 이산신호 1. 단위 임펄스 수열(unit impulse sequence)

2. 단위 스텝 수열(unit step sequence) 2.4 이산신호 2. 단위 스텝 수열(unit step sequence) 단위 스텝수열과 단위 임펄스 수열 사이의 관계

2.4 이산신호 단위 구형파 수열(unit rectangular sequence)

2.4 이산신호 3. 지수 수열(exponential sequence) 와 는 양 또는 음의 상수

2.4 이산신호 4. 정현 수열(sinusoidal sequence)

2.4 이산신호

2.4 이산신호 예제 2.5 다음 이산신호의 주기를 구하라. (풀이) 이므로 이 신호의 주기는 다음과 같다

2.5 이산신호의 임펄스 표시 단위 스텝 수열의 임펄스 표시 : 임의의 이산신호 는 임펄스의 합으로 표시할 수 있다 : 임의의 이산신호 는 임펄스의 합으로 표시할 수 있다 : 이산시간 상에 있는 임펄스 : 임펄스의 세기(진폭) 단위 스텝 수열의 임펄스 표시

2.5 이산신호의 임펄스 표시

2.6 에너지신호와 전력신호 에너지신호 전력신호 -. 이산신호의 에너지는 신호의 크기를 제곱한 후 모든 t구간에 대하여 적분한 값이다. 즉, -. 만약 E가 유한 값이라면 신호 를 에너지 신호라 정의한다 전력신호 -. 무한 에너지를 가지는 대부분의 신호들은 유한한 평균 전력을 갖는다 -. 이산 신호 에 대한 평균 전력은 다음과 같이 정의된다 -. 만약 P가 유한하면 그 신호를 전력 신호라 정의한다

2.6 에너지신호와 전력신호 예제 2.6 임펄스수열 및 지수수열 는 에너지신호인가 전력신호인가? 예제 2.6 임펄스수열 및 지수수열 는 에너지신호인가 전력신호인가? (풀이) 임펄스수열는 인 에너지신호이다 지수수열은 인 전력신호이다

2.6 에너지신호와 전력신호 예제 2.7 다음 수열의 신호를 결정하라. (풀이) E가 유한이므로 에너지신호이다 예제 2.7 다음 수열의 신호를 결정하라. (풀이) E가 유한이므로 에너지신호이다 이므로 에너지신호는 아니지만 이므로 전력신호이다

2.6 에너지신호와 전력신호 무한급수(Taylor Series)

2.7 이산 시스템 시스템(system) 이산시스템(discrete system) -. 신호를 처리하여 정보를 얻어내는 데 편리한 형태로 변환(transformation)하는 장치 또는 수단 -. 연속시스템, 이산시스템, 디지털시스템 이산시스템(discrete system) -. 선형성, 시불변성, 인과성, 안정성을 고려해야 함.

2.7 이산 시스템 1. 이산시스템의 선형성 일 때 이면 이 시스템은 선형성(linearity)을 만족한다 (2-19)

2.7 이산 시스템 예제 2.8 다음 시스템이 선형시스템임을 증명하라 (풀이) 식( 2-19)를 적용하면 예제 2.8 다음 시스템이 선형시스템임을 증명하라 (풀이) 식( 2-19)를 적용하면 이므로 이 시스템은 선형이다

2.7 이산 시스템 예제 2.9 다음 시스템이 비선형시스템임을 증명하라 예제 2.9 다음 시스템이 비선형시스템임을 증명하라 (풀이) 식 (2-19)에서 b=0이라 하더라도 선형성을 만족해야 한다. 즉, 이므로 이 시스템은 비선형이다

2.7 이산 시스템 2. 이산시스템의 시불변성 (2-20) 이면 이 시스템을 시불변시스템(time invariant system)이라 한다

2.7 이산 시스템 예제 2.10 다음 시스템이 시불변시스템임을 보여라 (풀이) 식 (2-20)에 의해서 예제 2.10 다음 시스템이 시불변시스템임을 보여라 (풀이) 식 (2-20)에 의해서 예제 2.11 다음 시스템이 시변시스템임을 보여라 (풀이) 이 시스템은 입력신호에 를 곱하는 시스템으로 이므로 이 시스템은 시변시스템이다

2.7 이산 시스템 3. 이산시스템의 인과성 인과시스템(causal system) 비인과시스템(noncausal system) : 이산시스템에서 현재의 출력이 현재 및 과거의 입력에 따라 결정되는 시스템 비인과시스템(noncausal system) : 미래의 입력이 현재의 출력에 영향을 주는 시스템 예제 2.12 (풀이) 이 시스템의 현재 출력신호는 미래 입력신호와 무관하므로 인과시스템이다 예제 2.13 (풀이) 이 시스템은 미래 입력신호 때문에 비인과시스템이다

2.7 이산 시스템

2.7 이산 시스템 4. 이산시스템의 안정성 안정시스템(stable system) -. 제한된 입력 값이 인가될 때, 이에 대응하는 출력이 발산하지 않고 유한한 값으로 수렴하는 시스템 -. 입력과 출력을 각각 라 할 때, 일 때에는 모든 n에 대하여 항상 로 된다 불안정시스템(unstable system) : 안정시스템이 아닌 시스템 입력신호가 유계일 때도 출력신호가 유계로 되지 않는 경우 발생

2.7 이산 시스템 5. 역시스템 : 출력신호 로부터 입력신호 를 유일하게 결정할 수 있는 시스템 : 출력신호 로부터 입력신호 를 유일하게 결정할 수 있는 시스템 즉, 출력신호 를 역시스템에 입력할 때 출력으로 가 나오는 시스템