Medical Instrumentation 5조 : 2006200418 안성수(1등) 2005200602 서만환 2006200416 백진우 2009103854 손지현 2009103856 신보미 제출일: 2011.3.29

최소 자승 오차 법 (Least Square Error Method) Calibration? Calibration Curve ? 교정, 보정이라는 뜻으로 특정조건에서 측정기기, 표준물질, 척도 또는 측정체계 등에 의하여 결정된 값을 표준에 의하여 결정된 값 사이의 관계로 확정하는 일련의 작업 Least Square Error Method를 사용하는데 쓰이는 중요한 개념 임의의 자료 값이 일정한 형태로 분산되어 있을 때, 그 값들이 어떠한 분포를 가지고 있는지 대략적인 형태를 알아보기 위한 표준화된 곡선

Least Square Error Method 최소 자승 오차법이란? Ex) 디지털 온도계 실험을 통해 독립변수X에 대한 종속변수Y의 데이터를 N 개 수집한다.(실험을 통해 얻은 Data는 오차를 갖는다.) 이 때, 변수 간에 일정한 규칙을 갖는데, 이들 변수 사이의 상관관계를 찾기 위해 최소 자승 오차법을 사용한다. (오차를 가장 많이 줄일 수 있는 방법) 관계식? 온도 전압

Least Square Error Method 가장 정확한 방법 ??? 모든 온도에서 전압 측정 but, 현실적으로 불가능! 온도에 따른 전압 값 N개를 얻는다. T(온도) V(전압) Q. 어떻게 하면 오차가 가장 작은 그래프를 찾을 수 있을까?

Least Square Error Method 1) 최적의 그래프가 선형(Linear) 오차 (ei) V(전압) T(온도) V=aT+b 오차(ei)의 제곱을 더했을 때 최소가 되는 직선 모든 데이터를 가장 잘 표현 할 수 있는 1개의 직선

Least Square Error Method 미지수 a, b 구하기 V(전압) T(온도) (xn, yn) (xi, yi) Least Square Method의 원리 함수값y(xi) 과 측정값 yi 의 차이 (오차)를 제곱한 것의 합이 최소가 되는 함수 y(x)를 구하는 것 en V=aT+b ei (x1, y1) e1 e2 (x2, y2)

Least Square Error Method 최소 자승 오차법 이용 = 오차 제곱의 합이 최소 a,b의 최소값을 구해야 함.

Least Square Error Method 방법1) Linear Regression Analysis(선형 회귀 분석)

Least Square Error Method 방법2) Matrix Equation (행렬방정식) x₁ 1 x₂ 1 ·· ·· xn 1 a b = y₁ y₂ ·· yn N × 2 2 × 1 N × 1 N × 2 2× 1 N × 1 2 × N N × 2 2 × 1 2 × N N × 1

Least Square Error Method 2) 최적의 그래프가 비선형(고차원함수) 비선형 함수에서도 최소오차법을 적용한다. 이 때, 방법2) Matrix Equation을 이용하여 해를 구한다.

에일리어싱(Aliasing) : 샘플링 된 신호로부터 다시 원래 신호로 구성될 때 그 신호와 달라지는 현상 s(t) t 원래 Signal Aliased Signal 주파수 : 5Hz 0.2s 1s 4Hz로 Sampling • 주파수 5Hz 정현파 신호를 4Hz로 Sampling(주파수 : 1Hz, 주기 : 1s 정현파 발생)  원래 신호의 모습을 찾아볼 수 없는 신호 발생  Aliasing 발생( fs < 2fm 일 때 ) • 샘플링 주파수(fs)는 신호의 최대 주파수(fm)의 2배 이상이어야 함 └> Nyquist(나이퀴스트) 이론 : fs ≥ 2fm • Aliasing 없이 샘플링 하려면 한 주기당 최소 2개 이상의 샘플 !!!

(generalized Static Characteristics) 의용계측의 일반적인 정적 특성 (generalized Static Characteristics) ☞ 정확도(Accuracy) • 측정치의 평균값과 참값의 차가 적은 정도 • < true value : 참값 measured value : 측정치의 평균값(=estimated mean) > • Measure of the total error

• 표현방법 - % of reading - % of FS(or simply %) - ±number of digits - ± ½ the smallest division of an analog scale - Sum of the above → full scale : the maximum value ┌> full scale EX> (Thermometer) Range : 0 ~ 100℃, data : 50℃ Case 1> ±1% of FS ⇒ 오차 = ±1 49 ≤ T* ≤ 51 Case 2> ±1% of reading ⇒ 오차 = ±0.5 49.5 ≤ T* ≤ 50.5 True Value(참값) <┘ ┌> data (50 ℃)

☞ 정밀도(Precision) • 측정의 정밀함을 나타내는 것 • 높은 정밀도가 반드시 높은 정확도를 의미하지 않는다. Ex > ⑴ □ □ □ . □  1 digit 정확도 : ±0.1 ⑵ □ □ □ . □ ■  2 digit 정확도 : ±0.1 ⑶ □ □ □ 정확도 : ±0.1 ⇒ 정밀도 : ⑵ > ⑴ > ⑶ ⑵번이 ⑴번보다 더 accurate 해 보이지만 정확도가 ±0.1일 때 ■ 은 불필요(useless)하다(■ 가 아무리 변해도 의미 없다.)

☞ 해상도(resolution) • 믿을 수 있는 & 겹치지 않는 최소범위, 오차의 크기 Ex> 정확도 : 0.1 ℃ 일 때, 36.5  36.4 ℃ ≤ 36.5 ℃ ≤ 36.6 ℃ 36.6  36.5 ℃ ≤ 36.6 ℃ ≤ 36.7 ℃ └> 겹치는 범위가 있다. 36.7  36.6 ℃ ≤ 36.7 ℃ ≤ 36.8 ℃ └> 겹치는 범위가 없다.  해상도 : 0.2 ℃ (36.7 - 36.5) 65  64.9 ℃ ≤ 65 ℃ ≤ 65.1 ℃ 66  65.9 ℃ ≤ 66 ℃ ≤ 66.1 ℃ └> 겹치는 범위가 없다.  해상도 : 1 ℃ (66 - 65)

☞ 재현성(Reproducibility or repeatability) • 어떤 주기 시간에 적용된 동일한 입력에 대하여 같은 출력을 주는 능력 • 재현성이 정확도를 의미하지 않는다. ☞ Statistical Control(통계적 관리) • Random variations in measurements ⇒ statistical analysis ⇒ determine error variation • 평균화는 참값(true value)의 추측을 향상시킬 수 있다.

☞ 민감도(Sensitivity) Slope : Sensitivity 같은 온도 범위를 더 많은 전압 값으로 표현  정확도가 충분히 보장되는 가정 하에 정밀도↑  같은 온도범위를 더 많이 나누어 표현하기 때문에 해상도↑ • 측정범위 ↑ ⇔ 민감도↓ ΔV2 ΔV1 ΔT T V

☞ 민감도 드리프트(Sensitivity Drift) ☞ 영점 드리프트(Zero Drift) 오차의 크기 • 오차의 크기 일정 ( =같은 크기만큼 모든 Output이 증가 or 감소 ) • percent of FS(Full Scale) 으로 표현하는 것이 좋다. ☞ 민감도 드리프트(Sensitivity Drift) 오차의 크기 • 오차의 크기가 측정치에 비례 • percent of reding 로 표현하는 것이 좋다.

<Review> 1.전원과 부하 0.1A Imax = 0.1A Power = 1W 과부하 정전압원 ( : 최대부하)

*Quiz 1. R이 10kΩ 이면 볼트는? 전류는? 10v, 1mA 2. R이 1kΩ 이면 볼트는? 전류는? 10v, 10mA 3. R이 100Ω 이면 볼트는? 전류는? 10v, 0.1A 4. R이 10Ω 이면 볼트는? 전류는? 1v, 0.1A overload

Loading Effect -부하 효과를 최소화 =VL 을 최대로 =RS << RL =부하의 크기가 작음 부하 효과 Imax = 0.1A -부하 효과를 최소화 =VL 을 최대로 =RS << RL =부하의 크기가 작음 Power = 1W

2.신호원 저항과 부하저항의 부하(과제1) Vmax = 10v ( : 최대부하)

1. R이 0.1Ω 이면 볼트는? 전류는? 0.1V, 1A 2. R이 1Ω 이면 볼트는? 전류는? 1V, 1A *Quiz 1. R이 0.1Ω 이면 볼트는? 전류는? 0.1V, 1A 2. R이 1Ω 이면 볼트는? 전류는? 1V, 1A 3. R이 10Ω 이면 볼트는? 전류는? 10V, 1A 4. R이 100Ω 이면 볼트는? 전류는? 10V, 0.1A overload

*전력공급을 최대로 하려면? (과제2) <Impedance Matching>

<Impedance Matching> 어떠한 물리량이든 함수로 표현가능 이 함수의 최대/최소값은 이 함수의 기울기(변화률)가 0 이 되는 지점 즉 함수의 미분값이 0 이 되는것

위 식에서 분모항이 최소가 되면 이 최대가 된다. 그래서 분모항이 의 함수일때 최소 및 최대는 의한 미분이 0 이 될때이다 위 식에서 분모항이 최소가 되면   이 최대가 된다.         그래서 분모항이  의 함수일때  최소 및 최대는   의한 미분이 0 이 될때이다    위식이 0이 되기위해서   이 되어야 하며 은 다음과 같다.              와   가 모두 양수라고 가정하면 은 다음과 같다.

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