Eliminating noise and other sources of error

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1 Eliminating noise and other sources of error
오차분석 Eliminating noise and other sources of error

2 3. 오차 분석 a. 기기의 불확실성 기기를 갖고 어떤 측정을 할 경우 기기의 눈금을 읽는 데서 발생되는 오차,
눈금 자체의 불확실성, 측정자의 오차, 등으로 기기 오차가 발생. 이러한 불확실성은 때로 실제 측정치의 크기와 무관한 경우도 있다. 기기 불확실성 은 일반적으로 기기를 조사하여 결정하거나 측정의 신뢰도를 추정하는 과정 을 통해 측정하여 결정한다. 일반적으로 기기에 가장 적은 척도 크기의 수분 의 일로 읽을 수 있어야 한다.     수은 온도계 : 수은의 높이를 가장 작은 척도 크기의 반에 해당되 는 적은 수 로 읽을 수 있어야 한다. 이 적은 수의 반이 + 또는 - 로 인용되어 한 번의 측 정에 대한 표준 편차로 인용된다. 관측 : 망원경+ 검출기 : 천체의 빛을 검출할 때, 빛은 광자들의 Poisson 분포로 들어오며, CCD 같은 검출기의 오차는 무작위의 가우스 분포로 취급할 수 있음.  Gaussian 분포 : 무작위 측정이 평균에서 1 표준 편차 내에 있을 확률은 68%가 된다.

3 b. 통계적  불확실성 측정치 x가 무작위 과정에서 단위 시간 간격 당 검출기에 측정치를 나타낸다면 이 측정치에 내 포된 불확실성은 통계적이라고 본다. 왜냐하면 이는 측정에서 정확도 때문에 발생되는 것이 아니고 일정 시간 간격 내에서 유한한 수를 모으는 데서 발생된 통계적인 요동에서 발생되기 때문이다. 통계적 요동은 실험을 통해서 보다는 각 관측치에 대해  표준편차를 해석적으로 구해서  분석할 수 있다.  같은 관측을 계속 반복한다면 관측치가 평균에 대해 Gaussian 대신 Poisson 분포를 하는 것을 발견하게 된다. Poisson 분포의 장점은 표준 편차가 자동으로 결정된다는 점이다. s  = m1/2   평균에 대한 표준 편차 비인 상대적 불학실성은 s/ m = 1/ m1/2 는 단위 시간 간격 당 count 수 가 증가함에 따라 불확실성이 감소한다. 따라서 count가 증가되면 상대적 불확실성은 감소한다. 물론 표준편차를 결정하는 m 는 모 분포에서 평균치며 각 측정 x 는 이 모 분포의 근사 샘플일 뿐이다.  무한한 측정을 해야 측정치의 평균이 모분포 평균에 아주 접근되지만 때로는 무한의 측정보다 훨 씬 작은 경우, 각 측정치의 x를 하나 이상 결정할 수 없는 경우도 있다.  따라서 하나의 측정치 x에서 표준 편차는 x1/2 로 억지로 쓰기도  한다. 예 3.1 강한 방사성 물질에서 방출되는 감마선 측정 실험에서 순간적인 count rate을 결정할 수 없으므로 시간 간격 Dt 안에 검출된  x 수를 결정하여 이를 이 시간 간격에 평균으로 나타낸다.  1초 간격에 5212 count를 기록했다면 시간에 대한 무작위로 count가 분포되어 Poisson 확률 분 포함수를 따른다면 분포의 표준편차 s = 52121/2 가 된다.  시간 간격 Dt 에 x count의 결과를 로 기술할 수 있고, 상대적 오차는 s/ x = 1/72 = = 1.4%

4      전체 부정확도에는 기기에 의한 부정확도가 포함된다.
즉 시간 간격이라는 것은 단지 유한한 정확도를 갖는 것이기 때문에 이러한 부정확도는 조절할 수 있으므로 통계적 부정확도가 전체 오차를 지배하도록 실험을 할 수 있다. 예를 들어 시간 간격 Dt = 1.00 초 에서 기기에 의한 부정확 s=0.01 초라 하자. 시간 간격에서의 상대적 부정확도는   s/Dt = 0.01/1.00 = 1%    이다. 즉 시간 간격 때문에 발생되는 상대적 기기 오차는 x count에 1%에 해당되는 오차를 유발한다. 이 기기 오차가 통계적 오차와 맞먹는 크기라면 좀더 정확한 시간 간격을 제 거나 시간 간격을 증가시켜 기기오차를 줄여야 한다. 시간 간격을 1초에서 4 초로 늘일 경우 x count 도 4배로 늘 것이며 따라서 1.4%의 통계적 오차는 2배로 감소되어 0.7%가 될 것이며 반면에 기기 오차는 4배로 감소되어 0.25% 가 될 것이다. 이 때  같은 기기 오차 유발을 가정했다.

5 3.2. 오차의 전달 한 개 이상의 측정 변수의 함수로 된 종속 변수 x를 결
3.2.  오차의 전달 한 개 이상의 측정 변수의 함수로 된 종속 변수 x를 결 정해야 할 경우가 있다. 따라서 측정 변수에 부정확도가 종속 변수의 부정확도에 어떻게 전파되는지를 알아야 한다. 예 : 길이 L, 넓이 W, 높이 H 인  상자의 부피 V 각각을 재어 L0, W0, H0에서 부피는     V0=L0W0H0가 된다. 그렇다면 각 측정치에 부정도는 부피 V0에 어떤 영향을 줄까?      만일 실제 오차가 DL = L - L0, DW= W-W0 , DH=H- H0 로 각 변에 나타난다면 결과적으로    부피에 나타나 는 오차는  부피 V를 점 (L0, W0, H0)에 대해  Taylor series 로 전개하여 측정할 수 있다.

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7 부정확도 = 오차

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10 3.3 특수한 오차 공식들 a. 단순 합과 차 b. 가중된 합과 차 c. 곱과 나눔

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13 오차전달 x, y 가 각각 정상분포(Gaussian=normal distribution) 로 평균, 표준편차, variance sX2, sY2 를 갖는 경우 Z= x+y, W=x-y의 variance sZ2, sW2 는 두 variance 의 합이다. sZ2 = sW2 = sX2 + sY2 곱과 나뭄의 경우 ; Z=xy, W=x/y (sZ/Z)2 = (sW/W)2 = (sX/X)2 + (sY/Y)2

14 d. power  함수

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16 3.4 오차식의 적용

17 b. 오차의 컴퓨터 계산

18 4. 평균과 오차 계산 4.1 최소 자승법

19 b. 평균 계산

20 c. 평균에 추정된 오차

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22 관측에서 배경에 의한 오차 노출 Dt 동안 천체에서 S count , 배경에서 B count 를 방출한다면,
1. 천체 측정(on source) = S + B 2. 천체 주변 측정 (off source) = B 천체의 측정치 S = (S+B) –B 에서 얻어진다. 1, 2 의 측정은 독립적이미므로 S 의 variance 는 sS2 = sS+B2 + sB2 Poisson 분포의 표준 편차는 평균의 제곱근이므로 sS2 = S+B + B = S +2B Signal /Noise = significance = S/sS = S/(S+2B)1/2

23 Intensity Represented by the source event rate rs (counts/s) independent of exposure time On-source와 off-source가 같은 노출 경우 rs = S/Dt +- ss /Dt (2항은 단위시간당 count수에 대한 표준편차) 정확한 Dt 일 경우 : fractional error = ss/s 따라서 srs=ss/Dt 정확하지 안은 Dt 경우 srs 에 그 factor 가 포함되야함. 만일 B 와 S+B 의 시간 간격이 다를경우 rs, rb (count /s) 와 ts+b, tb 를 고려

24 Two Background limits (B<<S,or B>>S)
Low Background limit (B<<S) Dt on source and off source : Same S/ ss ~ S/S1/2 = S1/2 = (rs Dt )1/2 High Background limit (B >> S) S/ ss ~ S /(2B)1/2 = rs Dt /(2 rb Dt)1/2 = rs Dt1/2/(2rb)1/2  (S/ ss )B>>S = (rs/2rb)1/2(S/ ss )B<<S

25 CCD frame에 측정치 오차 여러 개(N) 의 관측 프레임을 갖고 있을 경우
평균치 <S> = (S1+S2+S3+ …)/N 표준편차 s <S> = sqr(sS12+sS22 +sS32+..) if poisson dis : S1 = sS12 Variance s <S>2 = (sS12+sS22 +sS32+..) If Poisson dis : s <S>2 = S1+ S2+ S3+ … Average(frames): S/N = <S> / s <S> = sqr(S1+S2+S3+…)/N If S1=S2=…, S/N= SqrS/SqrN  increased by 1/sqrN (cf one frame : S/N = Sqr S)

26 Finding parameters & checking hypotheses
예: 어느 지역 에 한 시간 내 자동차 통행수 : N1=20, N2=30 Error? Poisson statistics : N1= , N2= , <N>= 3.53=sqr( )/2  True ; 3 표준편차 내(99.8%) ; 35 ~15 자동차 통행수의 시간적 변화가 있는가? N2-N1= , (7.07=sqr( )) 변화치는 표준편차의 1.4배  확률분포함수에서 16% ; 즉 변화한다고 하기 어려움. 변화치가 3배의 표준편차가 될 경우 : 변화를 확신  least square fit & chi square test

27 Least Squares Fit, Chi square test
At xi, value & uncertainty yi+-si At exch xi, yobs,i – yth,i  이 차이를 표준편차의 단위로 환산하여 제곱한 것을 모두 더한 것 : chi square c2 c2 = S [(yob,i –y th,i)/si]2 (chi square) A best-fit theoretical curve ? ;

28 Least Sqares fits

29 4.2 관계식에 적용되는 최소 자승법

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31 Chi square test 관측이나 측정 자료에서 평균값과 표준 편차를 계산하면  모 분포를 추론 (가우시안 또는 푸와송 분포) 확율분포 : X 의 관측 또는 측정자료는 일정 측정치에 대한 막대 분포로 표현: 각 xj (j=1 ~ n) 의 h(xj) xj 를 측정할 확률 = p(xj) xj 측정 수 = N p(xj) 각 xj 는 표준편차 sj(h) 여러 자료 셋트 (k=1…nk), 각 빈도 y(xj) 에 대한 여러 측정치 hk(xj) 각 xj 값에 대해 기대치 y(xj) 를 k 번째 실험에서 hk(xj)를 얻을 분포 각 j 에 대한 측정의 분산은 sj (h)  옆의 그림에 점으로 표시한 프와송 커브 는 각 칸 mj = y(xj)에서 확률 pj(yk) 를 나타냄 또한 표준 편차 sj (h) = mj1/2

32 Definition of chi-square
n, N, xj, h(xj), p(xj), & sj(h) 앞의 그림에서 y(xj)는 가우시안이나 각 pj(hk) 는 프와송 분포  variance sj(h)2 =mean y(xj)  sj(h) = Np(xj)1/2 ~h(xj)1/2 각 측정치의 평균적인 퍼짐이 기대치의 평균 퍼짐과 일치할 경우, 두 경우가 잘 부합된다고 보므로 , 각 xj, 에 대한 값이 1 즉 c2 는 ~ n 이 될 것이다.

33 Test of c2 If observed frequency agrees exactly with the predicted frequency, c2 =0  it is not very likely outcome of an experiment Physical experiment, expect c2 ~n, In fact true expectation value of c2 n : number of degree of freedom = n , number of sample frequency – nc number of constraints or parameters Reduced chi-square : Expectation value

34 Reduced chi square Reduced chi square cn2=c2/n : near unit for the correct model. Satisfactory fits (probabilities in the range )  n =10 : 0.49 < cn2< 1.6 = 200 : 0.87 < cn2 < 1.13

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36 Chi square test

37 숙제 1. 항성의 거리가 0.5” +-0.05로 측정되었을 경우 거리 d 와 거리 오차를 구하시오.
2. 이 항성의 겉 보기 등급이 m = 로 관측되었다. 절대 등급과 오차를 구하시오. 3. 이 항성의 온도 T= 도 로 관측되었다면 이 별의 반경과 오차는 얼마일까?

38 숙제 4.