10 Three-Dimensional Object Representations  고려대학교 컴퓨터학과 김 창 헌

Contents Bezier Curves and Surfaces B-Spline Curves and Surfaces Beta-Splines Rational Splines Conversion Between Spline Representations Displaying Spline Curves and Surfaces

Bezier Curves Bezier Curve의 일반 표현 Bezier blending function(Bernstein polynomials) , Control point p1 p2 p0 (a) p3 (b) (c)

Bezier Curves (cont’) Bezier Curve의 특성 , 첫번째와 마지막 control point를 지난다. 양 끝점의 parametric 1차 derivative는 control point의 좌표로 계산한다. Curve의 시작 경사가 처음 2점으로 연결된 직선과 같고, Curve의 끝 경사도 마지막 2점으로 연결된 직선과 같다. Q3 = R0 R3 R2 R1 Q0 Q1 Q2

Cubic Bezier의 Blending function Bezier Curves (cont’) Bezier Curve의 특성 (계속) control point들의 convex hull(convex polygon boundary) 안에 놓인다. 모든 Bezier blending function은 positive이며, 총합은 항상 1이다. polynomial들은 erratic oscillation 없이 control point를 부드럽게 지난다. 1 u --> Cubic Bezier의 Blending function

Cubic Bezier Curves 한 Curve section의 일반식 에서, Blending Functions으로 다음 식을 사용한다. 1 u --> 결 과 Control point의 이동

Bezier Curves (cont’) Design Techniques closed Bezier curve Multiple Control points 여러 control point들이 한 지점으로 할당됨 p0=p5 p3 p4 p2 p1 p1=p2 p3 p0 p4

Bezier Curves (cont’) Design Techniques (cont’) Joing Bezier curve segments 1차 continuity를 만족시키기 위해, 새로운 조각의 2번째 control point의 위치 : 2차 continuity를 만족시키기 위해, 새로운 조각의 3번째 control point의 위치 : p0 p1 p’0 p2 p’1 p’2 p’3

Bezier Surfaces Bezier Surface Bezier blending function의 Cartesian product 이용 : (m+1) by (n+1) control point들의 위치

B-Spline Curves and Surfaces Bezier Curve의 단점 Non-Localness Curve의 degree가 control point의 수에 의존적 B-Spline Representation 가장 많이 사용되고 있는 approximation spline Control point의 수에 관계없이 Curve의 degree조정 가능(knot vector개념 도입) uniform, open uniform, nonuniform 으로 분류 Bezier spline보다 복잡하다.

B-Spline Curves B-Spline Curve Bezier와 차이점 u의 범위는 사용자 정의의 B-spline parameter d에 의존 local control 가능 : 각 blending function은 n+d개의 subinterval에 대해 정의됨

Uniform B-Spline Curves Example : n=d=3인 경우 knot vector: subinterval의 끝점들의 집합 , n+d+1=7개의 knot value를 가짐. {0,1,2,3,4,5,6} 즉, u는 0~ 6의 값을 가지며, 이 사이에 6개의 subinterval이 존재 Periodic B-spline blending functions Quadratic,periodic B-spline

Beta-Splines Beta-Spline( -Spline)의 정의 Parameters B-spline의 일반화 1차, 2차 parametric derivative에 geometric continuity condition을 사용 Parameters 1: bias parameter 2: tensor parameter

Rational Splines Rational Spline의 정의 rational function : 2 polynomial의 ratio 2 spline function의 ratio : n+1개의 control point : control point의 weight factor 모든 weight factor가 1 : standard B-spline

Rational Splines (cont’) Rational Spline의 예 (weighting factor에 따라) 타원 : 직선 : 쌍곡선 포물선