환경시스템 2장 환경공학과 20060155 황석주

다중다상이론으로부터 물질의 이동에 대한 이류유송과 분산에 의한 이동식 유도 이류 ㅡ 임의의 세 방향(종방향, 횡방향, 수직방향)의 유체 속도에 따라 미세입자나 용존 물질이 운동하는 것 분산 ㅡ 이러한 물질들이 수체에서 혼합되는 과정 Accumulation (축적율) = Inputs (유입률) – Outflows (유출률) ±Reactions (반응)                                        Transport (이동)

이류유송만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도 이류유송 - 한 곳에서 다른 지점으로 흐르거나 이동시 생물학적 사이클이 바뀌는 물질의 운동 강이나 하천에서 화학 물질이 이동하는 경우 유출률 = 평균농도*체적유입량

⇒ 물질 유출량(이류 물질 이동)도 시간에 따라 변함. 임의 순간에서, 검사 체적 내의 물질 = V*C (체적*농도) 물의 흐름이나 농도가 시간에 따라 변함 ⇒ 물질 유출량(이류 물질 이동)도 시간에 따라 변함. 임의 순간에서, 검사 체적 내의 물질 = V*C (체적*농도) 이류로 발생하는 시간에 대한 물질 변화 △물질 = (물질 유입률 - 물질 유출률)△시간 Ca = 유입하는 농도, Cb = 유출되는 농도

이류유송에 의한 물질 수지 방정식 (유동률 또는 농도가 변할 때) 양변을 △t로 나눈 후 부피 증가량 V=AΔx 으로 나눈 식 일정한 평균 속도를 가지는 정상 상태 유동조건시에 유효 주어진 시간에 한 지점을 지나가는 물질의 총량 (시간이 변할 때) M은 물질 총량 r은 관심 구간( 0 →t1 )의 시간 간격

위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 식을 통해 유속에 의한 평균 이송율을 구한다. 유량과 농도는 매우 밀접한 관련이 있기 때문에, 연간 평균 농도와 연간 평균 유량을 사용하여 한 지점을 지나가는, 연간 총 물질 배출량을 구할 수 없다. 위에 계산된 물질 방류속도은 그 해동안의 총 평균 물질 방류속도 보다 적다. 위 식을 이용하여 그 해동안의 한 지점을 지나는 물질 총량을 계산. 평균 물질 배출율 는 평균 유동율과 평균 농도의 곱 에 평균 물질 변동율 을 더한 것과 같다.

분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도 분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도 분산 – 큰 규모의 혼합으로 농도가 높은 곳에서부터 낮은 곳으로의 물질 유동 결과. 호수나 강어귀에서는 종종 분산현상으로 제어 Fick의 제1의 확산 법칙 흐르지 않는 유체에 대하여 확산에 의한 물질 이동은 농도 구배의 급한정도와 실험장치의 횡단면적에 비례 한다.

⇒ 방정식으로 표현 면적으로 표현 Jm = 분자 확산으로 인한 물질 유동율(MT-1), 방정식으로 표현 면적으로 표현 Jm = 분자 확산으로 인한 물질 유동율(MT-1), A = 횡단면적(L2 ), dC/dx = 농도 변화율(ML-3L-1), D = 분자 확산 계수이며(L2T-1) <시간에 따른 물질유동율 계산에 필요 >, F = 단위면적당 유동율(ML-2 T-1)

분산,난류 확산, 분자 확산은 모두 같은 단위를 사용하고, 각각의 추진력은 농도 변화도 (dC/dx )와 같다. = 분산으로 발생하는 물질유동율 (MT-1) = 분산계수 (L2 T-1) 분산,난류 확산, 분자 확산은 모두 같은 단위를 사용하고, 각각의 추진력은 농도 변화도 (dC/dx )와 같다. 분산계수 ≫난류확산계수≫분자확산계수

Fick의 제2 법칙 - 비정상상태에서 1법칙으로부터 유도됨. 1법칙을 방정식으로 표현 위의 식을 부피 증가량 으로 나누면, ⇒ 시간과 공간(1-D)에 따른 농도 차이를 설명하는 편미분 방정식 임의의 조건에 D는 와 로 바꿔 쓸 수 있다.

위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 초기조건 경계조건 순간적인 평면 오염원에 대한 시행착오법으로 편미분 방정식에 대한 해를 구한다. A는 임의의 상수 시간에 대해 1계 편미분을 취하고 x공간에 대한 2계 편미분을 취한다. “적에 대한 미분”과 에 대한 적분표를 이용.

위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 시간에 대한 편미분 연직 거리 x에 대한 2차 미분 이것은 위의 ∂C/∂t에 대한 결과와 같으며, 그 해를 이용할 수 있다는 증거임. 임의 상수 A와 확산 물질 M을 항으로 표현.

위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 유한적분식을 사용한 지수 x = 0 일때 반사의 원리를 이용.

유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도 이송-분산 방정식 검사체적내 물질의 변화율 = 이류로 인한 검사체적내 물질의 변화율 + 확산에 의한 검사체적내 물질의 변화율 – 변환 반응율(분해) C는 농도(ML-3), t는 시간(T), ui 는 i 방향의 평균유속(LT-1), xi 는 i 방향의 거리(L), R는 반응변환율(ML-3T-1), Ei는 i방향의 확산계수

Fick의 법칙에서 기초하므로 난류 개수로 유동에 의한 분산은 분자확산과 유사하다고 가정 ⇒  x, y, z 방향의 분산계수는 주어진 로 일정하다고 가정 (초기조건, 경계조건에 의존) 직각 좌표로 방정식을 표현하면

부정류 유동 조건일 경우 : 종방향의 유속은 시간,공간에 따라 변할 수 있음 일차원의 물질 이동식 = 부피 유량 = 횡단면적 해석적으로 풀기 위해서 A, Q, E 에 대한 간단하고 정확한 함수 관계가 필요 실제 문제에서는, 부정류의 유동 방정식을 수치해석적으로 풀 수 있으며 다음의 St.Venant 방정식과 같은 개수로 유동의 수치해와 일치됨.

강의 유속과 단면적이 시간에 따라 일정 (종방향 제외) 이류-분산 방정식의 가장 간단한 형태는 A, Q, 그리고 E가 시간과 거리에 대하여 모두 일정할 때 다음과 같음. 유속과 분산계수가 종방향의 거리에 따라 변하는 경우에는 대다수의 모형 적용시 정확하지 않을 수도 있음. 그러나 ux와 Ex가 일정한 강의 한 부분에서는 유용함.

위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 이방성 조건(각 방향별로 다른 확산)의 3차원 유동장내 추적제의 이류 및 확산 이동의 해 무한 범위의 반응이 없는 방정식 해 :

위의 물질이동식의 해를 수학적으로 구하여라. 염료가 수심에 대한 혼합이 잘 되었다면, 종종 3차원식은 식에 주어진 것처럼 2차원적인 문제로 낮아질 수 있음.

물의 유동에 관계된 연속방정식 및 운동방정식을 물의 물질평형과 힘평형으로부터 유도 물의 유동에 관계된 연속방정식 및 운동방정식을 물의 물질평형과 힘평형으로부터 유도 연속방정식 직교좌표계(rectangular coodinates : x, y, z) 원통좌표계(cylindrical coodinates : r, θ, z)

구좌표계(spherical coodinates : r, θ, φ) 운동방정식

상미분 및 편미분 방정식의 수학적 해석 기법 보고서 상미분 방정식 - x = 실수값 또는 복소수값을 취하는 변수, y = 실수값 또는 복소수값을 취하는 x의 함수, y는 x에 관해서 n회 미분가능이고, y의 x에 관한 제n계까지의 도함수를 y′,y″,…,y(n)이라 할 때 x,y,y′,…,y(n) 사이에 x에관해서 항등적으로 성립하는 관계식 F(x,y,y′,…,y(n))＝0 을 함수 y(x)에 대한 n계 상미분방정식이라 한다. 1계 상미분방정식을 y′(i＝1,2,…,n)에 관해서 풀었을 때의 yi′＝fi(x,y1,…,yn)을 정규형(正規形)이라 한다. 일반적으로 n계의 상미분방정식을 y(n)에 관해서 풀었을 때의 y(n)=f(x, y, y′, y″, …, y(n-1))을 실정규형(實正規形)이라고 한다.

편미분 방정식 - 다변수 함수를 그의 편도함수와 연관시킨 방정식. 다변수 함수의 편도함수는 다른 변수는 상수로 있고 한 변수가 변할 때 함수가 얼마나 빨리 변하는가를 나타낸다. 함수의 편도함수도 역시 함수이다. f(x, y)가 x와 y의 함수라면 x에 관한(즉 오직 x만 변할 때) 편도함수는 fx(x, y), ∂f/∂x, 또는 f1(x, y)로 표기한다. f1(x, y)에서 하첨자 1은 괄호 안에 있는 변수의 위치를 나타낸다. 2계편도함수를 구하기 위해서는 편도함수에 다시 한번 편미분 연산을 적용한다. 편도함수 fx(x, y)의 y에 대한 편도함수는 fxy(x, y), ∂2f/∂x∂f, f12(x, y)로 표기한다. 편미분방정식의 계수와 차수는 상미분방정식에서와 같이 정의한다.

호수 및 하천에 사용할 수 있는 전산 모형에 대한 보고서 작성 (공간성에 따른 모델) 호수 및 하천에 사용할 수 있는 전산 모형에 대한 보고서 작성 (공간성에 따른 모델) 무차원 모델(zero-dimensional model) - 모의(simulation)대상 오염물질이 공간적으로 균일 분포하다고 가정하는 것. 가장 일반적인 적용은 호수를 연속교반반응조(CSTR)로 가정하고 호수에 축적되는 인등의 영양물질수지(nutrient budget)를 평가함. 식물성 플랑크톤 등의 계절적 변화는 적용이 곤란함. 일차원 모델(one-dimensional model)  - 하천의 흐름(X) 방향으로 구획하거나, 호수를 연직(Z) 방향으로 나누어 각 구획안의 수질이 균일하다고 보는 모델. 각 구획은 무차원 모델의 경우처럼 연속교반조로 가정하며, 흐름방향(하천) 또는 연직방향(호수)으로 소구획 단위로 유속이동, 확산이동, 반응, 침전, 용출 등에 의해 수질변화가 일어난다고 가정함. 예 : WQRS(Water Quality for Reservoir System), Qual 2E

이차원 모델(two-dimensional model) - 수질변화가 두 방향(X-Y, 또는 Y-Z방향)으로 일어난다고 본다. 즉, 길이가 길고 수심이 깊은 호수에서는 X-Z 방향으로 구획을 나누고, 하구나 만에서는 수심이 깊지 않기 때문에 X-Y 방향으로 구획하여 각 구획안에서 CSTR(continuous stirred tank reactor)로 가정하여 수질을 계산한다. 예 : LARM(Laternally Averaged Reservoir Model), CE-QUAL-W2 삼차원 모델(three-dimensional model) - 이 모델은 대호수에서의 물의 순환이나 큰 만의 동수력학 분석에 주로 이용되는데 방대한 전산작업이 요구된다. WASP4 모델은 수체의 공간적 특성에 따라 1, 2, 3차원 중에서 선택하여 수질을 예측할 수 있다.

장기모델(long-term model)과 단기모델(short-term model) - 일차원 모델의 경우 장기모델이 많이 이용됨. 자연호수의 물질수지를 추정할 경우 복잡한 생물학적 작용을 단순화하 는 것이 편리한데. 계절별 연간 물질의 유출입을 예측하거나 생태계의 점진적 변화를 평가한다. 단기모델은 시간별, 일별, 계절별 수질변화를 예측한다. 동적모델(dynamic model) 또는 정상상태모델(steady-state model) - 정상상태 모델이란 시스템의 변수가 시간변화에 관계없이 일정하다고 본다. 호수의 경우 유출입 유량, 일사량, 일조시간, 침전율 등을 상수로 취급할 수 있다. 따라서 이 모델은 주기적 현상은 모의(simulation)할 수 없다. 그러나 정상상태 모델은 수식이 단순하여 해를 간단히 구할 수 있다는 장점이 있다.

하천 모형 QUAL2E (하천) - DO, BOD, Chl-a, N-Series(4가지), P-Series(2가지), 비보존성물질(3가지), 보존성물질(2가지) 총 15가지 항목에 대해 예측가능한 1차원 모델 KQUAL97 (하천) 항목에 대해 예측가능한 1차원 모델로서 특히 우리나라 대형하천에 적용가능

WASP5 (하천,호수,하구 등) - DO, BOD, 온도, N-Series, P-Series, 독성유기화합물, 중금속, 대장균, 조류농도에 대해 예측 가능한 2차원 또는 3차원 모델 WQRRS (호수) - 어류, 동물성 플랑크톤, 식물성 플랑크톤, 유기성 퇴적물질, COD, N-Series, pH 등에 대해 예측 가능한 연직 1차원 모델

CE-QUAL-W2 (호수, 하구) - 온도, 염분도, SS, DO, slgae, 인, 질소 등 총 19가지에 대해 예측 가능한 황-종 방향의 2차원 모델 MFEMWASP - 자료수집, 지리정보검색, 주민참여 및 수질모형으로 구성 되었으며, 이 시스템은 웹 기반에서 모든 시스템이 운영되 므로 공간적․ 시간적 제한을 받지 않는 장점을 가지고 있다.

예제 2.1 강의 흐름에 의한 살충제의 이송 농약 alachlor의 평균 물질유동(kg d-1)을 구하라. 농약의 평균농도는 1.07 μgL-1 이며, 평균 유량은 50 m3s-1 이다. 강우 유출량이 높다고 가정할 때, 일년간 이 지점을 지나는 물질 총량의 계산값은 정확한가? 유속에 의한 평균 이송율은(kg d-1) 유량과 농도는 매우 밀접한 관련이 있기 때문에, 연간 평균 농도와 연간 평균 유량을 사용하여 한 지점을 지나가는, 연간 총 물질 배출량을 구할 수 없다. 유동이 많으면 농업지역의 강우 유출로 인한 농약 농도가 상승한다. 물질 방류속도는 그 해의 총 평균 물질 방류속도보다 적으므로 다음의 방정식을 이용하여 그 해 동안의 한 지점을 지나는 물질 총량을 계산한다.

평균 물질 배출율 는 평균 유동율과 평균 농도의 곱 에 평균 물질 변동율 을 더한 것과 같다.

예제 2.2 물속 화학물질의 분자 확산 두 용기 사이로 확산되는 화학물질에 대해 mg/d의 단위로 물질 유동율을 계산하여라. 화학물질은 -1mg L-1 cm-1 의 농도구배로 10cm의 거리를 통해 확산한다. 농도 변화량이 시간에 따라 일정하게 유지되고, 화학물질 1mg이 이동하는데 1년 걸린다는 것을 고려한다면, 이것의 물질이동율은 대단히 느리다고 할 수 있다.

예제 2.3 얇은 막을 통과하는 분자 확산 물속 카페인(C9H8O)의 분자 확산속도는 0.63× 이다. 1.0mg/L의 용액에 대해서, 약 60 μm 두께의 유체막으로 이루어진 창자막(면적 : 0.1m2 )을 통과하는 물질 유동을 mg/s로 계산하여라. 위의 유동율을 가정한다면, 카페인 1 mg이 창자막 0.1 m2 통과하는데 시간이 어느 정도 걸리겠는가? (창자막 내부의 카페인의 농도는 0로 가정 )

예제 2.4 오염된 퇴적물의 확산 (확산방정식에 대한 Gauss의 해) 초기조건과 경계조건 순간적인 평면 오염원에 대해 시행착오법으로 해를 구한다. A는 임의의 상수임. 시간에 대해 1계 편미분을 취하고 x공간에 대한 2계 편미분을 취한다. “적에 대한 미분”과 에 대한 적분표를 이용.

시간에 대한 편미분 연직 거리 x에 대한 2차 미분 이것은 위의 ∂C/∂t에 대한 결과와 같으며, 그 해를 이용할 수 있다는 증거임. 임의 상수 A와 확산 물질 M을 항으로 표현.

유한적분식을 사용한 지수 x = 0 일때 반사의 원리를 이용.

감사합니다.