회전(Rotation) 각 변위 (Angular displacement) 각 속도 (Angular Velocity) 각 가속도(Angular Acceleration) 회전관성(Angular Inertia) 돌림 힘(Torque)

각 위치 : 각 변위 : 평균각속도 (순간)각속도 평균 각 가속도 (순간) 각 가속도 회전축 참조선 기준선 각 위치 : s: 기준선과 참조선 사이의 호의 길이, r: 회전 원의 반지름, 단위 rad(radian) (순간)각속도 시간에 대한 함수로서의 θ(t) 를 알아야 한다. 평균각속도 단위: rad/sec, rev/sec, 방향: 반 시계방향+, 시계방향 – 평균 각 가속도 (순간) 각 가속도

시간 t = -3.0s부터 t=5.4s 사이에서 각 위치가 가장 최소가 되는 시간과 그 시간에서의 각 위치는? 각 위치가 θ = –1.00 – 0.600 t + 0.25 t2 와 같은 식으로 주어지는 회전 운동이 있다. 보기문제 10-1 시간 t = -3.0s부터 t=5.4s 사이에서 각 위치가 가장 최소가 되는 시간과 그 시간에서의 각 위치는? 접선의 기울기가 0인 위치를 찾는 문제 풀이 dθ /dt = -0.600 + 0.500 t 0 = -0.600 + 0.500 t t = 6.00/5.00 = 1.20sec 이 시간을 –1.00 – 0.600 t + 0.25 t2 에 대입하면 –1.00 – 0.600 (1.20sec) + 0.25 (1.20sec)2 = -1.36 rad = -77.9 ° b) 시간 t = -3.0s부터 t=-6.0s 사이의 원판의 각속도 ω의 그래프를 그려라 ? dθ /dt = -0.600 + 0.500 t 의 식이 1차원 식이므로 직선이다 따라서 -3.0과, -6.0을 대입하여 위치를 구한 후 두 위치를 나타내는 점을 직선으로 이으면 된다. -3.0s에서 6.0s 사이의 회전의 모습은? 반 시계방향으로 돌다가 점점 느려져서 1.2초에 -1.36rad의 위치에서 정지한 후 다시 반대로(시계방향으로 돌기 시작한다)

연습문제 10-1 야구투수가 홈 플레이트를 향해 85mi/hr의 속도로 공을 던졌다. 공이 1800 rev/min으로 회전한다면 공이 홈 플레이트에 도착할 때까지 총 몇 회전 하는가? 85 (mi/hr) = 7480 ft/min t = (60ft) / (7480 ft/min) = 0.00802min θ = ωt = (1800 rev/min) (0.00802min) = 14.436rev ≈ 14 rev 연습문제 10-2 시계의 초침, 분침, 시침의 각속도를 계산하라(rad/s.) 초침: 분침: 시침:

연습문제 10-3 다이빙 선수가 10m 높이의 점프 대 위에서 가만히 서 있다가 2.5회전 하며 낙하했다. 낙하하는 동안의 평균 각속도는(rad/s)? 10m = 평균 각속도 = 회전 각도(rad) 시간

등 가속도 운동을 다룰 때 사용하던 식을 등 각 가속도 운동에서도 사용할 수 있다. 등 가속도 운동 등 각 가속도 운동 보기문제 10-3

연습문제 10-9 120rad/s의 각속도로 회전하던 원판이 각가속도 4.0 rad/s2으로 감속하고 있다. a) 정지하는데 걸리는 시간은 얼마인가? b) 정지할 때까지 회전한 각도는 총 얼마인가? 풀이 초기 각속도 ω0 = +120rad/s 최종 각속도 ω = 0 각 가속도 α = –4.0 rad/s2 a) b)

연습문제 10-10 자동차 엔진의 rpm이 12초 동안에 1200 rev/min에서 3000 rev/min으로 증가하였다. 각 가속도를 rev/min2으로 구하라. 12초 동안 자동차 엔진은 몇 회전(rev) 했는가? a) b)

선변수와 각변수의 관계 원주 속력 회전 주기 구심가속도 접선가속도

보기문제 10-5 θp p 탑승점 롤러코스터가 탑승점에서 출발하여 처음 회전 운동을 한 후 p의 점에서부터 직선운동하도록 설계되었다. 롤러코스터가 탑승 점에서 접선가속도 g로 출발 한 후 처음 회전구간에서 구심가속도를 발생시켜서 점 p의 위치에서 탑승객들이 4g의 알짜가속도 를 느끼도록 하려면 회전각 θp 는 얼마여야 하는가? 풀이 알짜 가속도 a = at2 + ar2 = 4g at = 9.8m/s2로 문제에서 고정으로 주어져 있다. ar을 θp의 함수로 나타내야 한다. ar = ω2r, ω2 = ω02 + 2 α (θ – θ0), α = at/r , ω0=0, θ0=0 이므로 ω2 = (2at θ)/r 이 되고 이 식을 ar = ω2r 에 대입하면 ar = 2 at θ 가 된다 이 식을 처음의 알짜 가속도 구하는 식의 ar에 대입하여 θ 에 대하여 정리하면 θ = ½ -1 답: θ = (½) - 1 ≈ 1.94 rad ≈ 111° a2 at2 (4g)2 g2

회전운동에너지 회전하는 물체에서 질량중심이 회전 중심에 있는 경우 속도가 0이므로 질량 중심의 운동에너지는 0이다. 그러나, 회전 중심에서 떨어져 있는 입자들은 속도가 있으므로 운동에너지가 있다. 이 경우 회전체의 각 입자들의 운동에너지의 합으로 전체 운동에너지를 다음과 같이 계산할 수 있을 것이다. I 의 값은 물체의 질량의 분포와 관련이 있는 값이다. 회전관성(Rotational Inertia) 연속적인 분포의 물체인 경우

흔히 볼 수 있는 물체의 회전축에 따른 회전관성 식 중심축에 대한 가는 고리 중심축에 대한 두께가 있는 원통 중심축에 대한 속이 찬 원통 길이에 수직한 중심축에 대한 속이 찬 원통 길이에 수직한 중심축에 대한 가는 막대 중심을 지나는 축에 대한 속이 찬 공 중심을 지나는 축에 대한 공 껍질 지름을 지나는 축에 대한 가는 고리 면에 수직한 중심축에 대한 얇은 판

dr (e)의 계산 dm 질량: M com 막대의 전체질량: M r 막대의 길이: L 막대에 수직하고 질량중심을 지나가는 축에 대한 회전관성은? I = ∫ r2 dm dm = (단위길이당 질량 ) · (dr) = (M / L)·dr I = ∫ (r2)·(M/L) dr r=L/2 r=-L/2 = M/(3L) r3 = M·L2 -L/2 L/2 1 12

평행 축 원리 물체의 질량중심을 지나는 축에 대한 회전관성 Icom을 알고 있다면 그 축과 평행인 h: 질량중심을 지나는 축과 주어진 축의 수직거리 M: 전체질량 평행 축 원리 물체의 질량중심을 지나는 축에 대한 회전관성 Icom을 알고 있다면 그 축과 평행인 다른 축에 대한 회전관성 I는 다음과 같이 계산된다. 증명: 미소질량 dm의 위치좌표가 (x,y)라고 하면 이 위치가 주어진 축이 지나는 점 p로부터 떨어진 거리는: P점에 대한 회전관성은: Icom Mh2

질량이 m인 두 입자가 길이 L 이고 질량이 거의 없는 막대로 연결되어 있다. 막대에 수직하게 질량중심을 지나는 축에 대해 질량중심을 지나는 회전축 보기문제 10-6 m m com ½L ½L 질량이 m인 두 입자가 길이 L 이고 질량이 거의 없는 막대로 연결되어 있다. 막대에 수직하게 질량중심을 지나는 축에 대해 회전관성 Icom을 구하라 (a)문제의 축과 평행하고 막대의 왼쪽 끝을 지나는 축에 대한 회전관성 I를 구하라. 풀이 (a) Icom = Σ mi ri2 = (m)(½L)2 + (m)(½L)2 = ½mL2 (b) I = Icom + Mh2 = ½mL2 + (2m)(½L)2 = m L2

I = Icom + Mh2 = (1/12)ML2 + (M)[(1/2)L]2 = (1/3)ML2 보기문제 10-7 (½L) r 질량: M dr dm com 회전축 옆의 그림과 같이 가는 막대를 왼쪽 끝을 회전축으로 회전 시킬 때의 회전관성을 구하라 풀이: 적분방법: I = ∫ (r2)·(M/L) dr r=L r=0 = M/(3L) r3 = M·L2 L 1 3 평행 축 원리에 의한 방법 I = Icom + Mh2 = (1/12)ML2 + (M)[(1/2)L]2 = (1/3)ML2

돌림힘(Torque) 힘이 물체의 회전에 어떤 영향을 주는가? 그림(a)의 힘이 물체의 p의 위치에 화살표의 방향으로 가해졌을 때 이 힘을 그림(b)와 같이 Fr과 Ft 두 성분으로 나누어 보면 물체의 회전에 관여하는 힘은 Ft뿐이다. Ft = F sinΦ 이다. 회전력은 이 힘과 회전축에서 힘의 작용점까지의 거리에 비례한다. 이 힘을 돌림힘(Torque) 라고 한다. ( : moment arm ) 돌림힘의 방향: 반시계방향 +, 시계방향 – 알짜 돌림힘(τnet) 물체에 여러 돌림힘이 작용할 때 알짜돌림힘 τnet 은 모든 돌림힘의 합이다.

회전과 Newton의 제2법칙(τnet = I·α) 회전관성 I는 물체의 질량 m과 물리적 성격이 같다. 따라서 F=ma 로부터 회전하는 물체의 돌림 힘과 각 가속도의 관계는 τnet = I·α 로 표현할 수 있다. 증명 Ft = m·at τ = Ft·r = m·at·r τ = m(αr)r = (mr2) α 따라서 τ = I·α 회전축에 관한 입자의 회전관성 물체에 여러 돌림힘이 작용할 경우: τnet = I·α

α = a / R = (-4.8m/s2)/0.2m = -24 rad/s2 보기문제 10-9 m M R -T T mg 우측의 그림의 값은 m=1.2kg, M=2.5kg, R = 20cm 이다. 나무토막의 가속도, 원판의 각 가속도를 구하라. T – mg = ma τ = I · α -RT = ½ MR2 α 이 경우에 a = at 이고 at = α r 이므로 α = a / R 따라서 T = (-½) Ma 대입 2m M+2m 2(1.2kg) 2.5kg + 2(1.2kg) a = -g = -(9.8m/s2) = -4.8m/s2 α = a / R = (-4.8m/s2)/0.2m = -24 rad/s2

일과 회전운동에너지 W = △K W = F△x W = τ△θ

t = 2.5sec 일 때 회전운동에너지 K는 얼마인가? 보기문제 10-11 m M α = -24rad/sec2 보기문제 10-9에서 회전원판이 t=0sec에서 정지해 있다가 회전하기 시작한다. t = 2.5sec 일 때 회전운동에너지 K는 얼마인가? 풀이 K = ½ I ω2 ----- ① 원판의 회전관성 I = ½ MR2 보기문제 10-9의 풀이로부터 α = -24rad/sec2 이므로 ω = ω0 + αt 의 식을 사용하여 ω = (-24rad/sec2)(2.5sec) M=2.5kg, R = 0.2m, ω = (-24rad/sec2)(2.5sec)를 ① 식에 대입하면 K = 90J

τ ≈ ω α – · • ≠ ∫ θ μ Σ 60°①②③④△Θ⅔⅓½㎡㎠㎝㎞㎦㎨