생체계측 REPORT#3 7조 정다운(2007102858)-1등 정진웅(2005200444)-2등 조영선(2004200744)-3등 홍윤호(2003200449)-4등 이건우(2005200431)-5등

Signal Signal ▣ Signal 이란? ▣ Signal 의 표현 → 물리량(크기)의 시간에 따른 변화 → 주파수 영역(frequency-domain) 표현방식 주파수에 대한 최대 진폭 (진폭과 주파수의 관계) → 시간영역(time-domain) 표현 방식 시간에 대한 진폭 변화 (시간과 진폭 관계) 연속 continuous A 불연속 discrete (신호의 크기) t 연속 continuous (시간) 불연속 discrete Signal

Signal ▣ Signal 의 구분 Analog Signal A ∈ R, t ∈ R Digital Signal A ∈ {0,1}, t ∈ T

Signal 의 분석 ▣ 모든 신호는 정현파의 합이므로 정현파를 가지고 신호를 분석. ▣ 모든 신호에는 잡음(Noise)이 존재 * Noise - Noise 의 근본 발생 이유 –> 열에너지 - 랜덤 모션(경향성이 없이 랜덤하게 움직임)

Signal 의 구성 Signal Noise(random) Noise Signal x = -2*pi:0.02:2*pi; y=randn(1,629)*0.1; a=sin(x)+y; subplot(3,1,1);plot(x,sin(x)), subplot(3,1,2);plot(x,y), subplot(3,1,3);plot(x,a), Noise(random) Noise Signal

Analog Signal to Digital Signal Sampling Quantization 표본화 단계 (sampling step) - 신호를 일정한 시간 간격 으로 잘라 Discrete signal 로 만드는 과정으로 이를 위해 신호의 Frequency, Bandwidth, Sampling Theory 에 대해 알아야 한다. 양자화 단계 (quantization step) 각 표본 신호의 크기를 숫자화하는 단계로 Technical 한 과정이다.

Gaussian Distribution (가우시안 분포) - 모든 과학분야에서 가장 보편적인 분포 - 실험오차 측정 등에 많이 쓰이는 분포 - 정규분포 공식에서 평균값을 0으로 하여 유도한 분포 ▣ Zero Mean Gaussian Distribution PDF와 공식 • 평균값 : 0, 표준편차 σ : 1

Gaussian Distribution (가우시안 분포) ▣ N ( μ, σ ) : 평균이 μ 이고 표준편차가 σ 인 Gaussian 확률분포 • 평균값 : μ , 표준편차 : σ μ ▣ σ가 가우시안 분포의 폭을 결정 σ의 값이 클수록 그래프는 완만한 곡선을 그린다.

Gaussian Distribution (가우시안 분포) ▣ 평균이 m 일 때 σ 의 범위에 따라 존재하는 잡음값 σ 의 범위 잡음값 ± σ 68.3% ± 2σ 95.5% ± 3σ 99.7% ± 4σ 99.99% ± 5σ 99.9999%

Noise 함수 Signal ▣ Noise 함수는 랜덤함수로 정확한 수치적 표현이 불가능하므로 잡음의 크기를 측정해야 한다. ▣ 잡음의 크기? ① npeak (잡음의 최대치) = 4σ ( 보통 4σ 보다 더 큰 Noise Signal 은 거의 존재하지 않으며 대부분 4σ이내에 있다.) ② Pnoise (Noise Power) = E { ni²} → 신호의 제곱의 평균 ( 원래 E { (ni - μ)²} 이지만 Zero Mean Gaussian Distribution 을 다루므로 μ = 0 을 적용해 위와 같이 표현 할 수 있다.) Signal

Noise 함수 알 수 있다. 따라서 σ 의 크기에 따른 Noise Signal 의 차이를 알 수 있다. σ : Small ▣ 앞에서 얻은 식으로부터 P noise = σ ²즉, 분산과 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 σ 의 크기에 따른 Noise Signal 의 차이를 알 수 있다. σ : Small σ : Large

SNR (Signal to Noise) - 신호 대 잡음 비 - 잡음의 전력성분에 대한 신호의 전력성분의 상대적인 비 - 신호의 질에 대한 측정을 의미 - 단위로는 데시벨(dB)을 사용 ( 이유 : 값의 range 가 크면 그 크기를 기록하는데 어려움이 있으므로 간단한 정수로 압축시켜 표현하기 위해서이다. 예 > 100만 → log1010^6 = 6 ) ▣ SNR 의 계산

SNR (Signal to Noise Ratio) - 신호 대 잡음 비 ▣ SNR input S(t) = A sin ωt  Ps = A²/2 n(t) = N ( 0, σ )  Pn = σ ² 따라서

Quantization (양자화) ▣ Quantization 이란? 입력 신호의 연속적인 값을 이산적인 값으로 대응시킴 Quantization Step 을 거친 Signal 의 표현 x(t) = Sq(t) + nq(t) (Quantized Signal) (Quantization Noise) 입력을 N 개의 level 로 나누고, 출력은 각 구간에 해당하는 대표값을 사용 정해진 신호의 범위 내에서 N 개의 level 로 양자화 Δ = 2A / N N개

Quantization (양자화) ▣ Quantized Sample 의 부호화 - N 개의 서로 다른 수를 n-bit 이진수로 표현. ( 단, N = 2n ) 즉, n 이 양자화하는데 필요한 bit 수라면 2n개의 값을 가질 수 있다. 3-bit output code로 000부터 111까지 8개의 값을 가질 수 있다.

Quantization Noise (양자화 잡음) 표본화된 신호의 Y축 값에 정확하게 일치된 Y축의 값이 없으면 가장 가까운 값으로 대응되는데 이렇게 되면 피할 수 없이 그만큼 손실이 일어나게 되고 이를 Quantization Noise (Quantization Error) 라 한다.

Quantization Noise (양자화 잡음) → Sampling 의 동작자체가 어떤 한 Noise 에 대한 선호도 없으므로 일정한 확률을 가진다.

Quantization Noise (양자화 잡음) 이 값이 σ²보다 크면 원래 신호의 왜곡 크게 일어난다. 따라서 이 값을 σ²보다 작게 조절하면 Analog Signal to Digital Signal 과정에서의 신호 왜곡을 줄일 수 있다.

SNRQ (Signal to Quantization Noise Ratio) - 신호 대 양자화 잡음 비 - 원래 Analog Signal 에 존재할 수 있는 다른 잡음을 제외하고 추가적인 오차는 Quantization 과정에서의 잡음에 의한 것이라 할 수 있다. ▣ SNRQ 의 계산 위 식에서 보면 n 의 값이 커질수록 SNRQ 도 커져 신호 크기에 대한 Quantization Noise 의 크기가 줄어 Analog Signal to Digital Signal 과정에서의 신호 왜곡 역시 줄어든다는 것을 알 수 있다.

<< Matlab >> Quantization t = [0:.1:2*pi]; % Times at which to sample the sine function sig = sin(t); % Original signal, a sine wave figure(1) partition = [-1:.2:1]; % Length 11, to represent 12 intervals codebook = [-1.2:.2:1]; % Length 12, one entry for each interval [index,quants] = quantiz(sig,partition,codebook); % Quantize. plot(t,sig,'x',t,quants,'.') legend('Original signal','Quantized signal'); axis([-.2 7 -1.2 1.2]) figure(2) partition = [-1:.1:1]; % Length 22, to represent 23 intervals codebook = [-1.1:.1:1]; % Length 23, one entry for each interval Figure(1)보다 Figure(2)의 ∆를 더 적게 잡음. Figure(2)가 좀 더 정확하게 Quantization 되었음.

<< Matlab >> Quantization Figure(1) Figure(2) ∆ ∆ ∆= n-bit의 2진수를 사용하여 나타낼 수 있는 수 N= Figure(2)의 범위를 Figure(1)에 비해 2배 많이 나누어 놓았음. (만약에 범위를 –A~+A까지 나누었을 경우)

Advantages of Digital Signal 1) 정확성 보장 – 외부환경( Noise ) 에 강해 data 의 정확성 보장 가능 - 모든 신호 처리(가공) 과정은 Noise 의 영향을 받는다. Noise Noise Storage Reading Communication Etc. Input Ouput “ 가공 ” 따라서 Noise 에 의한 신호의 왜곡을 최소화해 원 신호의 변형이 거의 없는 완전한 신호를 얻는 것이 목표.

Advantages of Digital Signal - 가공을 거치며 Noise 가 들어간 Analog Signal 과 Digital Signal 의 비교

Advantages of Digital Signal  앞의 파형들을 보면 Analog Signal 은 Digital Signal 보다 Noise 로 인한 변형이 더 심하게 일어나 원 신호값를 얻기 어려워졌으나 Digital Signal 은 신호값이 0 또는 1 로 단순해 중심에 기준선을 그려 그보다 크면 1, 작으면 0 의 값을 가진다고 할 수 있다. 따라서 Digital Signal 은 Analog Signal 보다 원 신호를 왜곡없이 얻을 수 있다. 즉, Noise 에 강해진 것이다. ( 단, Quantization 에서의 손해가 없다는 전제하에 )

Advantages of Digital Signal 2) 컴퓨터를 이용한 다양한 신호처리 가능 - 신호의 값이 0 또는 1로 숫자화 되어 있어 숫자처리로 얻을 수 있는 모든 기능이 가능 3) 신호의 크기의 확대나 재생산이 쉬움 - 똑같은 연산을 반복 수행 할 수 있어 재생산이 쉽다. 4) 여러 가지 저장장치에 쉽게 저장 가능 - 여러 가지 저장장치에 쉽게 그대로 저장할 수 있으며 저장과 로드에 대해서 손실이 없다. 

But // 전체적인 이득을 고려했을 때 Digital 이 갖는 장점이 더 많기 때문에 계속적으로 연구되고 있다. Disadvantages of Digital Signal 1) Sampling , Quantization 의 과정을 거쳐야 함 - Analog Signal 에 대해 위의 두 과정을 거쳐야 하는 번거러움 있음 2) 분석에 소요되는 시간 길어짐 - Analog Signal 에서의 1개 data 가 n 개의 data 로 늘어났으므로 data 분석에 그만큼 많은 시간 소요 3) Clock 이 필요 - 동기식이므로 동작의 기준이 되는 일정 주파수를 가진 Clock 이 필요 But // 전체적인 이득을 고려했을 때 Digital 이 갖는 장점이 더 많기 때문에 계속적으로 연구되고 있다.

Sinusoid ( 정현파 ) ▣ 정현파의 표현 ω * Unit Angular velocity (각속도) 단위 시간당 몇 번을 도는가  속도의 개념 - ω = 2πf cycle per second → per second → Hz

Sinusoid ( 정현파 ) ▣ 정현파- sin, cos sin 곡선 cos 곡선

Sinusoid ( 정현파 ) ▣ 일반적인 정현파 sin과 cos 함수의 합으로 나타낼 수 있다. 모든 신호는 크기가 다른 ▣ 일반적인 정현파 Amplitude (크기) 모든 신호는 크기가 다른 sin과 cos 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

Periodic Function ( 주기함수 ) ▣ 주기함수란 ? - 어떤 주기를 가지고 함수값이 반복되는 함수. - 삼각함수는 대표적인 주기함수. - 함수 f(x)가 상수 ω(≠0)에 대하여 항상 f(x)=f( x +T )인 관계를 만족 할 때, f(x)는 T 를 주기로 하는 주기함수이다. 이 때 주기 T 의 양의 최소값  To ; Fundamental Period (기본주기) - 예 >

Periodic Function ( 주기함수 ) ▣ 주기함수의 평균 * 참고 >> y 의 크기를 나타낼 수 있는 표현

Fourier Series ( 퓨리에 급수 ) - 아래와 같이 정현파로 이루어지지 않은 주기함수를 주파수 영역에서 표현하기 위한 것

Fourier Series ( 퓨리에 급수 ) ω = 2πf , f = 1 / T 이용 Fundamental Frequency (기본 주파수) Harmonics (고조파) - 이런 식으로 분석해 cos term 을 표시해도 마찬가지이다.

Fourier Series ( 퓨리에 급수 ) 두 신호가 옆의 표와 같은 크기를 가졌다고 하자. 이를 이용해서 x축에는 주파수를, y축에는 신호의 크기를 나타내는 Frequency Spectrum 을 그릴 수 있다. An 또는 Bn 크기 A1 (B1) 100 A2 (B2) 60 A3 (B3) 40 … A6 (B6) 0.8 A7 (B7) 0.001 Bandwidth (대역폭) 주파수 영역에서 특정 기능이 얼마나 넓은 범위 안에서 동작하는지를 나타내는 개념 옆 Frequency Spectrum 의 대역폭은 1Hz ~6Hz

Sampling (표본화) ▣ Sampling 이란? - 신호를 일정한 시간 간격으로 잘라 Discrete Signal 로 만드는 과정 즉, Analog 의 연속적인 위치 데이터를 불연속적인 Digital 데이터로 변환하는 과정 - 파형의 높이 값을 Sample 이라 하며 Sampling 을 하기 위해선 신호의 Frequency, Bandwidth, Sampling Theory 에 대해 알아야 한다. - 몇 번의 Sampling 을 할 것인가  최대주파수(fm)가 기준

Sampling (표본화) ▣ Signal 의 최대 주파수에 따른 Sampling  Sampling 간격 넓다. 최대 주파수가 작다.  Sampling 간격 넓다. 최대 주파수가 크다.  Sampling 간격 좁다.

Sampling (표본화) ▣ Sampling 의 결과 CTFT DTFT

Sampling (표본화) ▣ Nyquist Sampling Theory - 신호를 주파수 영역으로 표현했을 때 신호 내에 있는 유효한 정보를 Digital 로 모두 표현하기 위해서 적어도 최대 주파수(fn)의 2배 이상 으로 Sampling 해야한다. * 참고 >> Under Sampling - 샘플링 이론에 의해 요구되는 비율보다 낮게 샘플링 - 높은 주파수를 갖는 세부항목이 디지털 영상에서는 상실됨 - 본래의 영상을 적절하게 표현하기에 부족한 화소를 갖게 됨 Over Sampling - 샘플링 이론에서보다 더 높은 비율로 샘플링 - 과다한 화소가 생성 - 과다한 화소는 공간 주파수에 아무런 영향도 주지를 못함 - 디지털 영상으로부터 얻어지는 몇몇 특징의 정밀도를 향상 Sampling Interval Ts = 1 / 2fn Sampling Frequency Freq = 1/ Ts = 2fn

☺ 감사합니다 ☺