확률통계론 2장 : 확률변수

2 확률변수 확률변수는 특정실험의 표본공간에 속하는 각각의 결과에 실수치를 부여함에 의해 생성할 수 있다. 2.1. 이산형 확률변수 (Discrete random variables) 확률변수는 특정실험의 표본공간에 속하는 각각의 결과에 실수치를 부여함에 의해 생성할 수 있다. > 확률변수는 함수이다. >

2 확률변수 2.1. 이산형 확률변수 (Discrete random variables) 확률변수가 셀 수 있는 (countable) 집합 (기계고장의 수, 인터뷰 지원자의 수, 자동차 사고수, etc.)으로부터 값을 취한다고 할 때 이산형 확률변수라고 한다. > 함수 는 이산형 확률변수 에 대한 확률질량함수 (probability mass function: pmf)라고 하며 다음을 만족한다. > 1. 2. 3. 누적분포함수 (cumulative distribution function: cdf) >

2 확률변수 예제 2.1 : 두개의 주사위를 던져 확률변수 를 나오는 주사위 수의 합으로 정의할때 2.1. 이산형 확률변수 (Discrete random variables) 예제 2.1 : 두개의 주사위를 던져 확률변수 를 나오는 주사위 수의 합으로 정의할때 > >

2 확률변수 2.2. 연속형 확률변수 (Continuous Random Variables) 연속형 확률변수 (Continuous random variables)는 연속적인 영역에서 값을 취한다. 예를 들면 전지고장시간은 에서 값을 취하며, 콘크리트 판 파괴강도는 에서 값을 취한다. > 함수 는 다음을 만족할 때 연속형 확률변수 의 확률밀도함수 (probability density function: pdf) 라 하며 다음을 만족한다. > 1. 2. 3. 4. pdf 를 가지는 확률변수 에 대한 누적분포함수 (Cumulative distribution function: cdf) > >

2 확률변수 2.2. 연속형 확률변수 (Continuous Random Variables) 예제 2.2 : 전지고장시간 > 1. 2. 3.

2 확률변수 기대값 (expectation)은 확률변수의 평균을 나타냄. > pmf 를 가지는 이산형 확률변수의 기대값 (expectation or mean) > pdf 를 가지는 연속형 확률변수의 기대값 (expectation or mean) > 함수 의 기대값 > 이산형 : 연속형 : >

2 확률변수 예제 2.3 : 두개의 주사위를 던져 나오는 눈의 합을 확률변수 라고 할때 예제 2.4 : 전지고장시간 2.3. 확률변수의 기대값 (Expectation) 예제 2.3 : 두개의 주사위를 던져 나오는 눈의 합을 확률변수 라고 할때 > 예제 2.4 : 전지고장시간 >

2 확률변수 Cdf 를 가지는 연속형 확률변수 의 중앙값 (Medians)은 다음을 만족하는 의 값에 해당. 2.3. 확률변수의 기대값 (Expectation) Cdf 를 가지는 연속형 확률변수 의 중앙값 (Medians)은 다음을 만족하는 의 값에 해당. > 좌우대칭 확률변수 (Symmetric random variables) > 연속형 확률변수 가 pdf 를 가진다면 특정 값 에 대하여 즉, 는 에 대하여 좌우대칭이다. 는 중앙값

2 확률변수 예제 2.5 : 전지고장시간 기대값 및 중앙값은 우리에게 유용한 information을 제공. 2.3. 확률변수의 기대값 (Expectation) 예제 2.5 : 전지고장시간 > 기대값 및 중앙값은 우리에게 유용한 information을 제공. 즉 MP3에 위의 battery를 사용할 때 24시간 사용하기 위해서는 평균 24개의 battery가 필요. 또한, 우리가 위의 battery 6개를 6개의 MP3에 사용할 때 그 6개의 MP3중 3개도 30분 이상 사용할 수 없다는 의미. >

but! 평균값에 대하여 밀도함수의 형태 혹은 산포 정도가 같음 2 확률변수 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 분산 (Variance)은 확률변수에 대한 흩어짐 혹은 변동성을 측정한다. > 평균값 다름 but! 평균값에 대하여 밀도함수의 형태 혹은 산포 정도가 같음 따라서 분산은 같음 평균값 같음 but! 분산이 다름 평평하고 퍼져있는 밀도함수의 분산이 큼 평균 또는 기대값 : 분산 : 분산의 제곱근(분포의 표준편차) : ※ 확률변수 x가 초단위라면 표준편차는 '초단위'이며, 분산은 '초단위의 제곱'

2 확률변수 확률변수 에 대한 분산 확률변수 의 표준편차 (Standard deviation) : 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 확률변수 에 대한 분산 > 이산형인 경우 연속형인 경우 확률변수 의 표준편차 (Standard deviation) : >

2 확률변수 예제 2.6 : 주사위를 2개 던져 나오는 눈의 수의 합을 확률변수 라고 할때 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 예제 2.6 : 주사위를 2개 던져 나오는 눈의 수의 합을 확률변수 라고 할때 >

2 확률변수 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 예제 2.7 : 하나의 로트(Lot)에서 품질검사자는 7개의 표본을 추출한다. 그 로트가 4개의 양품과 3개의 불량품을 포함하고 있다고 한다. 만약 3개의 표본을 추출하여 표본내의 양품의 개수를 확률변수 라고 할때, 의 pmf는 >

2 확률변수 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) > 다른 해법 : 위의 pmf를 가지는 분포는 모수 인 초기하분포 (hypergeometric distribution)이므로 >

2 확률변수 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 예제 2.8 : 한 지역의 편의점에서 코카콜라에 대한 주당 수요(단위: 1000리터)에 대한 확률변수 는 다음의 pdf를 가진다. > 1. 2. 3. 4. 5.

2 확률변수 체비셰프 부등식 (Chebyshev's Inequality) 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 체비셰프 부등식 (Chebyshev's Inequality) > - Theorem 2.1 확률변수 가 평균 분산 을 가진다고 할 때 - PROPOSTION 1. (Markov 부등식) 를 확률변수 의 비음수 함수라고 하자. 만약 가 존재한다면 양의 상수 에 대하여 - 증명.

2 확률변수 Chebyshev's Inequality (Cont’d) - Chevyshev's Inequality의 증명 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) Chebyshev's Inequality (Cont’d) > - Chevyshev's Inequality의 증명 > > 정확한 분포를 모르더라도 평균과 분산을 구할 수 있으면 평균값에 대해 몇 sigma 안에 들어있을 지에 대한 확률값을 구할 수 있다. >

2 확률변수 cdf 를 가지는 확률변수 의 분위수 (Quantile) 혹은 백분위수 (Percentile)는 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) cdf 를 가지는 확률변수 의 분위수 (Quantile) 혹은 백분위수 (Percentile)는 를 만족하는 의 값으로서 0.5 Quantile (or 50 percentile)은 중앙값(median). > 상한 사분위수 (Upper quartile) : 분포의 75 백분위수 하한 사분위수 (Lower quartile) : 분포의 25 백분위수 사분위범위 (Interquartile range)는 상한 사분위수와 하한 사분위수의 거리 >

2 확률변수 2.4. 확률변수의 분산 (Variance) 예제 2.9 : 예제 2.8 (계속) >

2 확률변수 두 확률변수 와 의 결합확률분포 (Joint probability distribution) 이며 연속형의 경우 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 두 확률변수 와 의 결합확률분포 (Joint probability distribution) 이며 연속형의 경우 > 두 확률변수 와 의 결합누적분포함수(Joint cumulative distribution function) > 이산형인 경우 연속형인 경우 주변확률분포 (Marginal Probability Distribution) > 이산형인 경우 연속형인 경우

2 확률변수 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 예제 2.10 : 항아리에 1부터 6까지 숫자가 적인 공이 들어있다고 하자. 항아리에서 비복원추출(without replacement)로 3개의 공을 임의로 선택한다고 할때 > Sol) 총 경우의 수는 . =maximum of the three numbers selected, = minimum of the three numbers selected.

2 확률변수 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 예제 2.11 : 연속형인 경우 > 1. 2. 3. 4.

2 확률변수 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 주어진 특정함수 에 대하여 > 이산형인 경우 연속형인 경우 확률변수 가 주어졌다는 조건하에 의 조건부분포 (Conditional Distribution) > 이산형인 경우 연속형인 경우

2 확률변수 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 예제 2.12 : 예제 2.10 (계속) >

2 확률변수 이산형 확률변수 와 에 대하여 두 확률변수 와 의 독립 (Independence) 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 이산형 확률변수 와 에 대하여 > 두 확률변수 와 의 독립 (Independence) 한 확률변수가 또다른 하나의 확률변수가 취하는 값에 의존하지 않을 때 확률변수 와 는 독립이라고 한다. > 이산형인 경우 연속형인 경우

2 확률변수 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 예제 2.13 : > 1. 2. 3. 4.

2 확률변수 두 확률변수 와 의 공분산 (Covariance) 만약 와 독립이면 , 즉, 공분산의 특성 1. 2. 3. 4. 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 두 확률변수 와 의 공분산 (Covariance) > 만약 와 독립이면 , 즉, > 공분산의 특성 > 1. 2. 3. 4.

2 확률변수 5. 6. 두 확률변수 와 의 상관 (Correlation) 2.5. 결합확률변수 (Jointly Distributed Random Variables) 5. 6. 두 확률변수 와 의 상관 (Correlation) >

2 확률변수 이며 일때 이며 만약 과 가 독립이라면 확률변수 가 독립일때 2.6. 확률변수의 조합 및 함수 (Combinations and Functions of Random Variables) 이며 일때 이며 > > 만약 과 가 독립이라면 > > 확률변수 가 독립일때 >

2 확률변수 2.6. 확률변수의 조합 및 함수 (Combinations and Functions of Random Variables) PROPOSTION 1. 확률변수 가 기대값 이며 분산 을 가지는 독립이며 동일한 분포(independent and identically distributed (iid))를 따른다면 산술평균 에 대하여 (c)의 증명 :

2 확률변수 확률변수의 비선형 함수 (Nonlinear function of a random variable) 2.6. 확률변수의 조합 및 함수 (Combinations and Functions of Random Variables) 확률변수의 비선형 함수 (Nonlinear function of a random variable) > 확률변수 의 비선형 함수 는 또다른 확률변수이며 비선형 함수는 다음과 같은 형태를 포함한다 : 확률변수 가 0과 1사이에 균일분포하게 분포한다고 할때 pdf는 확률변수 의 비선형함수가 일때