-4장- 제어시스템의 성능 및 안정도

Contents 4.1 서론 4.2 제어시스템의 감도 4.3 제어시스템의 과도응답 4.4 제어시스템의 정상상태응답 4.1 서론 4.2 제어시스템의 감도 4.3 제어시스템의 과도응답 4.4 제어시스템의 정상상태응답 4.5 성능지수와 최적 시스템 4.6 특성방정식과 안정도 4.7 Routh 안정도 판별법 4.8 MATLAB을 이용한 제어시스템 성능 및 안정도 평가

4.1 서론 - 제어시스템의 설계 목적: 동적 시스템의 성능 및 강인성 향상 피드백을 사용 → 동적 시스템의 성능 및 강인성 향상, 이때 안정도 문제 반드시 고려해야 함 - 제어시스템의 성능 평가 방법 시간역 해석: 과도응답 및 정상상태응답을 시각적으로 예측할 수 있음 복소수역 해석: 극점, 영점을 이용하여 비교적 쉽게 해석할 수 있음 주파수역 해석: 시간역, 복소수역 보다 더 많은 유익한 정보를 제공함 - 실제 시스템을 위한 안정도 평가 수학적 모델에 대한 공칭안정도 모델의 불확실성에 대한 안정도-강인성 (상대안정도 문제) - 제어시스템의 공칭안정도 조사 방법 시스템 특성방정식의 근을 직접 조사하는 방법: 개루프 및 폐루프 제어시스템에 적용 Routh 안정도 판별법: 개루프 및 폐루프 제어시스템에 적용 근궤적법: 폐루프 제어시스템에 적용 Nyquist 안정도 판별법: 폐루프 제어시스템에 적용

4.2 제어시스템의 감도 - 감도함수: 플랜트 모델의 불확실성이나 변화에 대하여 시스템의 성능 변화를 정량화하기 위하여 사용 4.2 제어시스템의 감도 - 감도함수: 플랜트 모델의 불확실성이나 변화에 대하여 시스템의 성능 변화를 정량화하기 위하여 사용 (a) 공칭 시스템 (b) 시스템 파라미터의 변동 (c) 또 다른 시스템 파라미터의 변동 (d) 센서 게인의 변동 그림 4.1 피드백 제어시스템에서 파라미터 변동의 효과

- 공칭 시스템 (a)의 전달함수 (4.1) - 시스템 파라미터의 변동이 있는 시스템 (b)에 대한 전달함수 T(s) 및 정상상태오차 (4.2) (4.3)

- 시스템 (c)에 대한 전달함수 T(s) 및 정상상태오차 (4.4) (4.5) - 센서 게인의 변동이 있는 시스템 (d)에 대한 전달함수 T(s) 및 정상상태오차 (4.6) (4.7)

시스템의 감도함수 - 감도함수: 파라미터 a의 변화에 따른 전달함수 T의 변화를 공칭값 a와 T로 표준화한 식 (4.8) - 감도함수의 예: 감도함수 구하기 그림 4.2 위치 제어시스템

(4.9) (4.10) → (4.11)

개루프 및 피드백 제어시스템의 외란제거성능 비교 (a) 개루프 제어시스템 (b) 피드백 제어시스템 그림 4.3 외란을 고려한 개루프 및 피드백 제어시스템

- 개루프 제어시스템의 외란에 대한 전달함수 및 단위스텝응답의 최종값 (4.20) (4.21) - 피드백 제어시스템의 외란에 대한 전달함수 및 단위스텝외란 응답의 최종값 (4.22) (4.23) - 피드백 제어(K 증가) → 외란제거성능 향상, 큰 제어량이 요구되며 구동기 포화 문제 발생 가능

4.3 제어시스템의 과도응답 임펄스응답 - 일반적으로 표준시험 입력신호에 대한 시간응답을 가지고 과도응답 성능평가 4.3 제어시스템의 과도응답 - 일반적으로 표준시험 입력신호에 대한 시간응답을 가지고 과도응답 성능평가 - 표준시험 입력신호: 임펄스 함수, 스텝 함수, 램프 함수, 가속도 함수, 사인파 함수 임펄스응답 (4.24) 여기서 → 0 일 때의 를 단위임펄스 함수 라고 한다. (4.25) (4.26) - 입력 이면, 시스템 G(s)에 대한 단위임펄스응답 (4.28)

스텝응답 - 동적시스템의 시간역 성능 평가에서 가장 많이 사용되는 응답 - 스텝함수 신호: 발생시키고 평가하기 가장 쉬운 입력신호 그림 4.4 제어시스템의 전형적인 단위스텝응답

과도응답 성능을 나타내는 대표적인 사양 yss Mp yss yp yp tp td yss tr yss yss ts yss - 퍼센트 오버슈트 P.O. : 과도상태 중 정상상태응답 를 초과하여 나타나는 출력의 최대 오버슈트 를 정상상태응답 로 나눈 백분율로 정의 yss Mp yss (4.24) 여기서 : 출력의 시간응답의 최대값, 될 때의 시간: 최대값시간 yp yp tp - 지연시간 : 정상상태응답 의 50%에 도달하는 데 소요되는 시간 td yss - 상승시간 : tr 과감쇠 시스템( ): 정상상태응답 의 10%에서 90% 상승하는 시간 경감쇠 시스템( ): 정상상태응답 의 0%에서 100% 상승하는 시간 yss yss - 정착시간 : 출력의 크기가 정상상태응답 의 % 이내로 정착하는 데 소요되는 시간 일반적으로 사용되는 값은 2이다. ts yss

단순 1차 시스템의 응답 특성 - 단순 1차 시스템의 전달함수 (4.30) - 단순 1차 시스템의 주파수역 및 시간역 단위스텝응답 (4.31) (4.32) 여기서 : 과도응답이 감쇠하는 정도 - 시정수 T : 감쇠 정도를 나타내는 지수함수 가 이 되는 시간

단순 1차 시스템의 중요한 특성 t = T y(t) t = 0 1 / T - 일 때 출력 가 최종값 의 63.2%에 도달 - 일 때 출력 가 최종값 의 63.2%에 도달 t = T y(t) (4.33) - 에서 접선의 기울기: t = 0 1 / T (4.34) 그림 4.5 단순 1차 시스템의 단위스텝응답

단순 2차 시스템의 특성 - 단순 2차 시스템의 전달함수 (4.35) 여기서 : 감쇠비, : 고유주파수 여기서 : 감쇠비, : 고유주파수 - 경감쇠 단순 2차 시스템의 주파수역 및 시간역 단위스텝응답 (4.36) (4.37) 여기서 - 단순 2차 시스템의 시정수 : ← =

그림 4.6 감쇠고유주파수 와 각 의 표시 그림 4.7 감쇠비 값에 따른 단순 2차 시스템의 극점변화

그림 4.8 값에 따른 단순 2차 시스템의 단위스텝응답

경감쇠 단순 2차 시스템의 과도응답에 관한 사양 (4.37) (4.38) → (4.39) 또는 (4.40) - 최대값시간 는 첫 번째 오버슈트 시간: (4.41) →

- 출력의 최대값 (4.42) - 상승시간 : 식 (4.37)에서 최초로 가 1이 되는 시간 (4.43) 이므로, 식 (4.43)에서 상승시간 은 다음 식을 만족한다. (4.44) 또는 (4.45)

- 2% 정착시간 와 시정수 T의 관계 - 1% 정착시간 4.6T - 5% 정착시간 3T - 정착시간 는 감쇠비 와 거의 무관함 그림 4.9 감쇠비 값에 따른 정착시간

그림 4.10 단순 2차 시스템에서 감쇠비 값에 따른 퍼센트 오버슈트와 최대값시간

최소위상 및 비최소위상 시스템의 과도응답 특성 - 최소위상 시스템: 우반 s-평면에 극점이나 영점이 없는 시스템 - 비최소위상 시스템: 우반 s-평면에 극점이나 영점이 있는 시스템 - 극점: , 영점: 에 있는 시스템의 과도응답 특성 비교 (4.47) z가 음수 이면, 즉 영점이 좌반 s-평면상에 있는 경우 → 최소위상 시스템 z가 양수 이면, 즉 영점이 우반 s-평면상에 있는 경우 → 비최소위상 시스템

- 영점이 허수축에 가까이 놓일수록 과도응답에 크게 영향을 줌 최소위상 시스템 : 오버슈트(overshoot) 증가 비최소위상 시스템 : 언더슈트(undershoot) 증가 표 4.1(a) z(< 0) 값에 따른 최소위상 시스템 (4.47)의 과도응답 성능 표 4.1(b) z(> 0)값에 따른 비최소위상 시스템 (4.47)의 과도응답 성능

(a) 최소위상 시스템의 경우 (b) 비최소위상 시스템의 경우 그림 4.11 시스템 (4.47)에서 최소위상 및 비최소위상 시스템의 경우에 대한 단위스텝응답

단순 2차 시스템에 극점이 하나 첨가된 3차 시스템의 응답특성 대표극점 - 시스템 극점들 중에서 과도응답이 가장 오래 지속되어 시스템 응답에 지배적인 역할을 하는 극점 - 일반적인 경우: s-평면 상에서 허수축에 가장 가까이 있는 극점 ※ 허수축에 가장 가까이 있는 극점에서의 유수가 다음으로 가까이 있는 극점에서의 유수에 비해 매우 작으면, 다음으로 허수축에 가까이 있는 극점이 대표극점이 된다. 단순 2차 시스템에 극점이 하나 첨가된 3차 시스템의 응답특성 (4.48) - 첨가된 극점의 크기 가 2차 시스템의 극점의 고유주파수 의 크기보다 3배 이상 충분히 클 경우: 2차 시스템과 3차 시스템의 응답 특성이 거의 같음 정착시간: 3% 범위 이내로 같음 오버슈트: 6% 범위 이내로 같음

표 4.2 값에 따른 3차 시스템의 과도응답 성능 그림 4.12 단순 2차 시스템과 값에 따른 3차 시스템의 단위스텝응답

극점이 과도응답에 미치는 영향 - 극점은 시스템의 과도응답뿐만 아니라 안정도 문제에서도 중요함 그림 4.14 s-평면 상에서 극점의 위치에 따른 임펄스응답

4.4 제어시스템의 정상상태응답 - 제어시스템의 응답 성능은 과도응답뿐만 아니라 정상상태응답 성능도 동시에 만족해야 함 4.4 제어시스템의 정상상태응답 - 제어시스템의 응답 성능은 과도응답뿐만 아니라 정상상태응답 성능도 동시에 만족해야 함 - 정상상태응답 성능은 입력 및 시스템의 형태에 따라 판정함 - 폐루프 제어시스템의 오차신호 (4.56) - 폐루프 제어시스템의 정상상태오차 (4.57) 그림 4.20 폐루프 제어시스템

단위스텝입력에 대한 정상상태오차 - 단위스텝입력에 대한 폐루프 제어시스템의 정상상태오차 (4.58) - 폐루프 제어시스템의 정상상태오차의 크기 → 개루프 전달함수 의 형태에 따라 결정 (4.59) 여기서 N (적분 요소의 개수): 시스템에서 정상상태오차의 크기를 나타낼 수 있는 지수로 사용됨

- 제 0형 시스템(N = 0)의 정상상태오차 (4.60) 여기서 : 위치오차상수 - 이면, 스텝입력에 대한 폐루프 제어시스템의 정상상태오차 = 0 (4.61)

단위램프입력에 대한 정상상태오차 - 단위램프입력에 대한 폐루프 제어시스템의 정상상태오차 (4.62) - 제 0형 시스템(N = 0)의 정상상태오차 - 제 1형 시스템(N = 1)의 정상상태오차 (4.63) 여기서 : 속도오차상수 - 이면, 정상상태오차

단위가속도입력에 대한 정상상태오차 ※ 오차상수 : 정상상태응답에 관한 설계사양으로 사용됨, - 단위가속도입력에 대한 폐루프 제어시스템의 정상상태오차 (4.64) - 이면, 정상상태오차 - 제 2형 시스템(N = 2)의 정상상태오차 (4.65) 여기서 : 가속도오차상수 ※ 오차상수 : 정상상태응답에 관한 설계사양으로 사용됨, 오차상수 값을 크게 하는 것이 바람직함

표 4.4 시스템 형태에 따른 정상상태오차

DC 모터 제어시스템의 스텝 기준 및 외란 입력에 대한 시스템 형태와 정상상태 응답 특성 예제 4.3 (a) 비례 피드백 제어시스템 (b) 단위 피드백 제어시스템 그림 4.22 DC 모터 제어시스템 - 비례 피드백 제어시스템의 폐루프 전달함수 T(s) 및 오차 e(s)

→ 외란을 완전히 제거할 수 없음 (단위스텝외란 입력에 대해 제 0형 시스템) - 단위스텝기준입력 에 대한 정상상태오차 - 비례 피드백( )제어시스템(제 0형 시스템) → 정상상태오차 발생 - 단위 피드백 제어시스템(제 1형 시스템) → 정상상태오차 = 0 - 스텝외란-출력의 전달함수 - 단위스텝외란 입력에 대한 정상상태응답 → 외란을 완전히 제거할 수 없음 (단위스텝외란 입력에 대해 제 0형 시스템)

4.5 성능지수와 최적 시스템 - 시스템의 최적화 최적의 성능을 얻기 위한 시스템 파라미터의 선정문제 4.5 성능지수와 최적 시스템 - 시스템의 최적화 최적의 성능을 얻기 위한 시스템 파라미터의 선정문제 시스템의 성능을 수학적으로 표현할 수 있는 성능지수 → 최적의 파라미터 선정 가능 - 일반적으로 사용하는 성능지수: 스텝입력에 대한 오차 의 제곱을 적분한 값 (4.66) 그림 4.23 최적 파라미터 선정

최적 시스템 파라미터 선정 그림 4.24의 조정 가능한 피드백 제어시스템의 폐루프 전달함수 (4.67) 그림 4.24 조정 가능한 피드백 제어시스템

- 단위스텝기준입력에 대한 오차 (4.68) 또는 (4.69) (4.70) → 최적의 파라미터 k값 선정 (4.71)

경감쇠 단순 2차 시스템에 대한 최적의 감쇠비 - 경감쇠 단순 2차 시스템의 폐루프 전달함수 (4.72) - 경감쇠 단순 2차 시스템의 폐루프 전달함수 (4.72) - 단위스텝기준입력에 대한 오차 (4.75) → 최적의 감쇠비

- 고려할 수 있는 성능지수들 (4.77) (4.78) (4.79) - 최적의 감쇠비 을 사용할 때: 0.67 을 사용할 때: 0.707 를 사용할 때: 0.6 - 성능지수 : 최소 영역이 비교적 넓음 → 파라미터 변동에 대해 민감하지 않음, 수학적 처리도 쉬움 → 실제 적용시 가장 바람직한 성능지수

그림 4.25 단순 2차 시스템에서 감쇠비 값에 따른 성능지수 그림 4.26 단순 2차 시스템에서 감쇠비 값에 따른 성능지수 , 과

4.6 특성방정식과 안정도 시스템의 안정도 선형 시스템의 안정도 판별법 한정된 시스템 응답을 갖는 시스템으로 정의 4.6 특성방정식과 안정도 시스템의 안정도 한정된 시스템 응답을 갖는 시스템으로 정의 시스템에 한정된 입력 또는 외란이 가해졌을 때 그 응답의 크기가 한정됨 선형 시스템의 안정도 판별법 선형 시스템의 안정도는 입력의 형태나 크기에 무관함 시스템 자체 동특성에 의해 판별 시스템의 특성방정식의 근, 즉 시스템의 극점 에 의해 판별 특성방정식의 근 중에서 양의 실수부를 갖는 근의 존재유무로 판별

- 단위스텝기준입력을 가했을 때의 출력 (4.87) 또는 (4.88) - 역 Laplace 변환 수행 (4.89) 여기서 첫째 항 : 정상상태응답, 둘째 이하의 : 과도응답 → 이면 감쇠, 이면 안정한계, 이면 발산 - 특성방정식의 근 의 실수부 조사

시스템의 안정도는 특성방정식의 근, 즉 시스템의 극점 에 의해 결정됨 그림 4.27 값에 따른 과도응답 시스템의 안정도는 특성방정식의 근, 즉 시스템의 극점 에 의해 결정됨 (4.91) ※ (예외) ① 0인 극점(적분요소, 1/s)을 포함하는 시스템 ② 허수축 상에 중복된 복소 극점이 있는 시스템

4.7 Routh 안정도 판별법 시스템의 안정도 판별을 위한 필요조건: 특성방정식의 모든 계수 가 같은 부호 특성방정식의 모든 계수 가 같은 부호 - 시스템의 안정도 판별을 위한 충분조건: Routh 배열의 첫 번째 열의 모든 계수가 같은 부호 - Routh 배열의 첫 번째 열의 계수의 변화 횟수 = 불안정한 극점의 개수 Routh 배열 :

Routh 배열을 만드는 방법 - 특성방정식의 계수 로 Routh 배열의 1, 2행을 만든다. - 제 3행의 계수 계산 - 제 3행의 계수 계산 - 같은 방법으로 행까지 계산

예제 4.4 Routh 안정도 판별법을 이용한 안정도 조사 Routh 배열 : - Routh 배열의 첫 번째 열에서 부호의 변화의 횟수 = 2 → 특성방정식의 근 중 두 개가 양의 실수부를 갖는다. → 시스템: 불안정

Routh 배열의 특수한 경우 (1) 예제 4.5 Routh 안정도 판별법을 이용한 안정도 조사 양(+)의 수 으로 대치한 후 나머지 배열을 만든다. Routh 배열 : - Routh 배열의 첫 번째 열에서 부호의 변화의 횟수 = 2 → 두 개의 극점이 양의 실수부를 갖는다. → 시스템: 불안정

Routh 배열의 특수한 경우 (2) 예제 4.6 Routh 안정도 판별법을 이용한 안정도 조사 - 특성방정식에서 계수가 모두 같은 부호가 아님 → 시스템: 불안정 Routh 배열 : - Routh 배열에서 행의 모든 요소가 0 - 이러한 경우 모두 0이 나타나는 행의 바로 위에 있는 다항식 P (s)를 s로 미분한 다항식의 계수로 대치

- 다항식 의 계수들을 행에 배열하여 새로운 Routh 배열을 만든다. ← 의 계수 - 새로운 Routh 배열의 첫 번째 열에서 부호의 변화의 횟수 = 1 → 한 개의 극점이 양의 실수부를 갖는다. → 시스템: 불안정

특성방정식의 근의 실수부가 모두 -1보다 작은 근을 갖는지를 Routh 안정도 판별법을 이용하여 조사 예제 4.7 - 우선 특성방정식에서 s를 (z -1)로 대치하여 z 에 관한 수정된 특성방정식을 만든다. 또는 - z 에 관한 특성방정식으로부터 Routh 배열을 만든다. Routh 배열 : - Routh 배열의 첫번째 열에서 부호의 변화의 횟수 = 0 → 특성방정식의 근의 실수부가 모두 -1 보다 작다. → 시스템의 시정수는 적어도 1보다 작다.

예제 4.8 시스템이 안정한 시스템 파라미터 K의 영역을 Routh 안정도 판별법을 이용하여 구하기 Routh 배열 : - Routh 안정도 판별법의 필요조건: 특성방정식의 계수가 모두 같은 부호 → K > 0 - Routh 안정도 판별법의 충분조건: Routh 배열의 첫 번째 열이 모두 같은 부호 → 시스템의 안정도 조건:

4.8 MATLAB을 이용한 제어시스템 성능 및 안정도 평가 예제 4.9 전달함수 G(s)로 표현되는 시스템의 안정도와 시간역 성능 평가 그림 4.28 의 단위스텝응답