근사값과 반올림 오차 절단 오차와 Taylor 급수 오차의 전파 제 1장. 수치표현과 오차 근사값과 반올림 오차 절단 오차와 Taylor 급수 오차의 전파
1. 근사값과 반올림 오차 수치해법은 정확한 해석해에 근접한 값을 산출하므로 오차가 발생 해석해를 구할 수 없으면, 오차를 정확히 구할 수 없음 오차의 근사값이나 추정 값으로 결정해야 한다. 수치 오차의 형태 반올림 또는 마무리 오차(round-off error) : 컴퓨터가 유한한 자릿수의 숫자를 표현하기 때문에 발생 절단 오차(truncation error) : 수치처리의 반복 과정을 어느 한도에서 정지해야 하기 때문에 발생
1. 근사값과 반올림 오차(cont.) 수치해법은 충분히 정확하고, 정밀해야 함 오차의 정의 유효숫자 : 확신을 갖고 사용할 수 있는 수 정확도 : 계산 값이 얼마나 참값에 가까운지를 나타내는 정도 정밀도 : 각각의 계산한 값들이 서로 얼마나 가까운지를 나타내는 정도 오차의 정의 참값 = 근사값 + 오차 절대오차(Et) = 참값 – 근사값 상대오차(Ix) = 참값 Et
1. 근사값과 반올림 오차(cont.) 추정 오차 오차의 한계(허용 오차) 참값을 얻지 못한 경우, 가능한 추정 값 즉 근사값을 사용하여 상대 오차를 정의 Ia = 근사오차/근사값 계산이 반복적으로 이루어질 경우, Ia = {현재근사값 – 이전 근사값}/현재 근사값 오차의 한계(허용 오차) 수치 계산에서는 오차의 부호가 아니라, 상대오차가 미리 정해진 허용오차(Es)보다 작을 지에 더 관심이 있음 | Ia | Es
1. 근사값과 반올림 오차(cont.) 반올림 오차 오차의 전파 유효숫자 탈락으로 인한 불일치 컴퓨터에서의 수의 표현 부동 소수점 (Floating point) 표현 : 지수부, 가수부 고정 소수점(Fixed point) 표현 : 정수(integer)의 표현 오차의 전파 극히 많은 계산이 필요한 경우, 이들 계산은 상호 의존적 개별적인 오차는 작다고 할지라도 계산 과정에서 누적된 오차는 심각할 수 있음
2. 절단 오차와 Taylor 급수 절단오차는 정확한 수학적 과정에 근사적 접근을 사용함으로써 발생
Taylor 급수
2. 절단 오차와 Taylor 급수(cont.) 지수함수나 sine함수는 무한히 미분 가능한 연속 함수 유한개의 항으로 정확한 추정 값을 산출 할 수 없음 급수에서 무한개의 항을 추가해야 함 나머지 항에서 의 값을 정확하게 알지 못하며, 나머지 항을 계산하기 위해서는 f(x)의 (n+1)차 도함수를 구해야 한다
2. 절단 오차와 Taylor 급수(cont.) Taylor 급수의 나머지 항을 사용하여 절단 오차를 통찰 xi 와 xi+1의 구간 간격의 크기 h를 조절할 수 있기 때문 급수 전개에 포함되는 항의 수를 조절 Rn = O(hn+1) : 절단 오차가 hn+1 차수라는 의미 오차가 O(h) 이면 h를 반으로 줄이면 오차가 반으로 감소 오차가 O(h2) 이면 h를 반으로 줄이면 오차가 1/4으로 감소 절단오차는 Taylor 급수에 항을 추가함으로써 감소
3. 오차의 전파 오차의 전파 일련의 계산 과정에서 전 단계의 오차가 다음 단계에 영향을 주어서 오차가 누적 오차의 누적율이 일정하거나 단조증가 : 안정적 오차의 누적율이 기하급수적으로 증가 : 불안정 불안정한 연산 결과는 의미 없음. 안정성 있는 계산 방법을 모색해야 함. 단일 변수 함수, 다중 변수 함수
3. 오차의 전파(cont.) 단일 변수 함수의 오차 전파 입력 오차 x, 측정값 x Ex : y = x2 이 경우, 입력 오차의 2배 y = xa 인 경우, 입력 오차의 a배가 됨
3. 오차의 전파(cont.) 다변수 함수의 오차 전파 변수 xi에 대한 입력 오차 xi , 함수 y = f(x1, x2, …, xn) 오차 계산의 일반식 최대 오차
5. 산술 연산의 오차 전파 덧셈 xT 는 참값, x는 근사값,그리고 x 는 오차라고 하면,
5. 산술 연산의 오차 전파(cont.) 뺄셈 x와 y의 값이 비슷하면, 상대오차가 커진다.
5. 산술 연산의 오차 전파(cont.) 곱셈
5. 산술 연산의 오차 전파(cont.) 나눗셈
오차를 줄이기 위한 프로그래밍 지침 연산횟수를 줄여서 가능한 최소의 연산 과정을 거쳐서 결과가 나오도록 해야 한다. 거의 같은 두 수 사이에서 뺄셈 연산을 피한다. 작은 수로 나누어주는 것을 피한다. 숫자를 더하고 뺄 때 숫자를 정렬해서 가장 작은 수부터 먼저 수행하는 것이 좋다. 반올림 오차를 줄이기 위해서는 배정밀도 변수를 사용해야 한다.