술어명제의 해석 ∧ ∨ → ↔ =
[연습] x ∊ {a, b, c}일 때 다음 명제의 해석은? (1) ∃x∀y A(x,y) (2) ∀x(A(x)→B(x)) (3) ∀xA(x) →∃xA(x)
[연습] x ∊ {a, b, c}일 때 다음 명제의 해석은? (1) ∃x∀y A(x,y) ∃x [A(x,a)∧A(x,b)∧A(x,c)] [A(a,a)∧A(a,b)∧A(a,c)] ∨[A(b,a)∧A(b,b)∧A(b,c)] ∨[A(c,a)∧A(c,b)∧A(c,c)] [A(a,a)∧A(a,b)∧A(a,c)] ∨[A(b,a)∧A(b,b)∧A(b,c)] ∨[A(c,a)∧A(c,b)∧A(c,c)]
[연습]위의 (1),(2)의 x를 x ∊ {a, b}로 하여 해석하여 각 등식을 학인해 보시오! 5. 정량자의 변환 드 모어건의 법칙을 이용하면 정량자들은 변환될 수 있다. [정리1]부정정량자의 변환; (1) ~∀x F(x) ≡ ∃x ~F(x) (2) ~∃x F(x) ≡ ∀x ~F(x) 증명: 해석의 이용 에 의함 [연습]위의 (1),(2)의 x를 x ∊ {a, b}로 하여 해석하여 각 등식을 학인해 보시오!
x ∊ {a, b} 부정정량자의 변환; (1) ~∀x F(x) ≡ ∃x ~F(x) ~∀x F(x) ≡ ~(Fa ∧ Fb)
부정정량자의 변환; (2) ~∃x F(x) ≡ ∀x ~F(x) x ∊ {a, b} ~∃x F(x) ≡ ~(Fa ∨ Fb) ≡ ~Fa ∧ ~Fb (드-모어건의 빕칙) ∀x ~F(x) ≡ ~Fa ∧ ~Fb
[정리2]긍정정량자의 변환; (1) ∀x F(x) ≡ ~∃x~F(x) (2) ∃x F(x) ≡ ~∀x~F(x) 증명: [정리1]에서 ‘F≡G 이면 ~F≡~G’ 임을 용하여 유도함. [정리1]부정정량자의 변환; (1) ~∀x F(x) ≡ ∃x ~F(x) (2) ~∃x F(x) ≡ ∀x ~F(x)
6. 있음과 없음 – ∃x F(x) : F인 것이 있다. 어떤 것은 F이다. ~∃x F(x) : F인 것은 없다/존재하지 않는다. : 어떤 것이 F 이라는 것은 거짓이다. ≡ ∀x ~F(x): 어떠한 것도 F는 아니다
[연습1]다음 문장을 전칭문장으로 만들어 보시오. (1) 부자이면서 행복한 자는 없다. (2) 어미 없는 동물은 없다. (3) 최대 자연수는 없다. [연습2] 다음문장을 특칭 문장으로 만들어 보시오. (1) 모든 부자는 불행하다(행복하지 않다). (2) 모든 동물은 어미를 가지고 있다. (3) 모든 자연수는 각각 더 큰 자연수를 가지고 있다.
문제: 이 두 문장의 뜻이 같은 이유는? 연습1 (1) 부자이면서 행복한 자는 없다. 연습2 (1) 모든 부자는 행복하지 않다. 연습1 (1) 부자이면서 행복한 자는 없다. ~∃x [부자(x) ∧ 행복(x)] 연습2 (1) 모든 부자는 행복하지 않다. ∀x [부자(x) → ~행복(x)] 문제: 이 두 문장의 뜻이 같은 이유는?
≡ ~∃x [부자(x) ∧ 행복(x)] ≡ ∀x ~[부자(x) ∧ 행복(x)] ≡ ∀x [~부자(x) ∨ ~ 행복(x)] 연습1 (1) (1) 부자이면서 행복한 자는 없다. 연습2 (1) (2) 모든 부자는 행복하지 않다. 이 두 문장의 뜻이 같은 이유는? (1) 부자이면서 행복한 자는 없다. ≡ ~∃x [부자(x) ∧ 행복(x)] ≡ ∀x ~[부자(x) ∧ 행복(x)] ≡ ∀x [~부자(x) ∨ ~ 행복(x)] ≡ ∀x [부자(x) → ~행복(x)] ≡ 모든 부자는 행복하지 않다. (2) 모든 부자는 행복하지 않다.