Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 확률의 이해 Probability February 26, 2019 켈러의 경영경제통계학 제5장 확률의 이해 Probability Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

확률의 개념

확률의 종류

객관적 확률

확률의 개념

확률의 개념 확률(probability)이란? 실험(experiment) 실험을 했을 때 어떤 사건이 일어날 가능성을 ‘0’에서 ‘1’사이의 수치로 표시한 것 - ‘0’이면 전혀 가능성이 없음을 의미하고, ‘1’이면 절대 확실함을 의미 실험(experiment) - 관찰을 통해 관찰치 또는 자료를 얻는 과정 (예) 체중 측정, 부피 측정, 선호도 조사 등 사건(event) - 실험을 통해 얻은 결과 (예) 동전을 한번 던져 나오는 결과는 앞 또는 뒤주사위를 던져 나오는 결과는 1, 2, 3, 4, 5, 6 출산의 결과는 아들 또는 딸 표본공간(sample space) - 특정 실험을 통해 얻을 수 있는 가능한 결과들의 집합 (예) 주사위를 한번 던지는 실험의 표본공간 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

확률은 미래의 사건(event)과 관련된 불확실성을 측정하고 분석하는 방법을 제공해준다. 확률의 필요성 우리의 일상생활은 줄곧 불확실한 상황 하에서 행해지는 의사결정의 연속이다. 내일 비가 올 것인가? 주식가격이 오를까? 현재계획 중인 업무가 성공할까? 등 등 모두 불확실한 것들임 이러한 불확실성에 대처하기 위한 가장 효과적인 방법이 확률임. 즉 비올 확률이 높으면 우산을 갖고 외출하면 되고, 주가가 오를 확률이 높으면 주식을 매입하면 좋을 것. 확률은 미래의 사건(event)과 관련된 불확실성을 측정하고 분석하는 방법을 제공해준다.

확률의 계산(1) 실험을 하여 나오는 어떤 사건을 A라 할 때, 사건 A가 발생활 확률을 P(A)라 하면, 주사위를 한번 던질 때 뒷면의 숫자가 4 이상일 확률은 얼마일까? 예 주사위의 각 숫자가 나올 가능한 결과는 6가지이고, 그 중에서 숫자가 4 이상인 경우는 4, 5, 6의 세 가지이므로 주사위 숫자가 4 이상일 확률 P(4이상) = 3/6 = 1/2

확률의 계산(2) 예) 주머니 속에는 검정 돌 4개와 흰 돌 6개가 들어 있다. 임의로 하나의 돌을 꺼낼 때 그것이 흰 돌일 확률은? ① 표본공간은(Ω)? Ω = { ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ } ② 바라는 성공사건의 집합은(A)? A = { ○ ○ ○ ○ ○ ○ } ③ 흰 돌(A)일 확률은? 6 10 P(A) = = 0.6

예) 주사위를 두 번 던질 때 두 번 모두 짝수의 면이 나올 확률은? 확률의 계산(3) 예) 주사위를 두 번 던질 때 두 번 모두 짝수의 면이 나올 확률은? ① 표본공간은(Ω)? Ω = { (1,1), (1,2), . . . . . (6,5), (6,6) }로서 가능한 사건의 총수는 6*6=36가지 ② 두번 모두 짝수의 면인 경우의 집합은(A)? A = { (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6) }로서 9 가지 ③ 두번 모두 짝수일 확률은? 9 36 P(A) = = 0.25

Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 5.1 사건에 확률을 부여하는 방법… February 26, 2019 -주요 확률개념의 정의 확률실험(random experiment)-확률실험은 여러 가지 가능한 결과들 중 하나의 결과를 발생시키는 활동 또는 과정이다. 예. 동전 한 개 던지기, 컴퓨터 한대를 조립하 는 시간. (2) 표본공간(sample space) – 표본공간은 하나의 확률실 험으로부터 발생할 수 있는 모든 가능한 결과들을 나열한 것이다 (가능한 모든 결과들이 포함되어야 하고 (exhaustive) 표본공간에 포함되는 결과들은 상호배타 적(mutually exclusive)이어야 한다) Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

(3) 확률법칙(law of probability) 표본공간 가 주어져 있을 때, 표본공간에 속한 결과들에 부여되는 확률은 다음과 같은 두 가지 조건을 충족시켜야 한다. 1. , 2. (4) 사건(event) 표본공간에 있는 하나의 원소로 구성되는 단순사건 또는 두 개 이상의 단순사건들의 집합 (표본공간의 부분집합)

5.1 사건에 확률을 부여하는 방법… -하나의 결과 Oi 에 확률 P(Oi), 을 부여하는 3가지 방법이 있다. 고전적 방법(classical approach) :표본공간의 각 결과가 발생할 가능성 이 동일한 경우에 관련된 사건에 대한 확률을 부여방법. 상대도수방법(relative frequency) :실험 또는 역사적 데이터로부터 각 결과가 발생되는 상대도수를 확률로 부여하는 방법. 주관적방법(subjective approach ): 확률을 부여하는 자의 주관적 판단 에 기초하여 확률을 부여하는 방법.

고전적 방법(Classical Approach)… -하나의 확률실험이 n개의 가능한 결과를 가지고 각 결과가 발생될 확 률이 동일하다면, 각 결과가 발생할 확률은 1/n이다. 예. 확률실험: 주사위 1개 던지기 표본공간: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 확률 : 표본공간의 각 원소가 발생할 확률=1/6 사건 : 주사위 1개 던지기에서 짝수가 나타날 사건 A= {2,4,6} 사건의 확률: P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=3/6 =1/2

상대도수방법(Relative Frequency Approach)… 예.Bits & Bytes Computer Shop은 30일 동안 노트북 판매대수를 기 록하였다. 예를 들면, 30일중 10일에 2대의 노트북이 판매되었다. 도수분포표로부터 사건의 확률 을 상대도수에 의해 계산할 수 있다… Desktops Sold # of Days 1 2 10 3 12 4 5

상대도수방법(Relative Frequency Approach)… 노트북 판매대수 일수 상대도수 1 1/30 = .03 2 2/30 = .07 10 10/30 = .33 3 12 12/30 = .40 4 5 5/30 = .17 ∑ = 1.00 “Bits & Bytes가 어느 주어진 날에 3대의 노트북을 판매할 확률은 40%이다.”

주관적 방법(Subjective Approach)… -주관적 방법은 한 사건의 발생에 대한 믿음의 정도(degree of belief) 를 확률로 부여한다. 예. 일기예보의 강수확률 (Probability of Precipitation/POP) 은 예보 자들마다 다른 방법으로 정의된다. 그러나 기본적으로 일기예보의 강수 확률은 현재의 날씨상황과 과거 관측에 기초하여 부여되는 주관적 확률 이다.

확률의 해석… -확률을 부여하기 위해 어떤 방법이 사용되든지간에 확률은 확률실험 이 무한히 이루어지는 경우를 상정한 상대도수방법을 사용하면서 해석 될 수 있다. 예. 한 정부 복권게임에서 49개의 숫자 중에서 6개 숫자를 선택한다고 하자. 고전적방법은 각 숫자가 선택되는 확률은 1/49=2.04%라고 예측 한다. 이와 같은 확률은 장기적으로 (실험을 무한히 반복하는 경우) 각 숫자가 실험들 중의 2.04%에서 선택될 것이라는 것을 의미한다고 해석 될 수 있다.

5.2 결합확률, 한계확률, 조건부 확률… -다양한 사건들에 대하여 확률을 부여하는 방법에 대한 논 의 여사건(complement event) 교사건(intersection of events) 합사건(union of events) 상호배타적 사건(mutually exclusive events) 종속사건(dependent events)과 독립사건(independent events)

여사건(Complement of an Event)… -사건A의 여사건(complement of event A)은 사건 A에 속하지 않는 모든 표본공간 원소들로 구성된 사건으로 정의된다. -사건 A의 여사건은 Ac 로 나타낸다. -여사건의 개념을 Venn diagram으로 나타내면 다음과 같다. P(A) + P(Ac ) = 1 S Ac A

여사건 (Complement of an Event)… 예. 2개의 주사위를 던지는 확률실험의 표본공간은 S = {(1,1), 1,2),… (6,6)} 이다. 사건 A는 나타나는 점들의 합이 7인 사건이라고 하자. 따 라서 A = {(1,6),(2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(A)+P(AC) =1 P(A)=6/36=1/6 A Ac

합집합과 교집합 확률이론

교사건(Intersection of Two Events)… -사건 A와 사건 B의 교사건(intersection of event A and event B)는 사건 A와 사건 B가 동시에 발생하는 사건 (A and B)으로 정의된다. -사건 A와 사건 B의 교사건 : A and B -사건 A와 사건 B의 결합확률(joint probability )은 사건A와 사건 B의 교사건 확률, 즉P(A and B) 이다. A B

교사건(Intersection of Two Events)… -예. 사건 A= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (첫번째 주사위 가 1인 사건)이고 사건 B ={(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} (두 번째 주사위가 5인 사건)이라고 하자. -따라서 사건A와 사건B의 교사건 ={(1,5)} -사건 A와 사건 B의 결합확률(joint probability )은 사건A와 사건 B의 교사건 확률, 즉 P(A and B) =1/36 이다. A B

합사건(Union of Two Events)… -사건A와 사건B의 합사건은 사건A 또는 사건B에 속하거나 또는 사건A 와 사건B에 모두 속하는 표본공간의 원소들로 구성되는 사건으로 정의 된다. -사건A와 사건B의 합사건: A or B A B

합사건(Union of Two Events)… - 예. 사건 A= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (첫번째 주사위 가 1인 사건)이고 사건 B ={(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} (두 번째 주사위가 5인 사건)이라고 하자. -사건A와 사건B의 합사건={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} P(A or B )=11/36 A B

상호배타적 사건(Mutually Exclusive Events)… -두 사건이 상호배타적(mutually exclusive ), 즉 두 사건이 동시에 발 생되지 않을 때, 상호배타적 사건의 결합확률은 0이다. P(A and B)=0 A B 상호배타적 사건은 사건A와 사건B에 공통으로 가지는 표본공간의 원소가 없다…

여사건 합사건 A Ac A B 교사건 상호배타적 사건 A B A B

한계확률(Marginal Probabilities)… P(A2) = .06 + .54=.60 “펀드매니저가 상위20위 이외 MBA를 졸업하였을 확률” B1 B2 P(Ai) A1 .11 .29 .40 A2 .06 .54 .60 P(Bj) .17 .83 1.00 P(B1) = .11 + .06=.17 한계확률의 합은 1이다. “뮤추얼펀드수익률이 시장수익률보다 높을 확률”

한계확률(Marginal Probabilities)…