Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 위 은 영 2004. 10. 4 (월) Introduction to Wavelets!! Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 위 은 영 2004. 10. 4 (월) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. Contents Wavelet construction and pyramid transform Multiresolution analysis … 3 Wavelets … 5 Mallat pyramid transform … 8 Ex) … 14 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Multiresolution analysis 다중 해상도 분석(Multiresolutin analysis:MRA)은 쉽게 설명하자면 공간의 임의의 함수 를 의 부분 공간 로 각각 정사영시켜 분해 및 재 조합할 수 있다는 성질이다. 다중 해상도 분석의 정의 ① ② ③ ④ 비례함수 가 존재하며 은 의 정규 직교 기저이다. - 비례 함수는 2-scale 식을 만족시킨다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 다중해상도 정의에 의해 는 공간 에서 만큼 scale이 변형된 공간으로 간주할 수 있다. 따라서 의 정규직교기저 를 scale 변형하여 얻은 집합 j : scale 조절 성분 k : 시간축을따라 이동하는 성분 는 자연스럽게 의 정규직교기저가 된다. 주어진 신호 에 대해 공간 위로 정사영(projection) 는 신호 를 정규직교기저 로 분해함으로써 얻어진다. 즉, : 근사계수(approximateion coefficient) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 2. Wavelets 에 포함되어 있는 에 직교하는 부분 여집합 이 존재한다. 는 과 공간 사이의 상세정보를 가지고 있다. 그래서 를 세부공간 or 웨이블릿 공간이라 한다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 의 정규직교기저인 을 비례함수와 같이 변형한 식 이 의 정규직교가 되면, 정사영 와 같이 에서 위로의 정사영 를 정의 할 수 있다. 즉, : 상세계수(detail coefficient) - 이때 함수 를 웨이블렛(Wavelet)이라 한다. 따라서 에 속하는 모든 함수 에 대하여 다음 표현식을 얻을 수 있다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

3. Mallat pyramid transform 흔히들 FWT(Fast Wavelet Transform)와 IFWT(Inverse Fast Wavelet Transform)를 합쳐서 “피라미드 알고리즘”또는 “Mallat의 알고리즘”이라 한다. 피라미드 알고리즘은 계수들 에 대한 것으로 원래 신호를 잘 나타내도록 계수들 를 결정한다. 모든 에 대해 이므로, 는 에 속한다. 따라서, Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 따라서 으로 정의 하면 : 척도구성계수(scaling coefficients) 양변에 와의 내적을 구하면 해상도 수준 m+1에서의 은 한 단계 낮은 해상도 수준의 m에서의 와 에서 구할 수 있다. 다시 말하자면, 이산근사 는 단순히 척도 구성 계수 과 의 적당한 합성곱(convolution)을 취하여 얻을 수 있다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 같은 방법으로 모든 에 대해 이므로, 를 의 정규 직교기저에 의해 H와 G 는 행렬로서 표현되는데 각각 와 에 따라 정해지며, H와 G의 쌍을 이산 웨이블릿 변환 (Discrete Wavelet Transform) 이라 한다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 다음은 4개의 척도구성계수 , , , 로 이루어진 행렬의 예이다. 이러한 과정을 도식화하면 다음과 같다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 복원과정은 분해한 성분을 다시 합하면 된다. 이를 분해의 과정처럼 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다. 복원과정 도식화 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 직교 웨이블릿의 경우 와 는 각각 와 의 전치행렬이 된다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab. EX) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

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Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 4단계까지 분해를 진행하면 분해된 신호의 가장 왼쪽에 원본 신호의 DC성분이 있고, 나머지는 해상도 수준에 따른 상세정보를 가지고 있다. 만약 주어진 신호를 효율적으로 압축하려 한다면, 상세정보 부분에 주목해야 한다. 원본 신호를 데이터로 저장하기 위해서는 신호의 각 값을 모두 저장해야 한다. 하지만, 분해된 신호를 보면 신호의 상세정보를 가지고 있는 부분은 제로('0') 근처에 값들이 모여 있는 것을 알 수 있다. 적당한 임계값 (threshold) 이상의 값만을 취하고 값이 0 이 아닌 데이터만 저장을 한다면 원본 신호보다 훨씬 적은 양의 0 이 아닌 값만으로 원본 신호와 거의 유사하게 복원할 수 있다. 압축율은 임계값을 적당히 조절함으로써 얻을 수 있을 것이다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

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