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chapter 03. Z-Transform

주요내용 z-변환의 정의 수렴영역 z-변환의 성질 역 z-변환 z-변환의 응용 라플라스 변환과의 관계

4.1 z-변환의 정의 연속시스템의 입출력관계 -. 미분방정식으로 표현 : 푸리에변환이나 라플라스변환을 이용 이산시스템의 입출력관계 -. 차분방정식으로 표현 : z-변환을 이용

4.1 z-변환의 정의 이산신호 의 z-변환 은 다음과 같이 정의된다 한편, 인과적 시스템일 경우 (Two sided z-transform) 한편, 인과적 시스템일 경우 (One sided z-transform)

4.1 z-변환의 정의 예제 4.1 그림과 같은 이산신호가 주어질 때 각각의 z-변환을 구하라

4.1 z-변환의 정의 (풀이) 그림 4.1(a)의 이산신호 은 로 표시할 수 있다. z-변환의 정의식을 이용하면                               로 표시할 수 있다. z-변환의 정의식을 이용하면 그림 4.1(b)는 로 주어진다. z-변환을 하면 다음과 같이 된다.

4.1 z-변환의 정의 그림 4.1(c)의 경우에는 로 표시할 수 있다. z-변환의 정의식으로부터                                                                              로 표시할 수 있다. z-변환의 정의식으로부터 로 주어진다. 혹은 임펄스수열을 이용하여 을 구하여도 마찬가지이다. 은 로 표시할 수 있다. 임펄스수열의 성질 및 z-변환을 이용하면

4.1 z-변환의 정의 위 예제 4.1을 통하여 다음과 같은 성질을 알 수 있다. 즉, 이 때 z-변환은 일대일 대응관계이므로 위 예제 4.1을 통하여 다음과 같은 성질을 알 수 있다. 즉, 이 때 z-변환은 일대일 대응관계이므로 의 관계가 성립

4.1 z-변환의 정의 예제 4.2 스텝수열 의 z-변환을 구하라 (풀이) z-변환의 정의식으로부터 은 이 된다. 이 전개식은 이거나 일 때 수렴한다.

4.2 수렴영역 수렴영역(Region Of Convergence : ROC) -. 이산신호 의 변환 은 무한급수이므로 -. 이산신호 의 변환 은 무한급수이므로 로 될 때 그 합이 유한한 값으로 수렴하지 않으면 의미가 없다 -. 가 수렴하는 의 존재영역을 복소 평면상에 나타낼 때 이것을 수렴영역이라한다

4.2 수렴영역 예제 4.3 이산신호 이 일 때 z-변환을 구하라 (풀이) 정의에 의해 이 수렴하기 위해서는 예제 4.3 이산신호 이 일 때 z-변환을 구하라 (풀이) 정의에 의해 이 수렴하기 위해서는 의 조건을 만족해야 한다

4.2 수렴영역

4.2 수렴영역 ( 예제 4.4 다음 이산신호 의 z 변환과 그 수렴영역을 구하라 (풀이) z 변환의 정의에 의해 이 된다. Euler 공식을 이용하면 로 된다. (

4.2 수렴영역 이 수렴하기 위해서는 의 수렴 영역을 만족해야 한다. 결국 은 의 수렴 영역을 만족해야 한다. 결국 은 로 된다. 위의 식을 간략히 하면 아래와 같이 된다.

4.2 수렴영역 예제 4.5 다음 이산신호의 z-변환과 그 수렴영역을 구하라 (풀이) 을 다음과 같이 표현할 수 있다 (풀이) 을 다음과 같이 표현할 수 있다 따라서, 는 로 주어진다. 이와 같은 무한급수가 수렴하기 위한 조건은

4.2 수렴영역

4.2 수렴영역 예제 4.6 다음 이산신호의 z-변환과 그 수렴영역을 구하라 (풀이) 예제 4.3과 4.5의 을 중첩한 것으로 와 그 수렴영역은 이다. 즉, 그림 4.4와 같이 반지름이 인 원과 반지름이 인 원 사이의 고리형태가 된다.

4.2 수렴영역

4.2 수렴영역

4.3 z-변환의 성질 1. 선형성(linearity) a, b가 임의의 상수일 때 이면 다음식이 성립한다

4.3 z-변환의 성질 2. 추이정리(shift property) 일 때, 양의 정수 m에 대해서 가 성립한다 예제 4.7 구형파수열 이 다음과 같이 주어질 때 을 구하라 (풀이) 선형성 및 추이정리로부터 다음과 같이 된다

4.3 z-변환의 성질 3. 지수수열에 의한 곱셈 예제 4.8 의 z-변환을 구하라 (풀이)

4.3 z-변환의 성질 4. 미분 예제 4.9 램프(ramp)함수 이다. 이 함수를 z-변환하라. (풀이)

4.3 z-변환의 성질 5. 초기치 정리 이 정리를 이용하면 에서 역변환을 하지않고 시간영역의 초기값 를 구할 수 있다 6. 최종치 정리 이 정리를 이용하면 영역에서 직접 시간영역 의 최종값을 구할 수 있다

4.3 z-변환의 성질 7. 컨볼루션 임펄스응답을 그리고 입력신호를 이라하면, 이 때의 출력 은 임펄스응답을 그리고 입력신호를 이라하면, 이 때의 출력 은 로 표시된다. 이러한 컨볼루션의 z-변환은 단순한 곱이 된다 즉,

4.3 z-변환의 성질 표 4.1 z-변환표

4.4 역 z-변환 1. 역 z-변환의 정의 주파수 영역 에서 시간영역 으로 변환하는 것 식(4.8) 주파수 영역 에서 시간영역 으로 변환하는 것 식(4.8) 는 의 수렴영역내에 반 시계 방향으로 그린 閉路이며, 의 모든 극은 그 내부에 포함된다

4.4 역 z-변환 유수정리(residue theorem) -. 이 의 유리함수이며, 의 극이 알려져 있고 동시에 극이 모두 단극(simple pole)일 경우에 사용 -. 복소 적분을 수행하지 않는다 -. 만약 극 중에서 m차의 중근이 포함된 경우에는

4.4 역 z-변환 예제 4.10 다음 함수 의 역변환을 구하라 (풀이) 유수정리로부터 예제 4.10 다음 함수 의 역변환을 구하라 (풀이) 유수정리로부터 를 얻는다. 여기서 는 1보다 큰 반경의 원이다. 즉, 의 수렴영역은 단위 원의 외부로서 과 는 모두 단위 원 내부에 있다. by, 유수정리

4.4 역 z-변환 예제 4.11 다음 함수 의 역변환을 구하라 (풀이) 유수정리로부터 예제 4.11 다음 함수 의 역변환을 구하라 (풀이) 유수정리로부터 로 된다. 여기서 는 1보다 큰 반경의 원이다. 즉, 의 수렴영역은 단위 원의 외부로서 과 는 모두 단위 원 내부에 들어 있다. 그러나 의 극은 의 값에 따라 달라진다. 즉, 일 때는

4.4 역 z-변환

4.4 역 z-변환 2. 멱급수 전개법 주어진 을 나눗셈을 이용하여 멱급수의 형태로 표시하는 것 주어진 을 나눗셈을 이용하여 멱급수의 형태로 표시하는 것 이와 같이 멱급수의 형태로 표시하면 을 이용하여 은 와 같이 유도할 수 있다

4.4 역 z-변환

4.4 역 z-변환 3. 부분분수 전개법 주어진 가 부분분수로 전개되어 로 표시 주어진 가 부분분수로 전개되어 로 표시 -. 분모다항식을 인수분해할 때의 근이 단근, 중근 혹은 복소수 근인가에 따라 미정계수 를 구하는 방법이 달라진다 -. 부분분수의 형태를 로 해서 먼저 분자에 z 를 제거한 후에 역 z-변환

4.4 역 z-변환 예제 4.13 와 같이 주어질 때 역 z-변환을 구하라 (풀이) 로 두면, 계수는 로 된다. 따라서, 로 된다. 따라서, 로 주어진다. 표 4.1을 참고하면

4.4 역 z-변환 예제 4.14 일 때 을 구하라 (풀이) 로 두고, 계수를 구하여 정리하면 일 때 을 구하라 (풀이) 로 두고, 계수를 구하여 정리하면 로 된다. 변환표를 참고하면 다음과 같이 된다

4.4 역 z-변환 예제 4.15 일 때 을 구하라 (풀이) 여기서, 이다. 따라서

4.5 z-변환의 응용 1. 선형차분방정식의 해

4.5 z-변환의 응용 예제 4.16 다음 1차 차분방정식을 구하라 (풀이) 양변에 z-변환을 취하면

4.5 z-변환의 응용 예제 4. 17 다음 2차 차분방정식의 해를 구하라 (풀이) 주어진 식의 양변을 z-변환하면 예제 4. 17 다음 2차 차분방정식의 해를 구하라 (풀이) 주어진 식의 양변을 z-변환하면 로 된다. x(-1)과 x(-2)를 대입하고 정리하면 와 같이 된다. 부분분수 전개법을 이용하면

4.5 z-변환의 응용 2. 이산시스템 입출력 표현

4.5 z-변환의 응용 예제 4.18 임펄스응답 은 입력신호 은 로 주어질 때 출력신호 을 구하라

4.5 z-변환의 응용 (풀이) h(n)의 z-변환H(z)는 이고, 이다. 이므로

4.5 z-변환의 응용 전달함수(transfer function) 여기서, 라면

4.5 z-변환의 응용 예제 4.19 시스템의 전달함수가 이다. 입력신호를 단위 스텝수열로 했을 때의 시스템 응답을 구하라 예제 4.19 시스템의 전달함수가 이다. 입력신호를 단위 스텝수열로 했을 때의 시스템 응답을 구하라 (풀이) 이므로

4.5 z-변환의 응용 예제 4.20 차분방정식이 로 주어지는 시스템의 임펄스응답을 구하라 (풀이) 양변에 z-변환하면

4.5 z-변환의 응용 예제 4.21 (풀이)

4.5 z-변환의 응용 3. 시스템의 인과성 및 안정판별 인과성 선형 시불변 시스템에서는 입력 x(n)과 출력 y(n) 사이의 관계는 다음과 같은 차분방정식으로 나타낼 수 있다

4.5 z-변환의 응용 시스템이 인과시스템이 되기 위해서는 위 식에서 의 관계가 시스템이 인과시스템이 되기 위해서는 위 식에서 의 관계가 만족되어야 한다. 그 이유는 다음과 같다. 가령 일 경우에, 그런데, 인과시스템에서는 이어야 하는데, 위 경우에는 n=-2 및 -1일 때 h(n)은 0이 아닌 값을 갖는다. 따라서 비인과시스템이 된다. 결국, 인과성을 만족하기위해서는 시스템의 전달함수 는 의 관계가 성립하여야 한다 식(4.23)

4.5 z-변환의 응용 안정성 식(4.23)에서 이라 가정하면 H(z)의 부분분수 전개는 다음과 같다 단, 은 상수이며, 은 의 극이다 식(4.25)

4.5 z-변환의 응용 한편 시스템이 안정되기 위해서는 을 만족해야 하고 식(4.25)에서 h(n)이 발산하지 않기 위해서는 인 것을 알 수 있다. 즉, 전달함수 H(z)의 모든 극이 단위원 내에 있으면, 그 시스템은 안정하다고 할 수 있다

4.6 라플라스변환과의 관계

4.6 라플라스변환과의 관계 는 의 임펄스 열로 구성되므로 여기서 의 값은 에서만 정의되므로 실제로는 는 의 임펄스 열로 구성되므로 여기서 의 값은 에서만 정의되므로 실제로는 인과적 시스템, 즉 실현 가능한 시스템을 취급하는 것이라고 하면 에서는 으로 된다 위의 식을 라플라스변환하면 선형성 및 시간추이의 성질로부터

4.6 라플라스변환과의 관계

4.6 라플라스변환과의 관계 s 평면에서 z 평면으로의 사상관계