z 변환 - z 변환의 정의 - 유한 길이 신호의 z 변환 해석 : 극점과 영점과 수렴영역

z 변환의 용도 z 변환은 디지털신호처리 시스템의 주파수 영역 해석에 사용되는 중요한 도구 DTFT를 일반화시킨 주파수 영역 변환 방법 DTFT로 변환되지 못하는 디지털신호들까지 주파수 영역으로 변환시킴으로서 디지털신호처리 분야에서 DTFT보다 더 많이 사용 용도 필터의 안정도를 판별하는데 사용. 필터의 종류를 판별하는데 사용. 다양한 디지털 필터 구조를 만드는데 사용. 필터 구조에서 전달함수를 찾을 때에 사용. 전달함수에서 차분방정식을 찾을 때에 사용. 필터의 출력을 계산하는데 사용.

z 변환의 정의 : DTFT의 일반화 모든 디지털신호가 스펙트럼, 즉 DTFT를 갖는 것은 아니기 때문에 시스템을 해석하는 데에는 한계. z 변환은 모든 디지털신호에 대하여 주파수 영역을 표현하는 도구이므로 매우 유용하게 사용. DTFT를 갖는 디지털신호와 DTFT를 갖지 않는 디지털신호를 비교하여 z 변환의 필요성을 알아보자. 위의 임펄스 응답에 대한 DTFT는 다음과 같다. 등비수열이 합을 갖기 위해서는 공비의 절대값이 1보다 작아야 하므로 이를 검사해보면 다음과 같다. 는 복소평면 가운데 단위 원을 의미하므로 절대값은 항상 1이다. 따라서 절대값은 0.5이므로 다음과 같이 등비수열의 합을 구하는 식을 이용하여 구할 수 있다. 이번에는 다음과 같은 디지털신호를 살펴보자. 위의 임펄스응답을 DTFT의 정의에 넣어보면 다음과 같다. 등비수열임으로 합을 갖기 위해서는 공비의 절대값이 1보다 작아야 하므로 이를 검사해 보자.

z 변환의 정의 : DTFT의 일반화 의 절대값은 항상 1이므로 절대값은 2가 된다. 공비가 2인 등비수열은 합을 구할 수 없으므로 DTFT가 존재하지 않음. 디지털신호처리에서는 항상 안정시스템(stable system)만을 다루는 것이 아니므로 위와 같은 불안정시스템(unstable system)의 임펄스응답에 대한 주파수 해석도 필요 위의 등비수열이 합을 갖게 하기 위해서 공비를 다음과 같은 방법으로 1보다 작게 할 수 있다. 의 절대값은 항상 1이므로 r의 값이 2보다 크면 공비가 1보다 작아짐. 이와 같은 방법으로 발산하는 디지털신호에 대하여도 주파수 영역의 변환이 가능. 위의 두 예제를 통하여 불안정시스템의 임펄스응답도 주파수 영역의 변환이 가능함을 보았다. 디지털신호를 복소평면의 단위원인 에서의 복소함수로 변환시키는 것을 DTFT. DTFT를 갖지 못하는 디지털신호도 복소평면 로 변환시키는 것은 가능. DTFT의 일반화로 간주할 수 있으며 를 사용하여 z 변환이라고 부른다. 아날로그 신호 x(t)의 라플라스 변환인 X(s)에서는 로서 직각좌표의 복소함수로 변환. 디지털신호 x[n]의 z 변환인 X(z)에서는 로서 극좌표의 복소함수로 변환.

z 변환의 정의 : 전달함수 DTFT를 정의할 때에, 임펄스응답 h[n]의 주파수 응답을 정의한 후에 일반 디지털신호들에 대한 DTFT의 정의와 성질을 알아보았다. DTFT의 일반화인 z 변환도 마찬가지로 우선 h[n]의 전달함수(transfer function) 에 대해서 정의한 후에 일반 디지털신호에 대한 z 변환으로 넘어가는 방법이 많이 사용. 다음 그림과 같은 디지털신호처리 시스템에서 전달함수가 어떻게 정의되는지를 먼저 알아보기로 한다. 주파수 응답을 정의할 때, 시스템의 입력으로 을 사용하였다. 입력을 더욱 일반화시켜서 을 입력시켜 보자. 의 신호는 전달함수를 정의하기 위한 수단이며 실제로 디지털신호처리에서 사용되는 신호는 아니다. 그림 5-1. 디지털 신호처리 시스템의 블록도

│표 5-1│ 아날로그 신호와 디지털 신호의 주파수영역 변환 z 변환의 정의 : 전달함수 LTI시스템에서 출력은 디지털 컨볼류션으로 구할 수 있으므로 출력 y[n]은 다음과 같다. 출력신호 y[n]은 입력신호 과 H(z)의 곱으로 표시. 이 H(z)를 시스템의 전달함수라고 부르며 다음과 같이 정의한다. 이와 같은 임펄스응답에 대한 변환을 모든 디지털신호에 대하여도 적용할 수 있음. 위의 h[n] 대신에 일반 디지털신호가 들어가면 z 변환이라고 부른다. z 변환은 아날로그 신호처리 시스템을 해석하는 일반화된 방법인 라플라스 변환에 해당하는 디지털신호처리 시스템의 변환 방법. │표 5-1│ 아날로그 신호와 디지털 신호의 주파수영역 변환

유한 길이 신호의 z 변환 해석 유한 길이의 신호에 대한 z 변환을 통하여 신호와 시스템을 해석하는 방법을 알아보자. 주파수 응답은 그림 3-20 과 같이 저역통과 필터. 이 유한 길이의 신호에 대한 z 변환은 다음과 같다. z 변환은 분자다항식과 분모다항식의 비로 표시. 영점(zero) : z 변환의 분자다항식을 0으로 만드는 복소평면의 좌표, z 변환의 함수 값이 0이 되는 z 평면의 좌표. 극점(pole) : 분모다항식을 0으로 만드는 복소평면의 좌표, 물리적인 의미는 z 변환의 함수 값이 무한대가 되는 복소평면의 좌표. 위의 z 변환의 영점과 극점을 구해보면 다음과 같다. 영점과 극점을 복소평면에 표기할 때에, 다음 그림과 같이 영점은 ●으로 극점은 × 로 표기한다.

유한 길이 신호의 z 변환 해석 수렴영역(region of convergence, ROC) : z 변환이 존재하는 복소평면의 영역. 그림 5-2에서 원점을 제외한 전 복소평면 디지털신호에 대한 z 변환은 신호를 복소평면의 3차원 형상으로 변환시키는데, 2차원 평면에 그 정보를 표현하기 위해서 영점, 극점, 그리고 수렴영역을 사용하는 것이 편리. 위의 극점-영점도에서 그림 3-20의 주파수 응답을 상상할 수 있다. 즉, 그림 3-20의 주파수 응답은 z 평면 단위원 상의 0에서 π까지 z 변환을 구한 값임을 직관적으로 이해할 수 있다. 인 점과 인 점에서의 z 변환의 값을 식(5.14)로부터 구해보면 각각 1과 1/3임을 알 수 있다. 위의 세 점에서의 값은 그림 3-20의 세 점에서의 값과 일치한다. 임펄스응답의 z 변환인 전달함수에서 극점-영점도를 관찰하면 쉽게 필터의 종류를 판단할 수 있다. 그림 5-2. 예제의 영점, 극점, 수렴영역

유한 길이 신호의 z 변환 해석 컴퓨터 그래픽의 발전으로 z 변환을 직접 3차원 형상으로 쉽게 표현. z 변환은 복소평면에서 정의되는 복소함수이므로 3차원 형상으로 |X(z)|를 나타낼 수 있다. 앞의 예제에 대한 |X(z)|를 MATLAB을 사용하여 그리면 다음 그림과 같다. 그림 5-3. MATLAB을 이용한 식 5.14의|X(z)| 그림 5-4. 식 5.14의|X(z)|를 그리기 위한 MATLAB 프로그램

무한 길이 신호의 z 변환 해석 : 우측신호 무한 길이의 신호: 다음 그림과 같은 우측신호에 대한 z 변환을 구해보자. 우측신호(right side 신호), 좌측신호(left side 신호), 양측신호(two side 신호)로 나눌 수 있다. 이와 같은 신호들의 z 변환을 통하여 극점, 영점, 수렴영역을 해석하는 방법을 알아보자. 다음 그림과 같은 우측신호에 대한 z 변환을 구해보자. 이 우측신호는 다음 식으로 표현된다. z 변환의 정의에 대입하면 다음과 같다. 공비의 절대값이 1보다 작아야 수렴하므로 다음과 같이 수렴영역을 구할 수 있다. 그림 5-5. 예제의 우측신호

무한 길이 신호의 z 변환 해석 : 우측신호 위의 수렴영역 안에서 z 변환은 다음과 같다. z 변환의 극점은 z=a이 된다. 이와 같이 구한 극점과 수렴영역은 그림과 같다. 그림에서 보듯이 우측신호의 수렴영역은 를 포함. 쇄선은 수렴영역에 포함되지 않으므로 수렴영역과 비수렴영역의 경계선을 실선이 아닌 쇄선으로 표시. 또한 극점은 당연히 수렴영역에 포함되지 않음. 그림 5-6. 우측신호의 극점과 수렴영역

무한 길이 신호의 z 변환 해석 : 좌측신호 이번에는 다음 그림과 같은 좌측신호에 대한 z 변환을 구해보자. 이 좌측신호를 식으로 표현하면 다음과 같다. z 변환의 정의에 대입하면 다음과 같다. 수렴영역은 공비의 절대값이 1보다 작아야 하므로 다음과 같이 수렴영역을 구할 수 있다. 그림 5-7. 예제의 좌측신호

무한 길이 신호의 z 변환 해석 : 좌측신호 위의 수렴영역 안에서 z 변환은 다음과 같다. 이와 같이 구한 극점과 수렴영역은 그림과 같다. 그림에서 보듯이 좌측신호의 수렴영역은 z=0을 포함하고 있음. 그림 5-8. 좌측신호의 극점과 수렴영역

무한 길이 신호의 z 변환 해석 : 양측신호 이번에는 다음 그림과 같은 양측신호에 대한 z 변환을 구해보자. 이 양측신호를 식으로 표현하면 다음과 같다. z 변환의 정의에 대입하면 다음과 같다. 그림 5-9. 예제의 양측신호

무한 길이 신호의 z 변환 해석 : 양측신호 수렴영역은 두 개의 등비수열의 공비의 절대값이 모두 1보다 작아야 하므로 다음과 같이 구할 수 있다. 위의 z 변환의 극점은 와 이 된다. 이와 같이 구한 극점과 수렴영역은 그림과 같다. 그림에서 보듯이 양측신호의 수렴영역은 반지 모양이다. 지금까지 3 개의 예제를 통하여 알 수 있듯이 신호에 따른 수렴영역은 다음과 같다. 우측신호의 수렴영역은 를 포함한다. 좌측신호의 수렴영역은 을 포함한다. 양측신호의 수렴영역은 반지 모양이다. 그림 5-10. 양측신호의 극점과 수렴영역

IIR 시스템의 안정도 판별 (1) 임펄스응답이 우측신호인 경우 IIR 시스템에서 z 변환의 극점과 수렴영역을 사용하여 안정도를 판별하는 방법을 알아보기로 한다. 임펄스응답이 우측신호인 경우와 좌측신호인 경우로 나누어서 살펴보자. (1) 임펄스응답이 우측신호인 경우 임펄스응답이 n=0부터 시작되는 우측신호인 경우는 인과시스템(causal system) 다음과 같은 안정시스템의 임펄스응답을 살펴보자. 이 임펄스응답의 z 변환과 극점과 수렴영역을 구해보자. 이 임펄스응답과 극점과 수렴영역은 그림 5-11 a)와 같다. 이번에는 다음과 같은 불안정시스템의 임펄스응답을 살펴보자. 이 임펄스응답과 극점과 수렴영역은 그림 5-11 b)와 같다.

그림 5-11. 우측신호의 임펄스 응답, 극점과 수렴영역 (a) 안정시스템 (b)불안정시스템 IIR 시스템의 안정도 판별 위의 두 결과로부터 임펄스응답이 우측신호인 경우에 다음과 같이 말할 수 있다. 극점이 단위원 안에 있으면 안정시스템이다. 수렴영역이 단위원을 포함하면 안정시스템이다. 그림 5-11. 우측신호의 임펄스 응답, 극점과 수렴영역 (a) 안정시스템 (b)불안정시스템

IIR 시스템의 안정도 판별 (2) 임펄스응답이 좌측신호인 경우 임펄스응답이 좌측신호인 경우는 이론적으로 가능한 비인과 시스템(non-causal system)이다. 먼저 다음과 같은 안정시스템의 임펄스응답을 살펴보자. 이 임펄스응답의 z 변환과 극점과 수렴영역을 구해보자. 이 임펄스응답과 극점과 수렴영역은 다음 그림 5-12 a) 와 같다. 이번에는 다음과 같은 불안정시스템의 임펄스응답을 살펴보자. 이 임펄스응답의 z 변환과 극점과 수렴영역을 구해보자. 이 임펄스응답과 극점과 수렴영역은 그림 5-12 b)와 같다.

그림 5-12. 좌측신호의 임펄스 응답, 극점과 수렴영역 (a) 안정시스템 (b)불안정시스템 IIR 시스템의 안정도 판별 위의 두 결과로부터 임펄스응답이 좌측신호인 경우에 다음과 같이 말할 수 있다. 극점이 단위원 밖에 있으면 안정시스템. 수렴영역이 단위원을 포함하면 안정시스템. 임펄스응답이 우측신호인 경우와 좌측신호인 경우를 나누어 살펴보았는데 어느 경우나 수렴영역이 단위원을 포함하면 안정시스템임. 극점으로 안정도를 판별하는 경우에는 주의 임펄스응답이 우측신호(주로 인과 시스템)인 경우에는 극점이 단위원 안에 있으면 안정시스템 그림 5-12. 좌측신호의 임펄스 응답, 극점과 수렴영역 (a) 안정시스템 (b)불안정시스템

IIR 시스템의 안정도 판별 [예제 5.1] 어느 두 인과시스템의 전달함수가 각각 다음과 같다. 안정도를 판별하시오. (풀이) (a)에서의 극점은 다음과 같다. (b)에서의 극점은 다음과 같다. 이 두 전달함수의 극점은 다음 그림과 같다. 위의 그림 5-12로부터 (a)는 안정시스템이며, (b)는 불안정시스템임을 판별할 수 있다. 그림 5-13. 예제의 극점들

z 변환의 성질 : convolution 디지털 컨볼류션에 대한 신호들의 z 변환들의 관계는 다음과 같이 나타낸다. 이 성질은 다음과 같이 유도할 수 있다. 입력과 임펄스응답의 z 변환의 곱으로 Y(z)를 구할 수 있고 역 z 변환을 통하여 출력을 구함. H(z), 즉 전달함수에 대해 종합해 보면 다음과 같은 3가지의 의미가 있다. (1)임펄스응답의 z 변환, (2) 이 입력되었을 때의 전달함수, (3)입력의 z 변환과 출력의 z 변환의 비로 해석.

z 변환의 성질 : 선형성과 시간 쉬프트 <선형성> 두 디지털신호에 대한 z 변환이 다음과 같을 때, 이 성질을 선형성(linearity)이라고 부르며, 이 가중합에 대한 z 변환의 수렴영역은 각각의 수렴영역의 교집합. <시간 쉬프트> x[n]의 z 변환이 X(z)일 때, x[n]을 k만큼 지연시킨 신호의 z 변환은 다음과 같다. 이 성질을 시간 쉬프트(time shifting) 성질이라고 부르며 다음과 같이 증명. x[n]의 z 변환이 X(z)일 때 : 이 신호를 1만큼 지연시킨 x[n-1]의 z 변환은 시간 쉬프트 성질을 이용하면 가 된다. 신호처리에서 지연소자를 네모상자 안에 로 표기.

z 변환의 성질 : 시간 쉬프트 [예제 5.2] 다음 차분방정식에서 전달함수 H(z)를 구하시오. 따라서 전달함수는 다음과 같다.

z 변환의 성질 : 지수신호의 곱 디지털신호 x[n]의 z 변환이 X(z)이고 수렴영역이 일 때에, 지수신호를 곱한 z 변환과 수렴영역. 위의 성질은 a가 복소수일 때도 성립한다. (증명) X(z)의 수렴영역이 이므로 X(z/a)의 수렴영역은 가 된다. [예제 5.3] x[n]=u[n]일 때, z 변환과 수렴영역은 다음과 같다. x[n]에 을 곱한 신호의 z 변환과 수렴영역을 구하시오. (풀이) z 변환과 수렴영역은 다음과 같다.

z 변환의 성질 : 미분 성질 x[n]의 z 변환이 X(z)일 때, X(z)의 미분의 관계는 다음과 같다. (증명) [예제 5.4] x[n]=u[n]일 때, z 변환과 수렴영역은 다음과 같다. (풀이) z 변환과 수렴영역은 다음과 같다.

역 z 변환 z 변환된 함수로부터 원래의 디지털신호를 찾는 것을 역 z 변환(Inverse z transform)이라고 한다. 유한 길이의 신호에 대한 z 변환에서 원래의 디지털신호를 찾는 것은 매우 간단하다. 무한 길이 신호의 대표적인 예가 IIR 필터의 임펄스응답이다. 실무에서 IIR 필터 설계는 보통 차분방정식으로 만들어지므로 전달함수를 역 z 변환하여 임펄스응답을 구하는 경우는 드물다. 유한 길이 신호의 z 변환과 역 z 변환 유한 길이 신호의 z 변환은 분모 다항식을 1로 간주할 수 있다. 따라서 역 z 변환은 간단히 구할 수 있다. 다음의 z 변환을 보자. 1의 역 z 변환이 이므로 시간 쉬프트 성질을 사용하면 역 z 변환은 쉽게 구할 수 있다. 위의 관계에서 보듯이 z 변환의 분자 다항식의 계수가 그대로 디지털신호의 샘플 값이 됨을 알 수 있다. [ 예제 5.5] 다음의 z 변환을 역 z 변환하시오. ( 풀이) 1 의 역 z 변환이 이므로 시간 쉬프트 성질을 사용하면 역 z 변환은 다음과 같다.

역 z 변환 무한 길이 신호의 z 변환과 역 z 변환 부분분수 전개를 이용하는 방법 : 무한 길이 신호의 z 변환으로부터 역 z 변환을 구하는 방법은 부분분수 전개 (partial fraction expansion)를 사용하는 방법과 Cauchy Integral Theorem을 사용하는 방법이 있다. 부분분수 전개를 이용하는 방법 : 일반적으로 무한 길이 신호의 z 변환은 다음과 같이 의 다항식의 비로 표시된다. 부분분수 전개법을 적용하기 위해서는 먼저 위의 분모 다항식을 인수분해하여 다음과 같이 부분분수의 합으로 나타내어야 한다. 단, 분모다항식의 차수가 분자다항식의 차수와 같거나 커야 한다. 고차의 분모다항식을 인수분해하는 경우에, 실수 범위 내에서는 2차 다항식까지 인수분해가 가능하며 위의 식과 같이 1차 다항식으로 인수분해하면 일반적으로 는 허수가 된다. 다음의 역 z 변환을 알고 있다. 따라서 계수 만 구하면 위의 역 z 변환을 구할 수 있다. 계수 를 구하기 위해서는 식의 양변에 를 곱하고 에서 함수 값을 구하면 찾을 수 있다.

역 z 변환 : 분모다항식이 실근을 갖는 경우 어느 인과시스템의 전달함수가 다음과 같을 때 역 z 변환을 통하여 임펄스응답을 구해보자. 부분분수 전개를 이용하기 위해서 인수분해하면 다음과 같다. 위의 식을 z 로 나눈 후에 다음과 같이 부분분수의 합으로 표현한다. 위와 같이 H(z) 를 z로 나누는 것은 중에 z를 곱하여 의 형태를 얻기 위해서이다. 을 구하려면 양변에 z를 곱한 후에 z=0을 대입하면 다음과 같이 구해진다.

역 z 변환 : 분모다항식이 실근을 갖는 경우 같은 방법으로 와 를 구하면 다음과 같다. 같은 방법으로 와 를 구하면 다음과 같다. 지금까지 구한 계수들을 대입하여 H(z)를 정리하면 다음과 같다. 위의 전달함수는 인과시스템의 전달함수이므로 다음과 같이 역 z 변환된다. 위의 전달함수에서 만일 인과시스템이라는 제한이 없는 경우 수렴영역에 따라서 역 z 변환이 다음과 같이 3 가지로 구분됨을 주의하여야 한다.

역 z 변환 : 분모다항식이 중근을 갖는 경우 z 변환의 분모다항식을 인수분해하는 과정에서 중근을 갖는 경우. 부분분수 전개를 이용하기 위해서 인수분해하면 다음과 같다.  위의 식을 z로 나눈 후에 다음과 같이 부분분수의 합으로 표현한다. 먼저 을 구하려면 양변에 z+1를 곱한 후에 z=0을 대입하면 다음과 같이 구해진다. 같은 방법으로 를 구하면 다음과 같다.

역 z 변환 : 분모다항식이 중근을 갖는 경우 는 다음과 같이 미분하여 구한다. 지금까지 구한 계수들을 대입하여 H(z)를 정리하면 다음과 같다. 위의 전달함수는 인과시스템의 전달함수이므로 다음과 같이 역 z 변환된다. 위의 식에서 3 째 항은 미분 성질을 이용하여 구함.

역 z 변환 : 분모다항식이 허근을 갖는 경우 2차 IIR 시스템의 전달함수를 역 z 변환할 때에, 일반적으로 분모다항식은 허근을 갖는다. 고차의 다항식을 1차 다항식으로 인수분해하면 1차 다항식의 계수는 일반적으로 허수이다. 부분분수 전개를 이용하기 위해서 인수분해하면 다음과 같다. 위의 식을 z로 나눈 후에 다음과 같이 부분분수의 합으로 표현. 이제 계수들을 구하면 다음과 같다.

역 z 변환 : 분모다항식이 허근을 갖는 경우 구한 계수들을 대입하여 H(z)를 정리하면 다음과 같다. 위의 역 z 변환된 임펄스응답은 허수인 것처럼 보이나, n=0부터 구해보면 실수의 계수임.

z 변환의 용도 : 필터의 안정도 판별 전달함수의 용도 중의 하나는 디지털 필터의 안정도를 판별하는 것이다. FIR 필터는 항상 안정하므로 IIR 필터의 경우에 안정도를 고려하게 된다. 실제로 사용하는 필터는 임펄스응답이 우측신호의 형태이므로 다음과 같은 결과를 이용하여 안정도를 판별한다. 극점이 단위원 안에 있으면 안정시스템이다.(단위원은 포함되지 않음) 다음의 차분방정식을 보자. 이 차분방정식의 전달함수와 극점은 다음과 같다. 극점이 단위원 안에 있으므로 안정시스템이다. 그림 5-14. 예제의 극점위치

그림 5-15. 식 5.75 시스템의 (a) 주파수 응답 (b)|H(z)| 이 시스템의 주파수응답과 전달함수 |H(z)|를 MATLAB을 사용하여 그리면 다음 그림과 같다. 그림 5-15. 식 5.75 시스템의 (a) 주파수 응답 (b)|H(z)|

그림 5-16. 식 5.75의 |H(z)|를 그리기 위한 MATLAB 프로그램

그림 5-17. 예제의 극점의 위치 (a) 원래의 극점, (b) 양자화 후의 극점 z 변환의 용도 : 필터의 안정도 판별 원래 안정하게 설계된 IIR 필터도 구현과정에서 계수 양자화의 영향으로 차분방정식 계수에 양자화 에러가 포함. 이 차분방정식의 전달함수와 극점은 다음과 같다. 극점은 그림 5-17 a)와 같이 단위원 안에 있으므로 안정시스템이다. 양자화 계단크기가 0.25인 시스템으로 구현 : 차분방정식이 다음과 같이 양자화된다. 양자화된 차분방정식의 전달함수는 다음과 같고 극점도 다음과 같이 이동한다. 극점 중의 하나가 그림 5-13 b)와 같이 단위원 위에 있으므로 불안정시스템으로 변하였다. 즉 계수양자화로 인하여 불안정시스템으로 된 경우이다. 그림 5-17. 예제의 극점의 위치 (a) 원래의 극점, (b) 양자화 후의 극점

그림 5-18. 예제의 두 FIR 필터의 영점과 주파수 응답 (a) (b) z 변환의 용도 : 필터의 종류 판별 (1) FIR 필터의 종류 판별 전달함수의 영점을 관찰하면 FIR 필터의 종류를 판별할 수 있다. 다음의 두 FIR 필터의 전달함수의 영점을 비교. 이 필터들의 영점과 주파수 응답은 다음 그림과 같다. 영점이 2와 3사분면 : 저역통과 필터, 영점이 1과 4사분면 : 고역통과 필터 그림 5-18. 예제의 두 FIR 필터의 영점과 주파수 응답 (a) (b)

그림 5-18. 예제의 두 IIR 필터의 영점과 주파수 응답 (a) (b) z 변환의 용도 : 필터의 종류 판별 (2) IIR 필터의 종류 판별 전달함수의 극점을 관찰하면 IIR 필터의 종류를 판별할 수 있다. 다음의 두 IIR 필터의 전달함수의 극점을 비교. 이 필터들의 극점과 주파수 응답은 다음 그림과 같다. 극점이 1과 4사분면 : 저역통과 필터, 극점이 2와 3사분면 : 고역통과 필터. 그림 5-18. 예제의 두 IIR 필터의 영점과 주파수 응답 (a) (b)

z 변환의 용도 : 다양한 필터 구조 디지털신호처리 시스템을 디지털신호처리 필터 또는 디지털 필터라고 부른다. 다양한 필터구조를 만드는 이유는 각각의 필터 구조마다 유한 정세도 특성(finite precision characteristics)특성이 다르기 때문이다.(또는 유한어장(finite wordlength characteristics) 특성이라고도 한다.) 이 절에서는 다음의 차분방정식 예제를 통하여 어떻게 다른 구조가 만들어지는 지를 간단히 알아본다. 이 식을 단위지연소자, 곱셈기, 덧셈기를 사용하여 만들면 다음 그림의 구조와 같다. 그림 5-20. 예제의 필터구조

그림 5-21. 전달함수의 인수분해를 이용한 직렬 필터구조 z 변환의 용도 : 다양한 필터 구조 위의 차분방정식을 z 변환하면 다음과 같이 전달함수를 얻는다. 이 전달함수는 2차 다항식이므로 다음과 같이 1차 다항식으로 인수분해 될 수 있다. 따라서 이 필터는 두 개의 필터의 직렬연결로 구성될 수 있으며, 각각의 필터구조는 다음 그림과 같다. 이와 같이 임펄스응답의 z 변환인 전달함수를 이용하면 여러 가지 필터구조를 제작할 수 있다. 그림 5-21. 전달함수의 인수분해를 이용한 직렬 필터구조

z 변환의 용도 : 필터 구조에서 전달함수 임의의 필터 구조에서 전달함수를 얻어야 할 필요. 임의의 필터에 의 입력이 들어가면 출력은 전달함수와 의 곱이 된다는 것을 이용하여 전달함수를 찾는다. (1) FIR 필터 구조에서 전달함수를 찾는 방법 주어진 필터구조에서 입력을 이라고 가정하고 구조의 노드를 따라가면서 출력을 과 함수의 곱으로 나타냄. 이때 이 함수가 정의에 의해서 전달함수가 된다. 다음 그림의 FIR 필터에서 H(z)를 구해보자. 각 노드의 신호는 곱셈기, 지연소자, 덧셈기에 의해서 표현되므로 H(z)는 다음과 같은 방법으로 얻어진다. 그림 5-22. 주어진 FIR 필터 구조

z 변환의 용도 : 필터 구조에서 전달함수 [예제] 다음 그림 2-23의 FIR 필터에서 전달함수 H(z)를 구하시오. (풀이) 위의 필터 구조에서 H(z)는 다음과 같다. 그림 5-23. 주어진 FIR 필터 구조

z 변환의 용도 : 필터 구조에서 전달함수 (2) IIR 필터 구조에서 전달함수를 찾는 방법 주어진 필터구조에서 입력을 이라고 가정하고 구조의 노드를 따라가면서 출력을 과 함수의 곱으로 나타냄. 다음 그림의 IIR 필터에서 H(z)를 구해보자. 위의 필터 구조에서 전달함수 H(z)는 다음과 같이 얻을 수 있다. 그림 5-24. 주어진 IIR 필터 구조

z 변환의 용도 : 필터 구조에서 전달함수 [예제] 다음 그림의 IIR 필터에서 전달함수 H(z)를 구하시오. (풀이)

z 변환의 용도 : 전달함수에서 차분방정식 [예제 5.3] 다음의 전달함수에서 차분방정식을 구하시오. (풀이) 전달함수가 주어졌을 때, 차분방정식을 구할 수 있다. 다음의 전달함수를 보자. 다음과 같이 시간 쉬프트를 이용하여 차분방정식을 구할 수 있다. [예제 5.3] 다음의 전달함수에서 차분방정식을 구하시오. (풀이)

z 변환의 용도 : 필터의 출력 [예제 5.4] 어느 시스템의 전달함수와 입력의 z 변환은 다음과 같다. 출력을 구하시오. 다음의 예제를 통하여 출력을 구해보자. [예제 5.4] 어느 시스템의 전달함수와 입력의 z 변환은 다음과 같다. 출력을 구하시오. (풀이) 출력의 z 변환은 다음과 같이 구할 수 있다. 위의 z 변환을 역 z 변환하면 다음과 같이 출력을 구할 수 있다.